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高一小班函数单调性与奇偶性



函数单调性与奇偶性
?1?? 3.(2012· 保定一中质检)已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x??<f(1)的实数 x 的取值范围
是( ). B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) 2 5.若 x>0,则 x+ 的最小值为________. x 6.(2012·安徽)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=____ 7.函数 f(x)= 2x 在[1,2]的最大值和最小值分别是__________. x+1

8. 已知函数 y=f(x)在 R 上是减函数, A(0, -2)、 B(-3,2)在其图象上, 则不等式-2<f(x)<2 的解集为________. 9.如果函数 f(x)=ax +2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A.a>- B.a≥- 4 4 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 【例 1】?试讨论函数 f(x)= x 的单调性. x2+1
2

【训练 1】 讨论函数 f(x)=

ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

x2+a 【例 2】?已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值围. x

x-5 【训练 2】(1) 函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 (2)若函数 f(x)=

).

ax-1 在(-∞,-1)上是减函数,求实数 a 的取值范围. x+1

(3)若函数 f(x)=(2a-1)x+b 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围为

【例 3】?已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0, 2 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

x1? 【训练 3】 1、 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f? 且当 x>1 时, ?x ?=f(x1)-f(x2),
2

f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

2、 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f? ?=f(x1)-f(x2), 且当 x>1 时, f(x)<0. x (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

?x1? ? 2?

例 4、已知函数 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

【试一试】 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 1.下列函数中,在(-∞,0)上为增函数的是( A.y=1-x2B.y=x2+2x 1 x C.y= D.y= 1+x x-1 2.(2012· 徐州模拟)已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的 取值范围是( ) )

3? ? 3? A.? ?0,4?B.?0,4? 3? ? 3? C.? ?0,4?D.?0,4? 3.已知 f(x)=?ax a 的取值范围为( )
? ?

a? ?x>1??? ?4-2?x+2

?x≤1? 是 R 上的单调递增函数,则实数

A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

1 1 + 4.给定函数①y=x ,②y=log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单调递 2 2 减的函数的序号是( )

A.①②B.②③C.③④D.①④ 5.f(x)=x2-2x (x∈[-2,4])的单调增区间为__________;f(x)max=________. 7. 若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0, +∞)上为增函数, 则实数 a、 b 的取值范围是____________. 1 1 8.(12 分)已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值.

f?x? 1.已知函数 f(x)=x2-2ax+a,在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 在区间(1, x +∞)上一定( )

A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
2 2 3.已知函数 f(x)={x +4x, x≥0,?4x-x ,

x<0, 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值

范围是(

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

ax+1 4.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是__________. x+2a

?1?? 5.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x??<f(1)的实数 x 的取值范围是______________.
6.设 x1,x2 为 y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; ③ ④ f?x1?-f?x2? >0; x1-x2 f?x1?-f?x2? <0. x1-x2

其中能推出函数 y=f(x)为增函数的命题为________.(填序号)

函数的奇偶性
8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=— f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 ○ f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x) 是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非 奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判 定 .

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法: 第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查 f ( x) 是否与 ? f ( x) 、 f ( x) 相等,判断 步骤如下: ①、定义域是否关于原点对称; ②、数量关系 f (? x) ? ? f ( x) 哪个成立;

例 1:判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、 f ( x) ? x 3 ? 2 x ⑶、 f ( x) ? ⑸、 f ( x) ? ⑵、 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 ⑷、 f ( x) ? x 2 x ? ?? 1,2? ⑹、 f ( x) ?

x3 ? x2 x ?1

x?2 ? 2? x

x2 ?1 ? 1 ? x2

例 2:判断函数 f ( x) ? ?

? x 2 ( x ? 0) 的奇偶性。 2 ( x ? 0 ) ? x ?

解 : f (0) ? 0 2 ? ? f ( x) 当x ? 0,即 ? x ? 0时, 有f (? x) ? ?(? x) 2 ? ? x 2 ? ? f ( x) 当x ? 0,即 ? x ? 0时, 有f (? x) ? (? x) 2 ? ?(? x) 2 ? ? f ( x) ? 总有f (? x) ? f ( x),故f ( x)为奇函数.
第二种方法: 利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 (前提条件为两个函数的定义域交集不 为空集) :两个奇函数的代数和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;奇函数与偶函数的和 既不非奇函数也非偶函数;两个奇函数的积为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;奇函数与 偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

命题 1

函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充 分条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一 点可以由奇偶性定义直接得出。

命题 2

两个奇函数的和或差仍是奇函数; 两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有 定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如 f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕),可以看出函数 f(x)与 g(x)都是定义域上的函 数,它们的差只在区间〔-1,1〕上有定义且 f(x)-g(x)=0,而在此区间上函数 f(x)-g(x) 既是奇函数又是偶函数。

命题 3

f(x)是任意函数,那么|f(x)|与 f(|x|)都是偶函数。

? f ( x ), ( f ( x ) ? 0 此命题错误。一方面,对于函数 |f(x)|= ? 不能保证 f(-x)=f(x) 或 ?? f ( x ), ( f ( x ) ? 0),
f(-x)=-f(x); 另一方面, 对于一个任意函数 f(x)而言, 不能保证它的定义域关于原点对称。 如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数 f(|x|)是偶函数。

命题 4 如果函数 f(x)满足:|f(x)|=|f(-x)|,那么函数 f(x)是奇函数或 偶函数。
? x , ( x ? 2n, n ? N ) 此命题错误。如函数 f(x)= ? 2 从图像上看,f(x)的图像既不关于 ? x , ( x ? 2n ? 1, n ? N )
原点对称,也不关于 y 轴对称,故此函数非奇非偶。 命题 5 函数 f(x)+f(-x)是偶函数,函数 f(x)-f(-x)是奇函数。 此命题正确。由函数奇偶性易证。 命题 6 已知函数 f(x)是奇函数,且 f(0)有定义,则 f(0)=0。 此命题正确。由奇函数的定义易证。 命题 7 已知 f(x)是奇函数或偶函数,方程 f(x)=0 有实根,那么方程 f(x)=0 的所有实 根之和为零;若 f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程 f(x)=0 有奇数个实根。 此命题正确。方程 f(x)=0 的实数根即为函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标,由奇偶性的 定义可知:若 f(x0)=0,则 f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说,必有 f(0)=0。故 原命题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函 数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征
例 1:已知偶函数 y ? f ( x) 在 y 轴右则时的图像如图(一)试画出函数 y 轴右则的图像。 Y Y 1 1 1 2 0 X -2 -1 1 2 X 图(一)

图(二)

七、关于函数奇偶性的简单应用

1、利用奇偶性求函数值
例 1:已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? 2、利用奇偶性比较大小 例 2:已知偶函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。 3.利用奇偶性求解析式 例 3: 已知 f ( x) 为偶函数 当0 ? x ? 1 求 f ( x) 的解析式? 时, f ( x) ? 1 ? x,当 ? 1 ? x ? 0时 ,

4、利用奇偶性讨论函数的单调性 例 4:若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x) 的单调区间?

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例 5:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 是偶函数,判断 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的奇 偶性。

6、利用奇偶性求参数的值 例 6 : 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 在 (??,0) 是 单 调 递 减 , 若

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,则 a 的取值范围是如何?

7、利用图像解题 例7 (2004.上海理) 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5] 时, f(x)的图象如右图, 则不等式 f ?x ? ? 0 的解是. 8.利用定义解题 例 8.已知函数 f ( x) ? a ?

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) 1? x2 x
2

1.设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为( A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

).

2.已知定义在 R 上的增函数 f(x),满足 f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且 x1+x2>0, x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( A.一定大于 0 B.一定小于 0 C.等于 0 D.正负都有可能 a 9.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. )

7.(2012· 鞍山调研)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a f?a?+f?b? +b≠0 时,有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ); 2 x-1 (3)若 f(x)≤m2-2am+1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围.



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