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广东省14市2016届高三数学上学期期末考试试题分类汇编 圆锥曲线 理



广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 圆锥曲线
一、选择题 1、 (潮州市 2016 届高三上期末)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点恰为抛物线 a 2 b2

y 2 ? 8x 的焦点,且离心率为 2,则该双曲线的标准方程为
A、 x ?
2

y2 ?1 3

B、

x2 y 2 ? ?1 4 12

C、

x2 ? y2 ? 1 3

D、

x2 y 2 ? ?1 12 4

2、 (东莞市 2016 届高三上期末) 已知圆 ( x ? m)2 ? y 2 ? 4 上存在两点关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对 称,若离心率为 2 的双曲线 点构成的图形的面积为 (A)1 (B) 3 (C)2 3 (D)4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与圆相交,则它们的交 a 2 b2

3、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测 (一) ) 已知 F1 、F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , a2 b2

b ? 0 ) 的 左 、 右 两 个 焦 点 , 若 在 双 曲 线 上 存 在 点 P , 使 得 ?F1 PF2 ? 90? , 且 满 足

2?PF1 F2 ? ?PF2 F1 ,那么双曲线的离心率为(
A. 3 ? 1 B. 2



C. 3

D.

5 2

4、 (广州市 2016 届高三 1 月模拟考试) 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一 a 2 b2

条渐近线的垂线,垂足为点 A ,与另一条渐近线交于点 B ,若 FB ? 2 FA ,则此双曲线 的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 5

uur

uur

x2 y 2 5、 (惠州市 2016 届高三第三次调研考试) 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 2 x 无 a b
交点,则离心率 e 的取值范围是( )

-1-

A. (1, 2)

B. (1, 2]

C. (1, 5)

D. (1, 5]

6、 (揭阳市 2016 届高三上期末) 如果双曲线经过点 p(2, 2) , 且它的一条渐近线方程为 y ? x , 那么该双曲线的方程式 (A) x ?
2

3y2 ?1 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 2 2

(C)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(D)

y 2 x2 ? ?1 2 2

7、 (茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试)设双曲线 距离为 6,则 P 点到 (0, ? 5) 的距离是( A.2 或 10 B.10 C.2 )

y2 ? x 2 ? 1上的点 P 到点 (0, 5) 的 4
D.4 或 8

8、 (清远市 2016 届高三上期末)已知双曲线 C: x2 ? 2my 2 ? 1 的两条渐近线互相垂直,则抛 物线 E: y ? mx2 的焦点坐标是( ) A、 (0,1) B、 (0,-1) C、 (0,

1 ) 2

D、 (0,-

1 ) 2

9、 (东莞市 2016 届高三上期末)已知直线 l 过抛物线 E: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且与 x 轴垂直, l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 24, 若点 P 为抛物线 E 上任意一点, A (4,1) , 则| PA|+|PF|的最小值为 (A)6 (B)4+2 2 (C)7 (D)4+2 3 ,

10、 (汕尾市2016届高三上期末)已知双曲线 点 A 在其右半支上, 若 AF AF2 =0, 若 1? A. (1,

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点为 a 2 b2

???? ???? ?

,则该双曲线的离心率e 的取值范围为

2)

B.(1,

3 ) C. ( 2 ,

3 ) D. ( 2 ,

6)

11 、( 韶 关 市 2016 届 高 三 1 月 调 研 ) 曲 线

x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与 曲 线 10 ? m 6 ? m

x2 y2 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的( 5?n 9?n
A.焦距相等 B. 离心率相等

) C.焦点相同
2

D.顶点相同

12、 (珠海市 2016 届高三上期末) 点 P( x0 ,y0 ) 为双曲线 C : 的虚轴顶点, PB1 ? PB2 ? 8 ,则 x0 的范围是(

x y2 ? ? 1上一点, B1 、B2 为 C 4 9

uuu r uuu r

)
-2-

A. (?

6 26 6 26 , ? 2] U[2, ) 13 13

B. (?

6 26 6 26 , ? 2) U (2, ) 13 13

C. (?2 2 , ? 2] U[2, 2 2)

D. (?2 2 , ? 2) U (2, 2 2]

13、 (湛江市 2016 年普通高考测试(一) )等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与 抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|= 4 3 ,则 C 的实轴长为:C
2

A、 2

B、2 2

C、4
2

D、8

y2 14、 (潮州市 2016 届高三上期末) 若双曲线 x ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 b
=1 至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是 A、 (1,2) B、 [2,+ ? ) C、 (1, 3] D、B、 [ 3 ,+ ? )

选择题答案: 1、A 2、D 3、A 4、C 6、B 7、A 8、D 9、C 11、A 12、C 13、 14、A 二、解答题

5、D 10、A

1、 (潮州市 2016 届高三上期末) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右顶点与右焦点的距离为 3 a 2 b2

-1,短轴长为 2 2 。 (I)求椭圆的方程; (II)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点,若△OAB(O 为直角坐标原点)的面积为

3 2 ,求直线 AB 的方程。 4

2、 (东莞市 2016 届高三上期末) 在平面直角坐标系 xoy 中, F 是椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的右焦点,已知点 A(0,-2)与椭圆左顶点关于直线 y ? x 对称,且直线 AF 的斜率为

2 3 。 3

(I)求椭圆 ? 的方程; ( II )过点 Q (- 1,0 )的直线 l 交椭圆 ? 于 M , N 两点,交直线 x =- 4 于点 E ,

???? ? ???? ???? ??? ? MQ ? ?QN , ME ? ? EN ,证明: ? ? ? 为定值。

-3-

3、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一) )已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一 a2 b2

个顶点为 A( 2, 0 ) ,且焦距为 2 ,直线 l 交椭圆 ? 于 E 、 F 两点(点 E 、 F 与点 A 不重合) , 且满足 AE ? AF . (1)求椭圆的标准方程; (2) O 为坐标原点,若点 P 满足 2OP ? OE ? OF ,求直线 AP 的斜率的取值范围.

4、 ( 广 州 市 2016 届 高 三 1 月 模 拟 考 试 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

x2 y 2 3 C1: 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 1 的离心率 e ? ,且椭圆 C1 上一点 M 到点 Q?0, 3? 的距离的最大值 ? ? a b 2
为 4. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 A ? 0, ? , N 为抛物线 C2:y ? x 上一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭
2

? 1? ? 16 ?

圆 C1 于 B , C 两点,求 ?ABC 面积的最大值.

5、 (惠州市 2016 届高三第三次调研考试) 已知中心在原点的椭圆 C : 的一个焦点为 F1 (3, 0) , 点 M (4, y)( y ? 0) 为椭圆上一点, ?MOF1 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

3 . 2

(Ⅱ) 是否存在平行于 OM 的直线 l , 使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点, 且以线段 AB 为 直径的圆恰好经过原点?若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由。 6、 (揭阳市 2016 届高三上期末)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,且短轴的长为 2, 离心率等于

2 5 。 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,交 y 轴于 M 点,若

??? ? ??? ? ???? ??? ? MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值。
-4-

7、 (茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 离心率为 a 2 b2

e?

3 ,以原点为圆心, 2
以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 与直线 l1 : y ? x ? 2 相切。

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设不过原点 O 的直线 l2 与该椭圆交于 P、Q 两点,满足直线 OP,

PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围。

8、 ( 清 远 市 2016 届 高 三 上 期 末 ) 如 图 , 点 A , B 分 别 在 射 线 l1 : y ? 2 x ( x ? 0) ,

l 2 : y ? ?2 x ( x ? 0) 上运动,且 S ?AOB ? 4 .
(1)求 x1 ? x2 ; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程;
O

y

A

M x B

(3)判定中点 M 到两射线的距离积是否是为定值,若是则找出该值并证明;若不是定值说 明理由。 9、 (汕头市 2016 届高三上期末)已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和圆 C2:(x-4) +(y-5) =4. (Ⅰ)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 C2 截得的弦长相等.试求所有满足 条件的点 P 的坐标.
2 2 2 2

10、 (汕尾市2016届高三上期末)抛物线C 关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,已知该抛 物线与直线y =x -1相切,切点的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程;
-5-

(2)过抛物线C 的焦点作直线L 交抛物线C 于 ,点 M 与点 P 关于 y 轴对称,求证:直线 PN 恒过定点,并求出该定点的坐标.

11、 (韶关市 2016 届高三 1 月调研)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 它的一个焦点为 a 2 b2

F1 (?1,0)

,且经过点 M (?1, 的方程;

2 3 ) 3

(Ⅰ)求椭圆 C (Ⅱ)已知圆

的方程是 x ? y ? a ? b
2 2 2

2

,过圆

上任一点 P

作椭圆 C

的两条

切线 l1 与 l2 ,求证 l1 ? l2 .

3 x2 y 2 12、 (珠海市 2016 届高三上期末)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M (1, ) ,且一 2 a b
个焦点为 F1 (?1,0) ,直线 l 与椭圆 C 交于 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 两不同点, O 为坐标原点, (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 ?OPQ 的面积为 3 ,证明: x12 ? x22 和 y12 ? y22 均为定值; (3)在(2)的条件下,设线段 PQ 的中点为 M ,求 | OM | ? | PQ | 的最大值.

解答题参考答案

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? 1、解: (Ⅰ)由题意得 ?b ? 2 ……………………………………………….1 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 解得 a ? 3 , c ? 1 . ……………………………………………………3 分 x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………4 分 所以所求椭圆方程为 3 2
(Ⅱ)方法一: 当直线 AB 与 x 轴垂直时, | AB | ? 此时 S?AOB ?

4 3 , 3

2 3 不符合题意故舍掉;…………………………………..5 分 3 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,
-6-

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 3 消去 y 得: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 ………6 分 2 ? y ? k ( x ? 1) ? ? ?6 k 2 x ? x ? ? ? 1 2 2 ? 3k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ,………………….…..7 分 2 ? x x ? 3k ? 6 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?
∴ | AB | ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? [k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)]2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[
?

36k 4 12k 2 ? 24 48(k 2 ? 1)2 ? ] ? (2 ? 3k 2 )2 2 ? 3k 2 (2 ? 3k 2 )2

4 3(k 2 ? 1) ………………………………………….…………9 分 2 ? 3k 2 |k| 原点 O 到直线的 AB 距离 d ? ,…………………………..…10 分 1? k 2 1 1 |k| 4 3(k 2 ? 1) ∴三角形的面积 S?AOB ? | AB | d ? . ? 2 2 1? k 2 2 ? 3k 2
3 2 2 得 k ? 2 ,故 k ? ? 2 .………………………………..11 分 4 ∴直线 AB 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,或 y ? ? 2( x ? 1) .
由 S?AOB ? 即 2x ? y ? 2 ? 0 , 或 2x ? y ? 2 ? 0 …………………………….12 分

方法二: 由题意知直线 AB 的斜率不为 O ,可设其方程为 ny ? x ? 1 .………….5 分

? ny ? x ? 1 ? 由 ? x2 y2 消去 x 得 (2n2 ? 3) y 2 ? 4ny ? 4 ? 0 .…………………….6 分 ?1 ? ? 2 ?3 4n ?4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? .…….7 分 2 2n ? 3 2n 2 ? 3 1 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 .…………….….8 分 ∴ S ?AOB ? | OF | ? | y1 ? y2 | ? 2 2 9 3 2 2 又 S?AOB ? ,所以 ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? .…………………….……..9 分 2 4 4n 2 16 9 2 ) ? 2 ? .解得 n ? ? ∴( 2 .………………..…….….11 分 2n ? 3 2n ? 3 2 2 2 2 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 ,或 ? y ? x ? 1, 2 2 即: 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,或 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 .………………………..12 分
2、
-7-

3、 【解析】(Ⅰ)依题意, a ? 2 , 2c ? 2 ,则 c ? 1 …………………1 分

x2 y 2 ? ? 1 .…………………3 分 解得 b ? 3 ,所以椭圆 ? 的标准方程为 4 3
2

(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时,由 ? 解得 x ?

? y ? ?x ? 2 ?3x ? 4 y ? 12
2 2

消去 y 整理得 7 x ? 16 x ? 4 ? 0 ,
2

2 ?2 ? 或 2 ,此时 P ? , 0 ? ,直线 AP 的斜率为 0 ;………………5 分. 7 ?7 ?

当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? kx ? t ( t ? ?2k ), 由?

? y ? kx ? t ?3x ? 4 y ? 12
2 2

2 2 2 ,消去 y 整理得 3 ? 4k x ? 8ktx ? 4t ? 12 ? 0 ,………………6 分

?

?

2 2 2 依题意 ? ? 64k t ? 4 3 ? 4k

?

?? 4t

2

? 12 ? ? 0 ,即 4k 2 ? t 2 ? 3 ? 0 (*),

且 x1 ? x2 ? ?

8kt 4t 2 ? 12 x x ? , ,…………………7 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又 AE ? AF , 所以

??? ? ??? ? AE ? AF ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ?
7t 2 ? 4k 2 ? 16kt ? ?0, 3 ? 4k 2

-8-

2 2 所以 7t ? 4k ? 16kt ? 0 ,即 ? 7t ? 2k ??t ? 2k ? ? 0 ,解得 t ? ?

2k 满足(*),……………… 7

8分 所以 2OP ? OE ? OF ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?

??? ?

??? ? ??? ?

8kt 6t ? ? ,故 , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?

4kt 3t ? ? ,…9 分 P?? , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?
故直线 AP 的斜率

k AP

3t 2 3t k 1 ,………………10 分 ? 3 ? 4k ?? 2 ? 2 ? 4kt 7 8 k ? 4 kt ? 6 8 k ? 7 ? ?2 8k ? 3 ? 4k 2 k
7 14 ? ?4 14 ,此时 ? ? k AP ? 0 ; k 56

当 k ? 0 时, 8k ? 当 k ? 0 时, 8k ?

7 14 ? 4 14 ,此时 0 ? k AP ? ; k 56

综上,直线 AP 的斜率的取值范围为 ? ?

? ?

14 14 ? , ? .………………………………………12 56 56 ?

分 4、

-9-

5、解: (1)? S ?MOF1 ?

3 3 3 ? y ? 得 y ?1 2 2 2

………………(1 分)

- 10 -

? M 在椭圆上,?

16 1 ? ?1 a 2 b2
? a 2 ? b2 ? 9



…………………(2 分)

? F1 是椭圆的焦点

② ………………………(3 分)

由①②解得: a 2 ? 18, b2 ? 9

…………………………………(4 分)

x2 y 2 椭圆的方程为 ? ? 1. 18 9
(2) OM 的斜率 k ?

…………………………………………(5 分)

1 1 ,设 l 的方程为 y ? x ? m ,……………(6 分) 4 4

1 ? y ? x?m ? ? 4 联立方程组 ? 2 整理得 9 y 2 ?16my ? 8m2 ? 9 ? 0. 2 x y ? ? ?1 ? ? 18 9
△ ? ?16m ? ? 4 ? 9 ? 8m ? 9 ? 0 ,解得 m ? ? ??
2 2

?

?

? 9 2 9 2? , ? ? ………(7 分) 4 4 ? ?

设 A、 B 两点的坐标为 ( x1 , y1 )( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

16m 8m2 ? 9 , y1 y2 ? . ………(8 分) 9 9

以 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0. 该圆经过原点

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

x1x2 ? (4 y1 ? 4m)(4 y2 ? 4m) ? 16 y1 y2 ?16m( y1 ? y2 ) ?16m2 ? x1x2 ? y1 y2 ? 16 y1 y2 ?16m( y1 ? y2 ) ?16m2 ? y1 y2
? 17 y1 y2 ? 16m( y1 ? y2 ) ? 16m2 ? 17(8m2 ? 9) 162 m2 ? ? 16m2 ? 0 9 9

解得 m ? ?

102 ? ? ? 9 2 , 9 2 ? ? ? …………………………………(11 分) ? 4 4 ? 4 ? ? 1 102 …………………………(12 分) x? 4 4

经检验,所求 l 的方程为 y ?

(备注:若消去的变量为 y ,按对应给分点给分即可)

- 11 -

6、解: (I)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

则由题意知 2b = 2, \ b = 1. -------------------------------------------------------2 分

1 2 5 a 2 ? b2 2 5 ? 1? 2 ? ? 2 a 5 a 5
解得 a ? 5 ,--------------------------------------------------------------------4
2

分 ∴椭圆 C 的方程为 分 (II)证法 1:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) , 易知 F 点的坐标为(2,0). ------------------------------------------------------6 分 显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) , -----------7 分 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

x2 ? y 2 ? 1. ---------------------------------------------------5 5

(1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ------------------------------------------------9


20k 2 20k 2 ? 5 ? x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? . -------------------------------------------10 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
分 又? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 将各点坐标代入得 ?1 ?

x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

40k 2 40k 2 ? 10 ? 2 2 x x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ?1 ? ?2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k ? ?10. -------12 2 40k 20k ? 5 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
分 【证法二:设点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 易知 F 点的坐标为(2,0). ------------------------------------------------------6 分

? MA ? ?1 AF,? ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ). ∴ x1 ?

y 2?1 , y1 ? 0 . ------------7 1 ? ?1 1 ? ?1
- 12 -

分 将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 (

y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1. 去分母整理得 5 1 ? ?1 1 ? ?1

2 2 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0. --------------------------------------------------------9

分 同理,由 MB ? ?2 BF 可得 ?2 2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 ---------------------------------10 分 即 分】 7、解:(1) 由直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? b 相切得:
2 2 2

是方程? 2? 10? ? 5 ? 5 y 0 2 ? 0

的两个根,? ?1 ? ?2 ? ?10. -------------------12

d?

|0?0? 2 | 12 ? ( ?1) 2

?1 ? b,

……………2 分

c 3 3 得 c? ……………3 分 ? a, a 2 2 3 2 2 2 ? a 2 ? 12 ? a 2 ? a 2 ? 4 又a ?b ?c ……………4 分 4 x2 ? y2 ? 1 椭圆 C 的方程为 ……………5 分 4 (2)由题意可知,直线 l2 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为
由e ?

y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), ? ?y=kx+m, 2 2 2 由? 2 消去 y 得(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0, …………6 分 2 ?x +4y -4=0 ?
则 Δ =64k m -16(1+4k )(m -1)=16(4k -m +1)>0, 2 -8km 4?m -1? 且 x1+x2= . 2,x1x2= 2 1+4k 1+4k ?1 , ? 2 故 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m . 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, y1 y2 k2x1x2+km?x1+x2?+m2 2 所以 ? = =k ,
2 2 2 2 2 2 2 2

……………7 分

x1 x2 x1x2 2 2 -8k m 1 1 2 2 即 又 m≠0,所以 k = ,即 k=± . 2 +m =0, 1+4k 4 2
2 2

…………8 分 …………9 分

由 Δ >0,及直线 OP,OQ 的斜率存在,得 0<m <2 且 m ≠1. ………10 分 1 2 2 S△OPQ= |x1-x2||m|= m2?2-m2? ? 1 ? (m ? 1) , ………………11 分 2 ( 或 S△OPQ ? 1 | AB | ?h ? 1 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? | m | ? ??? ? m2 (2 ? m2 ) ) 2 2 1? k 2 所以 S△OPQ 的取值范围为(0,1). ……………………12 分
- 13 -

8、 【解析】 (1)设 M ( x, y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,∠AOB ? 2? , …1 分 由 y ? 2 x 可得, tan ? ? k ? 2 ,解法一:那么 sin 2? ?

2k 4 ? ,………3 分 2 5 1? k

(解法二:∵θ ∈(0,90°) ,∴sinθ = 又? OA ? 5x1 , OB ? 5x2

4 2 5 5 , cosθ = , sin2θ = ………3 分) 5 5 5

……………4 分

? S ?AOB ?

1 OA ? OB ? sin 2? ? 4 ,化简得 x1 ? x2 ? 2 ,…………①式……………5 分 2

(2)? M ( x, y ) 是 A( x1 , y1 ) 与 B( x2 , y2 ) 的中点,

? x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y 2 ? 2 y ,且 y1 ? 2 x1 , y 2 ? ?2 x2 ,…………………6 分
联立可得

4x1 ? x2 ? 4x 2 ? y 2 ,…………………7 分
2 2

并代入①式,得 4 x ? y ? 8 ,…………………8 分

? 中点 M 的轨迹方程是 4 x 2 ? y 2 ? 8 ,( x ? 0 )

…………………………9 分

(Ⅱ)设中点 M 到射线 OA 、 OB 的距离分别为 d 1 、 d 2 ,

? ?d 1 ? ? 则? ?d ? ? 2 ?

2x ? y 12 ? 2 2 , 2x ? y 12 ? 2 2
2x ? y 1 ?2
2 2

…………………………10 分

那么 d1 ? d 2 ?

?

2x ? y 1 ?2
2 2

?

4x 2 ? y 2 5

?

8 5

…………………………11 分

? 中点 M 到两射线的距离积为定值

…………………………12 分

9、解:(Ⅰ)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.………1 分 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),………2 分 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为圆 C1 被直线 l 截得的弦长为 2 3, 所以 d= 2 -? 3? =1. ………3 分 |1-k?-3-4?| 由点到直线的距离公式得 d= ,………4 分 2 1+ k 7 从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- ,………5 分 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0. ………6 分
- 14 2 2

(Ⅱ)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0, 1 则直线 l2 的方程为 y-b=- (x-a).………7 分

k

因为圆 C1 和 C2 的半径相等,且圆 C1 被直线 l1 截得的弦长与圆 C2 被直线 l2 截得的 弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即 1 |5+ ?4-a?-b| k |1-k?-3-a?-b| = ,………9 分 2 1 1+k 1+ 2

k

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,………10 分 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值有无穷多个,所以 ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, ? ? ? 或? ………11 分 ? ? ?b-a+3=0, ?a+b-5=0, 5 a= , ? ? 2 解得? 1 ? ?b=-2, 3 a=- , ? ? 2 或? 13 ? ?b= 2 .

1? ?5 ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ,- ?或点 P2?- , ?. 2? ?2 ? 2 2? 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.………12 分 10、

- 15 -

11、 (Ⅰ)一个焦点为 F2 (1,0) ,则

2a ? MF1 ? MF2 2 3 ? ? 3 ?2 3? ? ?1 ? 1? ? ? ? 3 ? ? ?2 3?2 ? ?
2 2

- 16 -

? a ? 3 …………………………………………………………………………………2 分 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 1 ? 2 . x2 y 2 ? 1. ………………………………………………………4 分 ? 椭圆的标准方程是 ? 3 2
(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) 由? 分 直线与椭圆相切,?? ? 0 ,……………………………………………………………7 分 ,若过点 的切线斜率都存在,设其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x 0 ) ,

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

得 , (2? 3 k 2 )x2 ? 6 k (y ? 3(kx y 2) ? 6 ? 0 , … …6 0 ? kx 0 )x 0 ? 0

[6k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(2 ? 3k 2 )[3(kx0 ? y0 )2 ? 6] ? 0 ,
2 2 整理得 (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0k ? 2 ? y0 ?0

, ………………………………………………

8

分 椭圆 的两条切线的斜率分别为 k1 , k2 ,

2 2 ? y0 ? k1 ? k2 ? 2 3 ? x0

,………………………………………………………………………

9

分 点 在圆
2 2 上,? x0 ? y0 ?5 2 2 ,即 y0 ? 5 ? x0



? k1 ? k2 ?

2 2 2 2 ? y0 2 ? (5 ? x0 ) ?3 ? x0 ) ? ? ? ?1 2 2 2 3 ? x0 3 ? x0 3 ? x0

? l1
分.

?

l2

…………………………………………………………………11

若过点 P 的切线有一条斜率不存在,不妨设该直线为 l1 ,则 l1 的方程为 x ? ? 3 , l2 的 方程为 y ? ? 2 ,所以 l1 ? l2 综上,对任意满足题设的点 P ,都有 l1 ? l2 ……………………………………12 分 12、解:椭圆 C 的另一焦点为 F2 ,由已知得: F2 (1, 0)

? 2a ? MF1 ? MF2 ? 4 ?

9 9 ? ? 4 ?a ? 2 4 4

?b ? 3

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………2 分 故椭圆 C: 4 3

- 17 -

(2)证明:当直线 l ? x 轴时,

x12 y12 1 ? ? 1, S?OPQ ? x1 ? 2 y1 ? 3 ,解得 2 4 3

x1 ? 2, y1 ?

6 ,故 x12 ? x22 ? 4, y12 ? y22 ? 3 2

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, m ? 0
2 2 2 代入椭圆 C 的方程得: 3 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 2 2 2 其中 ? ? 64k m ? 16 3 ? 4k

?

?

?

?? m

2

? 3? ? 0 即 3 ? 4k 2 ? m2 ???



x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 12 , x x ? …………………………………………………4 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
? PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ,点 O 到直线 l 的距离为 d ?

m 1? k 2

,

? S?OPQ ?

1 1 1 4 9 ? 3m2 ? 12k 2 PQ ? d ? m ? x1 ? x2 = m ? ? 3 …………………6 分 2 2 2 3 ? 4k 2

化简,得: 3 ? 4k

?

2 2

?

? 4m2 (3 ? 4k 2 ) ? 4m4 ? (3 ? 4k 2 ? 2m2 )2 ? 0

?3 ? 4k 2 ? 2m2 且符合 ? ?? 式

? x ? x2 ? ? x1 ? x2 ?
2 1 2
2 2

2

2 2 2 2 2 8km 2 8 ? m ? 3? 8 ? 4k m ? 9 ? 3m ? 12k ? = ? 2 x1 x2 ? (? ) ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ?

=4,进而有 y1 ? y2 ? 6 ? (3)解法一:

3 2 x1 ? x2 2 ? ? 3 …………………………8 分 ? 4

①当直线 l 的斜率不存在时,由(2)知 | OM |?| x1 |? 2,| PQ |? 2 | y1 |? 6, 因此 | OM | ? | PQ |? 2 ? 6 ? 2 3. …………………………9 分 ②当直线 l 的斜率存在时,由(2)知

x1 ? x2 2k y ? y2 x ?x 2k 2 ?2k 2 ? m2 3 ?? , 1 ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? ? , 2 m 2 2 m m 2m

| OM |2 ? (

x1 ? x2 2 y ? y2 2 4k 2 9 8m2 ? 3 3 8 1 ) ?( 1 ) ? 2 ? ? ? ( ? 2 ), 2 2 m 4m 2 4m 2 4 3 m

- 18 -

| PQ |2 ? (1 ? k 2 )
2

48(4k 2 ? 3 ? m2 ) 3(2m2 ? 1) 1 ? ? 3(2 ? 2 ), ………10 分 2 2 2 (3 ? 4k ) m m
2

所以 | OM | ? | PQ | ?

9 8 1 1 ? ( ? 2 ) ? (2 ? 2 ) 4 3 m m

8 1 1 ? 2 ?2? 2 9 m )2 ? 49 . ? (3 m 4 2 4 7 8 1 1 所以 | OM | ? | PQ |? ,当且仅当 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 3 时,等号成立. 2 3 m m 7 综合(1) (2)得 | OM | ? | PQ | 的最大值为 . ……………………………12 分 2
解法二: 因为 4 | OM |2 ? | PQ |2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
2 2 2 2 ? ? 2? ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? ? 14

4 | OM |2 ? | PQ |2 14 ? ? 7. 所以 2 | OM | ? | PQ |? 2 2
7 , 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 7 时等号成立. 2 7 因此 | OM | ? | PQ | 的最大值为 . 2
即 | OM | ? | PQ |?

- 19 -



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