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2016届高考文科数学第一轮复习教案——第二章 函数、导数及其应用



第二章 函数、导数及其应用

第一节

函数及其表示

对应学生用书P12 基础盘查一 函数的有关概念 (一)循纲忆知 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函

数是建立在其定义域到值域的映射( ) ) ) ) )

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=a 最多有 2 个交点( (3)函数 f(x)=x2-2x 与 g(t)=t2-2t 是同一函数(

(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数( (5)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A 到 B 的映射( 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×

2.(人教 A 版教材复习题改编)函数 f(x)= 答案:[4,5)∪(5,+∞)

x-4 的定义域是________________. |x|-5

3.已知函数 y=f(n),满足 f(1)=2,且 f(n+1)=3f(n),n∈N*,则 f(4)=________. 答案:54 基础盘查二 分段函数 (一)循纲忆知 了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段). (二)小题查验 1.判断正误
? ?1,x≥0, (1)函数 f(x)=? 是分段函数( ?-1,x<0, ?

)

? 1-x2,-1≤x≤1, (2)若 f(x)=? ?x+1,x>1或x<-1, ? 1-x2,-1≤x≤1, 则 f(-x)=? ( ?-x+1,x>1或x<-1
答案:(1)√ (2)√ 2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________,其值域等于各段函数的值域 的________. 答案:并集 并集
x ? ?4 ,x≤1, 3.已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x,x>1, ?

)

1 答案: 2

对应学生用书P12

考点一 函数的概念(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.函数的定义 设 A、B 为两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个数 x,在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x). 2.函数的三要素

[题组练透] 1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 C.y=4lg x 与 y=2lg x2 答案:D 2.下列所给图象是函数图象的个数为( ) ) B.y= x-1与 y= x-1 x-1 x 100

D.y=lg x-2 与 y=lg

A.1 C.3

B.2 D.4

解析:选 B ①中当 x>0 时,每一个 x 的值对应两个不同的 y 值,因此不是函数图象, ②中当 x=x0 时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值, 因此是函数图象,故选 B. [类题通法] 两个函数是否是同一个函数, 取决于它们的定义域和对应关系是否相同, 只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时, 才表示同一函数. 另外, 函数的自变量习惯上用 x 表示, 但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同一函数. 考点二 函数的定义域问题(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合, 它是函数不可缺少的组成部分, 研 究函数问题必须树立“定义域优先”的观念.求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴. 常见的命题角度有: (1)求给定函数解析式的定义域; (2)求抽象函数的定义域; (3)已知定义域确定参数问题. 角度一:求给定函数解析式的定义域 1.函数 f(x)= 1-|x-1| (a>0 且 a≠1)的定义域为________. ax-1

?1-|x-1|≥0, ?0≤x≤2, ? ? 解析:由? x ?? ?0<x≤2, ? ? ?a -1≠0 ?x≠0

故所求函数的定义域为(0,2]. 答案:(0,2] 1? 2 2.(2013· 安徽高考)函数 y=ln? ?1+x?+ 1-x 的定义域为________. 1 x+1 ? ? ? ?1+x>0, >0, 解析:要使函数有意义,需? 即? x ?1-x2≥0, ? ? ?x2≤1,
? ?x<-1或x>0, 即? 解得 0<x≤1,所以定义域为(0,1]. ?-1≤x≤1, ?

答案:(0,1] 角度二:求抽象函数的定义域 f?x+1? 3.若函数 y=f(x)的定义域是[1,2 014],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,2 013] C.(1,2 014] B.[0,1)∪(1,2 013] D.[-1,1)∪(1,2 013] )

解析:选 B 令 t=x+1,则由已知函数的定义域为[1,2 014],可知 1≤t≤2 014.要使 函数 f(x+1)有意义, 则有 1≤x+1≤2 014, 解得 0≤x≤2 013, 故函数 f(x+1)的定义域为[0,2 013].
?0≤x≤2 013, ? 所以使函数 g(x)有意义的条件是? 解得 0≤x<1 或 1<x≤2 013.故函数 g(x) ? ?x-1≠0,

的定义域为[0,1)∪(1,2 013].故选 B. 4.若函数 f(x2+1)的定义域为[-1,1],则 f(lg x)的定义域为( A.[-1,1] C.[10,100] B.[1,2] D.[0,lg 2] )

解析:选 C 因为 f(x2+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故 0≤x2≤1,所以 1≤x2 +1≤2.因为 f(x2+1)与 f(lg x)是同一个对应法则,所以 1≤lg x≤2,即 10≤x≤100,所以函 数 f(lg x)的定义域为[10,100].故选 C.

角度三:已知定义域确定参数问题 5.(2015· 合肥模拟)若函数 f(x)= ________. 解析:函数 f(x)的定义域为 R,所以 2x2+2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成立,即 2x2+2ax -a≥20,x2+2ax-a≥0 恒成立,因此有 Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0] [类题通法] 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f(g(x))的定义域,是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范 围,而已知 f(g(x))的定义域是[a,b],指的是 x∈[a,b]. 考点三 求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] (1)函数的解析式是表示函数的一种方法,对于不是 y=f(x)的形式,可根据题目的条件 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

转化为该形式. (2)求函数的解析式时,一定要注意函数定义域的变化,特别是利用换元法求出的解析 式,不注明定义域往往导致错误. [典题例析] 1? 2 1 (1)已知 f? ?x+x?=x +x2,求 f(x)的解析式; 2 ? (2)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; (3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x); 1? (4)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f? ?x?· x-1,求 f(x). 1 1 1 x+ ?=x2+ 2=?x+ ?2-2, 解:(1)由于 f? ? x? x ? x? 所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2. 2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg ,x>1. x-1 (3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
?2a+b=b+1, ? 1 所以? 解得 a=b= . 2 ?a+b=1, ?

1 1 所以 f(x)= x2+ x,x∈R. 2 2 1? (4)在 f(x)=2f? ?x? x-1 中, 1? 1 1 用 代替 x,得 f? ?x?=2f(x) x-1, x 1? 2f?x? ?1? 将 f? ? x?= x -1 代入 f(x)=2f?x? x-1 中, 2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3 [类题通法]

求函数解析式常用的方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替 代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; 1? (4)消去法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个 等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [演练冲关] 1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. 解:法一:设 t= x+1,则 x=(t-1)2,t≥1,代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1,x≥1. 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1, x+1≥1, 即 f(x)=x2-1,x≥1. 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解 析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,解得 c=1.故 f(x)=x2+2x+1. 考点四 分段函数(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数. [提醒] 分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. [典题例析]
?log3x,x>0, ? 1.已知 f(x)=? x 且 f(0)=2,f(-1)=3,则 f(f(-3))=( ?a +b,x≤0, ?

)

A.-2 C.3

B .2 D.-3

解析:选 B 由题意得 f(0)=a0+b=1+b=2,

解得 b=1. 1 - - f(-1)=a 1+b=a 1+1=3,解得 a= . 2 1?-3 故 f(-3)=? ?2? +1=9, 从而 f(f(-3))=f(9)=log39=2.
?2x+a,x<1, ? 2 .已知实数 a≠0 ,函数 f(x) = ? 若 f(1 - a) = f(1 + a) ,则 a 的值为 ?-x-2a,x≥1. ?

________. 解析:当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a=-1-3a,解得 a=- . 2 不合题意,舍去. 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综上可知,a 的值为- . 4 3 答案:- 4 [类题通法] 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围. [提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. [演练冲关] 1 ? ?2x+1, x≤0, (2015· 榆林二模)已知 f(x)=? ?-?x-1?2, x>0, ? 使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是________.

x≤0, ? ? ? ?x>0, 解析:由题意知?1 或? 2 ?-?x-1? ≥-1, ? ? ?2x+1≥-1 解得-4≤x≤0 或 0<x≤2,故 x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2] 对应B本课时跟踪检测?四?

一、选择题 1+x 1.(2015· 大同调研)设全集为 R,函数 f(x)=ln 的定义域为 M,则?RM=( 1-x A.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.[-1,1] )

1+x 1+x 解析:选 C 由 f(x)=ln ,得到 >0, 1-x 1-x 即(x+1)(x-1)<0, 解得-1<x<1,即 M=(-1,1), ∵全集为 R, ∴?RM=(-∞,-1]∪[1,+∞).
?x2+1,x≤1, ? 2.已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))=4a,则实数 a 等于( ?2 +ax,x>1, ?

)

1 A. 2 C.2

4 B. 3 D.4

解析:选 C ∵f(1)=2,∴f(f(1))=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2.故选 C. 3.若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则 g(x)的解析式为( A.g(x)=2x2-3x C.g(x)=3x2+2x B.g(x)=3x2-2x D.g(x)=-3x2-2x )

解析:选 B (待定系数法)设 g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象 过原点, a+b+c=1, ? ? ∴?a-b+c=5, ? ?c=0, a=3, ? ? 解得?b=-2, ? ?c=0,

∴g(x)=3x2-2x,选 B. 4.函数 f(x)= 10+9x-x2 的定义域为( lg?x-1? )

A.[1,10] C.(1,10] 解析:选 D 要使函数 f(x)有意义, 10+9x-x ≥0, ? ? 则 x 需满足?x-1>0, ? ?lg?x-1?≠0,
2

B.[1,2)∪(2,10] D.(1,2)∪(2,10]

-1≤x≤10, ? ? 即?x>1, ? ?x≠2,

所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10].故选 D. 5 . 根 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 : 分 钟 ) 为 f(x) =

? x,x<A, ?c ? A,x≥A,
A.75,25 C.60,25

c

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品

用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是(

) B.75,16 D.60,16

解析:选 D 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟, 所以 c =15,① A c c = =30.② 4 2

所以必有 4<A,且

联立①②解得 c=60,A=16. 1? 6.?创新题?具有性质:f? ?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函 数: x,0<x<1, ? ?0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 ? ?-x,x>1. 其中满足“倒负”变换的函数是( A.①② C.②③ ) B.①③ D.①

1? 1 1? 1 1 解析:选 B 对于①,f(x)=x- ,f? = -x=-f(x),满足; 对于②,f? ?x?=x+x=f(x), x ? x? x

? ? 1 ?= 0,1=1, 不满足;对于③,f? ? x? ? x ? >1, ?-x,1 x
二、填空题

1 1 ,0< <1, x x

? ,x>1, 1? ?x ? 即 f?x?=? 0,x=1, ? ?-x,0<x<1,

1

1? 故 f? ? x?=-f(x),满

足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.

7. (2015· 太原月考)已知 y=f(2x)的定义域为[-1,1], 则 y=f(log2x)的定义域是________. 解析:∵函数 f(2x)的定义域为[-1,1], 1 ∴-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2. 2 1 ∴在函数 y=f(log2x)中, ≤log2x≤2,∴ 2≤x≤4. 2 答案:[ 2,4] 1? 8.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f? ?2?log2x,则 f(2)=________. 1? 1 1 ?1?· ?1?=1, 解析: 由已知得 f? = 1 - f log 2 , 则 f log2x, 故 f(2)=1+ · log22 2 ?2? ?2? ?2? 2 则 f(x)=1+2· 2 3 = . 2 3 答案: 2 9.已知函数 y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数 y=f(x)的定义域为________. 解析:∵y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3], ∴x∈[- 3, 3],x2-1∈[-1,2], ∴y=f(x)的定义域为[-1,2]. 答案:[-1,2]
x ? ?3 +a,x≥0, 10.(2015· 岳阳模拟)已知奇函数 f(x)=? 则 f(-2)的值为________. ?g?x?,x<0, ?

解析:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(0)=30+a=0,即 a=-1.所以 f(-2)=g(-2)=- f(2)=-(32-1)=-8. 答案:-8 三、解答题 1? x 11.(1)如果 f? ?x?=1-x,则当 x≠0 且 x≠1 时,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析式.

1 1 解:(1)令 =t,得 x= (t≠0 且 t≠1), x t 1 1 = ,∴f(x)= (x≠0 且 x≠1). 1 t-1 x-1 1- t 1 t

∴f(t)=

(2)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成立,
? ? ?a=2, ?a=2, ∴? 解得? ∴f(x)=2x+7. ?b+5a=17, ?b=7, ? ?

12.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 2、 3 所示. 你 能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元? 解:(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图 2 的建议是降低成本,票价不变,图 3 的建议是提高票价. (3)斜率表示票价. (4)图 1、2 中的票价是 2 元.图 3 中的票价是 4 元.

第二节

函数的单调性与最值

对应学生用书P15

基础盘查一 函数的单调性 (一)循纲忆知 1.理解函数的单调性及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

(二)小题查验 1.判断正误 (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( (2)函数 f(x)为 R 上的减函数,则 f(-3)>f(3)( ) )

(3) 在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变 量”( ) ) )

1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)( x

(5)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞)( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×

2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=x2-2x(x∈[2,4])的增区间为________. 答案:[2,4] 3.若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 k 的取值范围是________. 1? 答案:? ?-∞,-2? 基础盘查二 函数的最值 (一)循纲忆知 1.理解函数最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的最值. (二)小题查验 1.判断正误 (1)所有的单调函数都有最值( ) )

1 1 (2)函数 y= 在[1,3]上的最小值为 ( x 3 答案:(1)× (2)√

2 2. (人教 A 版教材例题改编)已知函数 f(x)= (x∈[2,6]), 则函数的最大值为________. x-1 答案:2

对应学生用书P15 考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.定义法 设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2);

(2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). 2.导数法 在某个区间(a, b)内, 如果 f′(x)>0, 那么函数 y=f(x)在这个区间上单调递增; 如果 f′(x) <0,那么函数 y=f(x)在这个区间上单调递减. [题组练透] 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x 1 C.f(x)=- x+1 )

B.f(x)=x2-3x D.f(x)=-|x|

解析:选 C 当 x>0 时,f(x)=3-x 为减函数; 3? 2 当 x∈? ?0,2?时,f(x)=x -3x 为减函数, 3 2 ? 当 x∈? ?2,+∞?时,f(x)=x -3x 为增函数; 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=- 1 为增函数; x+1

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数.故选 C. -2x 2.判断函数 g(x)= 在(1,+∞)上的单调性. x-1 解:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, -2x1 -2x2 2?x1-x2? 则 g(x1)-g(x2)= - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? 因为 1<x1<x2, 所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数. [类题通法] 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数判断.但是,对于抽象函数单调性的证明,只能采用定义 法进行判断. 考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.

[典题例析] 求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; 1 (2)y=log (x2-3x+2). 2
?-x2+2x+1,x≥0, ? 解:(1)由于 y=? 2 ?-x -2x+1,x<0, ? ?-?x-1?2+2,x≥0, ? 即 y=? 2 ? ?-?x+1? +2,x<0.

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单 调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log 1 u 与 u=x2-3x
2

+2 的复合函数. 令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. ∴函数 y=log 1 (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2

3 又 u=x2-3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2 ∴u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而 y=log 1 u 在(0,+∞)上是单调减函数,
2

∴y=log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
2

[类题通法] 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性 写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. [提醒] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分 别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. [演练冲关] 1.若将典例(1)中的函数变为“y=|-x2+2x+1|”,则结论如何? 解:函数 y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.

由图象可知,函数 y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1- 2,1)和(1+ 2,+∞);单 调递减区间为(-∞,1- 2)和(1,1+ 2). 2 .设函数 y = f(x) 在 ( -∞,+∞) 内有定义.对于给定的正数 k ,定义函数 fk(x) =
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,求函数 fk(x)的单调递增区间. 2 ?k,f?x?>k, ?

1 解:由 f(x)> ,得-1<x<1. 2 1 由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2 2 ,x≥1, ? ?1 (x)=?2,-1<x<1, ? ?2 ,x≤-1.
x
-x

所以 f 1
2

故 f 1 (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2

考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 函数的最值 (1)函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标;函数的最小值 对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在 x=b 处有 最小值 f(b). [多角探明] 高考对函数单调性的考查多以选择题、 填空题的形式出现, 有时也应用于解答题中的某 一问中. 函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有: (1)求函数的值域或最值; (2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式; (4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一:求函数的值域或最值

1 ? ?x,x≥1, 1.函数 f(x)=? 的最大值为________. ? ?-x2+2,x<1 1 解析:当 x≥1 时,函数 f(x)= 为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=1; x 当 x<1 时,易知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2. 答案:2 角度二:比较两个函数值或两个自变量的大小 1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

1 解析:选 B ∵函数 f(x)=log2x+ 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0, 1-x ∴当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0. 角度三:解函数不等式 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当 f(x)+f(x -8)≤2 时,x 的取值范围是( A.(8,+∞) C.[8,9] ) B.(8,9] D.(0,8)

解析:选 B 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由 f(x)+f(x-8)≤2,可得 f[x(x-8)]≤f(9),因 x>0, ? ? 为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有?x-8>0, ? ?x?x-8?≤9, 解得 8<x≤9. 角度四:利用单调性求参数的取值范围或值 ?a-2?x,x≥2, ? ? f?x1?-f?x2? 4.已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2,都有 <0 成 x1-x2 - 1 , x <2 ? 2 ?? ? 立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,2) ) 13? B.? ?-∞, 8 ?

C.(-∞,2]

13 ? D.? ? 8 ,2?

解析:选 B 由题意可知,