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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数课件 文



第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.4 二次函数与幂函数

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.二

次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ax2+bx+c(a≠0) . ①一般式:f(x)=________________ (x-m)2+n(a≠0) . ②顶点式:f(x)=a ________________ ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-.x2)(a≠0)

(2)二次函数的图象和性质
解析式 图象
答案

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

定义域 值域 在 单调性

(-∞,+∞)
?4ac-b2 ? ? ? ,+ ∞ ? 4a ?
? b? ? ? x∈?-∞,-2a? ? ?

(-∞,+∞)
? 4ac-b2? ?-∞, ? 4a ? ?
? b? ? ? - ∞ ,- x∈? ? 2 a ? ?

上单调递减; ? ? 增; b ? ? - ,+ ∞ ? 在 x∈? 2 a ? ? ? ? b ? ? 在 x∈?-2a,+∞?上单调递减 上单调递增 ? ? b 函数的图象关于 x=-2a对称
答案



上单调递

对称性

2.幂函数 (1)定义:形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)幂函数的图象比较

答案

(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②幂函数的图象过定点(1,1); ③当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ④当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 2 4ac-b 2 (1)二次函数y=ax +bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 .( × ) 4a (2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( × ) (3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标

系中的开口大小.( √ )
(4)函数 y=2 x 是幂函数.( × )
1 2

(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
答案

2

考点自测
2

1 1.若关于 x 的方程 x +mx+4=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取 (-∞,-1)∪(1,+∞) 值范围是_______________________.

1 解析 ∵方程 x +mx+4=0 有两个不相等的实数根, 1 2 ∴Δ=m -4×4×1>0, 即m2>1,
2

解得m<-1或m>1.

1

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解析答案

?1 ? ? ? ,+∞? ? 2 20 ? ? 2.已知函数f(x)=ax +x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是_________.

解析

? ?a>0, 由题意知? ? ?Δ<0,

? ?a>0, 1 即? 得 a>20. ? ?1-20a<0,

1

2

3

4

5

解析答案

② 填序号) 3.函数 y=x 的图象是____.(

1 3

解析

显然f(-x)=-f(x),说明函数是奇函数,
1 3
1 3

同时由当0<x<1时, x >x; 当x>1时, x <x. 故只有②符合.
1 2 3 4 5
解析答案

4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的 [1,2] 取值范围为______. 解析 如图,由图象可知m的取值范围是[1,2].

1

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解析答案

5.(教材改编)已知幂函数
? 1 2

(0,+∞) 上递减. y=x ;在区间__________ 为________

? ? y=f(x)的图象过点?2, ?

2? ? , 则此函数的解析式 2? ?

1

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答案

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题型分类 深度剖析

题型一

求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,

例1

试确定此二次函数的解析式.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析 1 2 f(x)=2x -2x+1 式是________________.

解析 依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,
又其图象过点(0,1),

∴4a-1=1, 1 ∴a=2. 1 ∴f(x)=2(x-2)2-1. 1 2 ∴f(x)=2x -2x+1.
解析答案

(2) 若函数 f(x) = (x + a)(bx + 2a)( 常数 a , b∈R) 是偶函数,且它的值域为 2x2+4 (-∞,4],则该函数的解析式f(x)=- ________. 解析 由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称, ∴b=-2, ∴f(x)=-2x2+2a2, 又f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a2=4, 故f(x)=-2x2+4.

解析答案

题型二

二次函数的图象与性质

命题点1 二次函数的单调性
例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6], (1)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;

2a 解 函数 f(x)=x +2ax+3 的图象的对称轴为 x=- 2 =-a, ∴要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,
2

只需-a≤-4或-a≥6,

解得a≥4或a≤-6.
故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
解析答案

(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.

解 当 a=-1 时,f(|x|)=x2-2|x|+3
2 2 ? x + 2 x + 3 = ? x + 1 ? +2,x≤0, ? =? 2 2 ? x - 2 x + 3 = ? x - 1 ? +2,x>0, ?

其图象如图所示. 又∵x∈[-4,6], ∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数, 在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.

解析答案

命题点2 二次函数的最值
8 例3 已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,3],则函数f(x)的最大值为___.
解析 f(x)=(x-1)2-1, ∵-2≤x≤3(如图), ∴[f(x)]max=f(-2)=8.

解析答案

引申探究
已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值.

解析答案

命题点3 二次函数中的恒成立问题
例4 (1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,
?1 ? ? ? ? ,+∞? ?2 ?

则实数a的取值范围为________.

2 2 解析 由题意得 a>x-x2对 1<x<4 恒成立,
?1 1? 2 2 1 1 1 ? ?2 又x-x2=-2?x-2? +2,4< x<1, ? ?
?2 2? 1 ? ? ∴?x -x2?max= , 2 ? ?

1 ∴a>2.
解析答案

(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的 ? 1? ? ? - ∞ , ? ? 2 ? ? 取值范围为_________.

解析 2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,适合; ? 1 1 3? 1 ? ?2 当 x≠0 时,a<2?x-3? -6, ? ? 1 因为 x∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 1 当 x=1 时,右边取最小值 , 2 ? 1 1? ? 所以 a< . 综上,实数 a 的取值范围是 ?-∞, ? ?. 2 2 ? ?
思维升华 解析答案

跟踪训练2
若二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0),满足f(x+2)-f(x)=16x且f(0)=2. (1)求函数f(x)的解析式; 解 由f(0)=2,得c=2, 所以f(x)=ax2+bx+2 (a≠0), f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-[ax2+bx+2]=4ax+4a+2b. 因为f(x+2)-f(x)=16x,所以4ax+4a+2b=16x, 解得a=4,b=-8. 所以f(x)=4x2-8x+2.
解析答案

(2)若存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围. 解 由f(x)>2x+m, 可得m<f(x)-2x=4x2-10x+2, 设g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2]. 则g(x)max=g(2)=-2,∴m<-2. 故实数m的取值范围是(-∞,-2).

解析答案

题型三

幂函数的图象和性质
(1)已知幂函数
?1 ? α f(x)=k· x 的图象过点? , ?2

例5

2? ? ,则 2? ?

3 2 k+α=____.

解析 由幂函数的定义知k=1.



?1? ? f? ? ?= ?2?

2 , 2
2 1 3 ,解得 α= ,从而 k+α= . 2 2 2

?1? ? ?α 所以?2? = ? ?

解析答案

(2)若(2m+1) ? ( m 2+m-1) , 则实数m的取值范围是__________.

1 2

1 2

思维升华

解析答案

跟踪训练3
2-1 (1)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3),则f(2)-f(1)=________.
解析 设幂函数为f(x)=xα, 则f(9)=9α=3, 即32α=3,

1 所以2α=1,α= , 2 1 即f(x)=x 2 = x,

所以 f(2)-f(1)= 2-1.

解析答案

2 [ - 1 , ) (2)若(a+1) ? (3-2a ) , 则实数a的取值范围是________. 3
1 2 1 2

解析

易知函数 y=x

1 2 的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,

? ?a+1≥0, ? 所以?3-2a≥0, ? ? ?a+1<3-2a,

2 解之得-1≤a<3.

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用

典例 (14分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.

思维点拨 参数a的值确定f(x)图象的形状;a≠0时,函数f(x)的图象为抛
物线,还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.

温馨提醒

思维点拨

解析答案

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小)值有关的量 时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与 x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意: (1)结合图象分析; (2)含参数的二次函数,要进行分类讨论.

方法与技巧

3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧

在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,
再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.

失误与防范
1.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当 题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限, 至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最 多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一 定是原点.

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练出高分

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1.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的范围 [8,+∞) 是_________.

a 解析 函数图象的对称轴为 x= , 2 a 由题意得2≥4,解得 a≥8.

解析答案

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2.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则 2 实数m的值是___. 解析 f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数?m2-m-1=1?m=-1或m=2. 又在x∈(0,+∞)上是增函数, 所以m=2.

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3.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),且f(m)<0,则f(m+1)__0( > 判断大小关系). 1 解析 ∵f(x)的对称轴为 x=- ,f(0)=a>0, 2 ∴f(x)的大致图象如图所示. 由f(m)<0,得-1<m<0, ∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.

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4.若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a=1 __. 解析 ∵函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线, ∴函数的最大值在区间的端点取得, ∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,
? ? ?-a≥4-3a, ?-a≤4-3a, ∴? 或? 解得 a=1. ? ? ?-a=1, ?4-3a=1,

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5.幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取 值范围分别为______________.

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6. 已 知 函 数 f(x) = x2 - 2x , g(x) = ax + 2(a>0) , 若 ?x1∈[ - 1,2] , ,+∞) ?x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是[3 _________. 解析 由函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, 当x∈[-1,2]时,f(x)min=f(1)=-1,f(x)max=f(-1)=3, 即函数f(x)的值域为[-1,3], 当x∈[-1,2]时,函数g(x)min=g(-1)=-a+2,g(x)max=g(2)=2a+2,
? ?-a+2≤-1, 若满足题意则? 解得 a ≥ 3. ? ?2a+2≥3,

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7. 当 0<x<1 时 , 函数 f(x) = x1.1 , g(x) = x0.9 , h(x) = x - 2 的 大 小 关 系 是 h(x)>g(x)>f(x) _____________. 解析 如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象, 由此可知,h(x)>g(x)>f(x).

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8.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的

-1或3 值为________.
解析 由于函数f(x)的值域为[1,+∞), 所以f(x)min=1. 又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4, 当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1, 即a2-2a-3=0, 解得a=3或a=-1.

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9.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).
(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)

的表达式;

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(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k 的取值范围.



g(x)=f(x)-kx=x +2x+1-kx=x -(k-2)x+1
2 2 2

? ?k-2? k-2?2 ? +1- =?x- . 4 2 ? ?

由g(x)的图象知:要满足题意,

k-2 k-2 则 2 ≥2 或 2 ≤-1,即 k≥6 或 k≤0,

所以所求实数k的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).
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10.已知函数f(x) =x2 +ax+3 -a ,若x∈[ -2,2]时,f(x)≥0恒成立,求a 的取值范围.

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11. 已知函数 f(x) = x2 - m 是定义在区间 [ - 3 - m , m2 - m] 上的奇函数,则 -1 f(m)=____. 解析 由已知,必有m2-m=3+m,即m2-2m-3=0, ∴m=3或m=-1. 当m=3时,函数即f(x)=x-1,x∈[-6,6],f(x)在x=0处无意义, 故舍去; 当m=-1时,函数即f(x)=x3,此时x∈[-2,2],符合题意. ∴f(m)=f(-1)=f(-1)3=-1.
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(-∞,1) 12.已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是_________. 解析 当x>1时,恒有f(x)<x, 即当x>1时,函数f(x)=xα的图象在y=x的图象的下方, 作出幂函数f(x)=xα在第一象限的图象, 由图象可知α<1时满足题意.

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3 2 0 ,b=____. 4 13.已知 a≤4x -3x+4≤b 的解集为[ a,b] ,则 a=____ 3 2 解析 设 f(x)= x -3x+4, 4
则f(x)的最小值为1,
因此a≤1(如果a>1,则a≤f(x)≤b的解集由两个区域构成),

于是有f(a)=f(b)=b,

4 而由 f(b)=b,得 b=4 或3, 而函数y=f(x)图象的对称轴为x=2,
故b=4,则f(a)=4,解得a=0(a=4舍去).
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14.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,则α的取 ? ?5π ? π? ? ? ? ? 0 , , π ? ?∪? ? 6 6 ? ? ? ? 值范围为_________________.
解析 由8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,
2 2 2

1 即 64sin α-32(1-2sin α)≤0,得到 sin α≤4. 1 ∵0≤α≤π,∴0≤sin α≤2, π 5π ∴0≤α≤6或 6 ≤α≤π. ? ?5π ? π? ? ? ? 即 α 的取值范围为?0,6?∪? 6 ,π? ?. ? ? ? ?
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得Δ=(-8sin α)2-4×8cos 2α≤0,

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15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,
? ?f?x?, F(x)=? ? ?-f?x?,

x>0, x<0,

求 F(2)+F(-2)的值;

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(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.



f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,

1 1 即 b≤x-x 且 b≥-x-x 在(0,1]上恒成立. 1 1 又 -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2. x x
∴-2≤b≤0. 故b的取值范围是[-2,0].

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