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江西省南昌市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理(扫描版)



江西省南昌市 2016 届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理(扫描版)

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NCS20160607 项目第二次模拟测试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 D 10 B 11 A 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 2? ; 14.7; 15. 20? ; 16. 98 三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分. 17.解: (Ⅰ)当点 P 在三角形 ABC 外,且 CP ? AB 时, ?BCP ? 又 CP ? 1, BC ? AB ? cos

?
6

? 3 ,所以 | BP |2 ? 1 ? 9 ? 2 ?1? 3cos

2? ? 13 ,…………4 分 3

2? , 3

所以

1 13 39 ? ? sin ?BCP ? ;………………………………………6 分 sin ?BCP sin 2? 26 3

(Ⅱ)以点 C 为原点,过点 C 且平行于 AB 的直线为 x 轴,建立直角坐标系, 则 A(?

3 3 3 3 3 , ? ), B( , ? ) ,设 P(cos ? ,sin ? ) ,则 2 2 2 2

??? ? ??? ? 3 3 3 3 3 PA ? PB ? (cos ? ? ,sin ? ? ) ? (cos ? ? ,sin ? ? ) 2 2 2 2
9 9 ? cos 2 ? ? 3 cos ? ? ? sin 2 ? ? 3sin ? ? ? 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 4 4 ? 2 3 sin(? ? ) ? 1 ,…………………………………………………………………10 分 6 ??? ? ??? ? 所以 PA ? PB 的取值范围是 [?2 3 ? 1, 2 3 ? 1] .………… …………………………12 分 1 18.解: (Ⅰ)投资甲项目 4 万元,一年后获利 1 万元、 万元、 ?1 万元的概率分别是 0.2,0.4,0.4 , 2
投资项目乙 4 万元,一年后获利 2 万元、 0 万元、 ?1 万元的概率分别是 0.4,0.2,0.4 ,……2 分 所以一年后这两个项目盈利和不低于 0 万元的概率是:

?

P ? 0.4 ?1 ? 0.2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.6 ;………………………………………………5 分
(Ⅱ)设投资项目甲 x 万元,投资项目乙 8 ? x 万元, 盈利期望和 y ? 0.2 ? 化简 得 y ?

1 1 1 1 x ? 0.4 ? x ? 0.4 ? (?1) ? 0.4 ? (8 ? x) ? 0.4 ? (? )(8 ? x) 4 4 2 4

?x ? 2 x ? 8 ,………………………………………………………………9 分 20

2 万元, 5 综上:应该投资项目甲 1 万元,项目乙 7 万元.…………………………………………12 分
所以当 x ? 1 时, y 最大,最大值是 19. (Ⅰ)证明: AB1 ? AB ? BB1 ? 2 AB ? BB1 cos60? ? 3 ,所以 AB1 ? AB ? BB1 ,
2 2 2 2 2 2

5

ABCD , 所以 B1 A ? AB ,又因为侧面 AA 1B 1 B ? 底面
所以 B1 A ? 底面 ABCD ,所以 B1 A ? BD ,………………………………………………3 分 又因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD ,所以 BD ? 平面 AB1C , 所以平面 AB1C ? 平面 BDC1 ;……………………………5 分 (Ⅱ) 由 (1) 知 B1 A ? AB, B1 A ? AD , 如图以 AB, AD, AB1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), B1(0,0, 3) , 平面 AB1C 的法向量为 BD ? (?1,1,0) ,设 A 1E ? ? A 1D 1 ,
A1 E D1

所在直线

z
B1 C1

??? ?

????

?????

?? 平面 ACE 的法向 量 m ? ( x, y, z) ,则

A

D

y

???? ??? ? A1E ? ? AD ? (0, ?,0) ,
所以 AE ? AA 1?A 1E ? BB 1?A 1E ? (?1, ?, 3) , 由 m ? AE ? 0 ? ? x ? ? y ? 3z ? 0 , 由 m ? AC ? 0 ? x ? y ? 0 ,令 x ? 1 ,则 y ? ?1, z ? 即 m ? (1, ?1,

B

x

C

??? ? ???? ???? ???? ????

?? ??? ?

?? ??? ?
??

? ?1
3



) ,………………………………………………………………8 分 3 ??? ? ?? ?2 所以 cos ? BD, m ?? , (? ? 1)2 2? 2? 3

? ?1

6 (? ? 1)2 所以 ? ? 2? ? 3 ,解得 ? ? 3 ? 1 , 3 3 (? ? 1)2 2? 2? 3 2
所以在棱 A1D1 上存在点 E ,使二面角 E ? AC ? B1 的余弦值是 20.解: (1)设点 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) ,

AE 6 , 1 ? 3 ? 1 .…12 分 3 A1 D1



x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1, ? ? 1, a 2 b2 a 2 b2
1 y ?y 1 y ? y1 1 ,因此 ? ? 2 , k? 2 1, k k x2 ? x1 4 x2 ? x1
6

因为 AD ? AB ,所以 k AD ? ?

所以 ?

1 y2 2 ? y12 ? ? 4 x2 2 ? x12
2

?

b2 ( x2 2 ? x12 ) 2 b2 1 a ? ? ,………………………………4 分 x2 2 ? x12 a2 4

又 a ? b ? 3,
2

解得 a2 ? 4, b2 ? 1 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.……………………………6 分 4

(2)因为 k ?

y1 y ,所以 l2 : y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) , x1 4 x1
3 y1 , 4

令 y ? 0 得 xM ? 3x1 ,令 x ? 0 得 y N ? ? 所以 S△OMN ? 因为 1 ?

1 9 | OM | ? | ON |? | x1 y1 | ,……………………………………………9 分 2 8

x12 ? y12 ?| x1 y1 | ,且当 | x1 |? 2 | y1 | 时,取等号, 4
9 .………………………………………………………12 分 8

所以△OMN 面积的最大值 是

21.解: (Ⅰ) f '( x) ? ?e? x [ x2 ? (1 ? m) x ? 1] ? e? x (2x ? 1 ? m) ? e? x [? x2 ? (m ? 1) x ? m]

? ?e? x ( x ? m)( x ?1) ,………………………………………………………………1 分
?t ? ??e (t ? m)(t ? 1) ? 0 设切点为 (t , 0) ,则 f '(t ) ? 0, f (t ) ? 0 ,即 ? ? t 2 ,…………3 分 ? ?e [t ? (1 ? m)t ? 1] ? 0

解得: ?

?t ? 1 ?t ? m 或? , m ? 3 m ? ? 1 ? ?

所以 m 的值是 3 或 ?1 ;…………………………………………… …………………5 分 (Ⅱ)依题意,当 x ? [0,1] 时,函数 f ( x)max ? 2 f ( x)min ,………………………6 分 (一) m ? 1 时,当 x ? [0,1] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减 , 所以 f (0) ? 2 f (1) ,即 1 ? 2 ?

3? m e ? m ? 3 ? ;……………………………7 分 e 2

(二) m ? 0 时, x ? [0,1] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, 所以 f (1) ? 2 f (0) ,即

3? m ? 2 ? m ? 3 ? 2e ;………………………………8 分 e

(三)当 0 ? m ? 1 时,当 x ? (0, m) 时 f '( x) ? 0 ,当 x ? (m,1) 时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) min ? f (m) ?

m ?1 , f ( x)max ? f (0) 或 f (1) ,………………………………9 分 em
7

m ?1 ?m , g '( m) ? m ,当 m ? 0 时, g '(m) ? 0 , g ( m) 单调递减, m e e 2 2(m ? 1) 4 ? ? 1 ? f (0) , 所以 m ? (0,1) 时, g ( m) ? g (1) ? ,所以 2 f ( x) min ? e em e 2(m ? 1) 4 3 3 ? m 2 f ( x) min ? ? ? ? ? f (1) ,不存在 m ? (0,1) 使得 f ( x)max ? 2 f ( x)min , em e e e e 综上:实数 m 的取值范围是 (??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) .………………………………12 分 2
记函数 g (m) ? 请考生在 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则 按所做的第一题记分. 22. 解: (Ⅰ)设圆 B 交线段 AB 于点 C , AB 因为 为圆 O 一条直径,所以 BF ? FH ,………………2 分 又 DH ^ BD , 故 B 、 D 、 F 、 H 四点在以 BH 为直径的圆 上 所以, B 、 D 、 F 、 H 四点共圆.……………………3 分 所以 AB ? AD ? AF ? AH .……………………4 分 (Ⅱ)因为 AH 与圆 B 相切于点 F ,由切割线定理得 AC ? AB ? BD ? 2 ,

AF 2 ? AC ? AD ,即 2 2

?

?

2

? 2 ? AD ,

AD =4 ,………………………………6 分 1 所以 BD = ? AD ? AC ? ? 1,BF ? BD ? 1 2 又 ?AFB ? ?ADH , DH AD ? 则 , 得 DH ? 2 ………………………………8 分 BF AF 连接 BH ,由(1)可知 BH 为 D BDF 的外接 圆直径

3 ……………10 分 2 2 23.解:(Ⅰ)由 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,可得 ? ? 2? sin ? ? 2? cos? 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 2 x ,…………………………4 分

BH ? BD2 ? DH 2 ? 3 ,故 D BDF 的外接圆半径为

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 (Ⅱ)直线 l 的方程为 : ? , 2 ?y ? t ? ? 2 化成普通方程为 y ? x ? 2 ……………………………………………………………7 分
? x2 ? y2 ? 2 y ? 2x ? x ? 0 ? x ? ?2 由? ,解得 ? 或? …………………………………9 分 ?y ? x ? 2 ?y ? 2 ?y ? 0
所以 AB ? 2 2 .………………………………………………………………………10 分 24.解: (Ⅰ)当 a = 1 时,不等式 f ( x) ? 2 可化为 | x + 1| + | 2 x - 1|? 2

1 2 2 时,不等式为 3 x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3 1 ②当 ?1 ? x ? 时,不等式为 2 - x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2 2 ③当 x ? ?1 时,不等式为 - 3 x ? 2 ,解得 x ? ? ,故 x ? ?1 ;……………4 分 3
①当 x ?
8

综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? ………………………………………5 分 3?

(Ⅱ) f ( x) ? 2 x 在 x ? [ ,1] 时恒成立, 当 x ? [ ,1] 时,不等式可化为 | ax ? 1|? 1 ,………………………………………7 分

1 2

1 2

2 ? a ? 0, x 1 2 因为 x ? [ ,1] ,所以 ? ? [?4, ?2] ,……………………………………………9 分 2 x 所以 a 的取值范围是 [?2, 0] .………………………………………………………10 分
解得 ?2 ? ax ? 0 ? ?

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