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五年高考三年模拟(数学)-直线和圆



第九章 第一节
第一部分

解析几何 直线和圆
五年高考荟萃

2009 年高考题
一、选择题 1.(辽宁理,4)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则 圆 C 的方程为 A. ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 C. ( x ?1)2 ? (

y ?1)2 ? 2 B. ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离 等于半径 2即可. 【答案】B 2.(重庆理,1)直线 y ? x ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系为( A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 ) D.相离

【解析】圆心 (0, 0) 为 到 直 线 y ? x ?1 , 即 x ? y ?1 ? 0 的 距 离 d ?

1 2 ,而 ? 2 2

0?

2 ? 1 ,选 B。 2


【答案】B 3.(重庆文,1)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

2 解法 1(直接法) :设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,

故圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1。
2 2

解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故圆 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排 除 C。 【答案】A

4. (上海文, 17) 点P (4, -2) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连续的中点轨迹方程是 A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

( )

4?s ? x? ? ?s ? 2 x ? 4 ? 2 【解析】 设圆上任一点为 Q (s, t) , PQ 的中点为 A (x, y) , 则? , 解得: , ? ? 2 ? t t ? 2 y ? 2 ? ?y ? ? 2 ?
代入圆方程,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,整理,得: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 【答案】A 5. (上海文, 15) 已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行, 则 k 得值是( A. 1 或 3 ) B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

【解析】当 k=3 时,两直线平行,当 k≠3 时,由两直线平行,斜率相等,得: -3,解得:k=5,故选 C。 【答案】C 6. (上海文,18)过圆 C: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心,作直线分
2 2

3?k =k 4?k

别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) , 若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有( (A) 0 条 (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条 )

【解析】由已知,得: SIV ? SII ? SIII ? SI , ,第 II,IV 部分的面 积是定值,所以, SIV ? SII 为定值,即 S III ? S I , 为定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线 AB 只有一条,故选 B。 【答案】B 7.(陕西理,4)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为
2 2

A. 3

B.2

C. 6

D.2 3

2 解析:x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ? x 2 ? (y ? 2) ? 4,

? A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,? ON= 3 ? 弦长2 3
【答案】D 二、填空题 8. (广东文,13)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ? 所以圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

.

| 2 ?1 ? 6 | 5 , ? 1?1 2

25 2

【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

9.(天津理,13)设直线 l1 的参数方程为 ? 则 l1 与 l2 的距离为_______

?x ? 1? t (t 为参数) ,直线 l2 的方程为 y=3x+4 ? y ? 1 ? 3t

【解析】由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l2 的距离为

|4?2| 10

?

3 10 。 5

【答案】

3 10 5

10. (天津文, 14) 若圆 x 2 ? y 2 ? 4 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 , 则 a=________. 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

1 , a

1 | 2 2 a 利用圆心(0,0)到直线的距离 d ? 为 2 ? 3 ? 1 ,解得 a=1. 1 |
【答案】1 11.(全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的 长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)

【解析】 解: 两平行线间的距离为 d ?

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o ,l 1
o 0 0 o 0 0

的倾斜角为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 。
o

【答案】①⑤ 12. (全国Ⅱ理 16 )已知 AC、 BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为

M 1, 2 ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为

?

?



【解析】设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2 ,则 d12 +d22 ? OM 2 ? 3 . 四边形 ABCD 的面积 S ? 【答案】5 13.(全国Ⅱ文 15)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线与 两坐标轴围成的三角形的面积等于

1 | AB | ? | CD |? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 8 ? (d12 ? d 2 2 ) ? 5 2

1 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上 2 5 1 5 25 的截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4 25 【答案】 4
【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 14.(湖北文 14)过原点 O 作圆 x2+y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,
2-

则线段 PQ 的长为
2


2

【解析】可得圆方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定 理得 PQ ? 4 . 【答案】4 15.(江西理 16) .设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题:

A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上

C .对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上
D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

s? y (? 【 解 析 】 因 为 xc o ?

2)? s i? n 所以 1 点 P ( 0 , 2到 ) M 中每条直线的距离

d?

1 cos ? ? sin 2 ?
2

?1

即 M 为圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线, 所以 A 错误; 又因为 (0, 2) 点不存在任何直线上,所以 B 正确; 对任意 n ? 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确; M 中边能组成两个大小不同的正三角形 ABC 和 AEF ,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 B, C 三、解答题 16.(2009 江苏卷 18) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直 线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆

C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足
条件的点 P 的坐标。 解 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0

由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由垂径定理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。

故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2

2005—2008 年高考题
一、选择题 1. (2008 年全国Ⅱ理 11) 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x-7y-4=0, 原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 A.3 答案 解析 A B.2 C. ? ( D. ? ).

1 3

1 2

l1 : x ? y ? 2 ? 0, k1 ? ?1 , l 2 : x ? 7 y ? 4 ? 0, k 2 ?

1 ,设底边为 l3 : y ? kx 7

由题意, l 3 到 l1 所成的角等于 l 2 到 l 3 所成的角于是有 再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。

k1 ? k k ? k2 k ? 1 7k ? 1 ? ? ? 1 ? k1k 1 ? k 2 k k ?1 7 ? 3

2.(2008 年全国Ⅱ文 3)原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 A.1 答案 解析 D B. 3 C.2 D. 5





d?

?5 1 ? 22

? 5。
0

3.(2008 四川4)将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移1个单位长度,所得 到的直线为 A. y ? ? ( )

1 1 x? 3 3

B. y ? ? D. y ?

1 x ?1 3

C. y ? 3x ? 3 答案 A

1 x ?1 3

4.(2008 上海 15)如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴 分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域(含边界) ,A、B、C、D 是该圆的四等分点.若 点 P( x,y ) 、点 P?( x?,y?) 满足 x ≤ x? 且 y ≥ y? ,则称 P 优于 P? .如果 ? 中的点 Q 满 足:不存在 ? 中的其它点优于 Q,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( A. 答案 B. D C. D. )

5.(2007 重庆文)若直线 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为 原点) ,则 k 的值为 A.- 3 或 3 答案 A ( ) B. 3 C.- 2 或 2 ( D. 2 )

6.(2007 天津文)“ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 C B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. (2006年江苏)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1的切线方程中有一个是 A.x-y=0 答案 C B.x+y=0 C.x=0

( D.y=0



8. (2005 湖南文)设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两 个不同的数作为 A、 B 的值,则所得不同直线的条数是 A.20 D.16 答案 C
2 2

( B.19



C . 18

9. (2005 全国Ⅰ文)设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x ? y ? 1相切,则 l 的斜率是 工 A. ? 1 答案 C
2 2

( B. ?



1 2

C. ?

3 3

D. ? 3

10.(2005 辽宁)若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1,?1) 平移后与圆 x ? y ? 5 相切,则 c 的值为 A.8 或-2 答案 A ( B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8 )

11.(2005 北京文) “m= 直”的 A.充分必要条件

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂 2
( B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

C.必要而不充分条件 答案 B 二、填空题

12.(2008 天津文 15, ) 已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y=x+1 对称, 直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为_______. 答案

x2 ? ( y ? 1)2 ? 18
2 2

13.(2008 四川文 14)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各 点到 l 的距离的最小值为_______. 答案

2

14.(2008 广东理 11)经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 程是 答案 .

x ? y ?1 ? 0

15.(2007 上海文)如图, A, B 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 .两个半径相等的动圆分别 与 l 相切于 A, B 点, C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC , CB 与线段 AB 围成图形 C 面积 S 的取值范围是 . 答案

?? ? ? 0,2 ? ? 2? ?

l

A


B

16.(2007 湖南理)圆心为 (11) , 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是
2 2

答案 (x-1) +(y-1) =2 17. ( 2006重庆理)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其 中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为___. 答案 a>1

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 18.(2005 江西)设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
答案

.

3 2

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题

一、选择题 1.( 西 南 师 大 附 中 高 2009 级 第 三 次 月 考 )“a= 3” 是 “ 直 线 a x ? 2 y ? 1 ? 0 与 直 线
6 x ? 4 y ? c ? 0平行”的(

)条件 B.充分而不必要 D.既不充分也不必要

A.充要 C.必要而不充分 答案 C

2.(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)直线 x+y+1=0 与圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 2 的位置
2

关系是 A.相交 答案 C

( B.相离 C.相切 D.不能确定



? x ? ?3 ? 2cos ? ? x ? 3cos ? 与? 3.(西南师大附中高 2009 级第三次月考)两圆 ? 的位置关系 ? y ? 4 ? 2sin ? ? y ? 3sin ? 是 ( )

A.内切 答案 B

B.外切

C.相离

D.内含

4. (西南师大附中高 2009 级第三次月考)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4 = 0(k > 0) 上一动点,PA、PB 是圆 C: x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为 A.3 答案 D B.
21 2

( C. 2 2 D.2



5. ( 福建省 南安一 中、安 溪一中 、养正中 学 2009 届 高三期中 联考 ) 已知实系数方程 x2+ax+2b=0, 的一个根大于 0 且小于 1, 另一根大于 1 且小于 2, 则 1 A. ( ,1) 4 答案 A 1 B. ( ,1) 2

b?2 的取值范围是 a ?1





1 1 C. (- , ) 2 4

1 D. (0, ) 3

6.( 广 东 省 华 南 师 范 附 属 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 第 三 次 综 合 测 试 ) 点 (4, t ) 到 直 线

4 x ? 3 y ? 1 的距离不大于 3,则 t 的取值范围是
A.





1 31 ?t ? 3 3

B. 0 ? t ? 10 D. t ? 0 或 t ? 10

C. 0 ? t ? 10 答案 C

7. (四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 ,设圆
2 2

CD , 中过点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、 则直线 AB 与 CD 的斜率之和为(
A. ? 1 答案 B B. 0 C. 1 D. ?2

)

8.(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 和圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的关系是 A.相离 答案 C
2 2

( B.相切或相交 C.相交 D.相切



9. (福建省宁德市 2009 届高三上学期第四次月考)过点 M (1,2) 的直线 l 将圆(x-2) +y =9 分成 两段弧,当其中的劣弧最短时,直线 l 的方程是 A. x ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 答案 二、填空题 10.(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一 点 P(2,3) 向这个圆引切线,则切线长为 答案 2 . D B. y ? 1 D. x ? 2 y ? 3 ? 0 ( )

11.(江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考)直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 ax ? 4 y ? b ? 0 关于点 A(1,0) 对称,则 b=___________。 答案 2
2 2

12.(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)过点 C(6,-8)作圆 x ? y ? 25的切线,切点 为 A、B,那么点 C 到直线 AB 的距离为___________________。 答案

5 2
.

13. (四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点 P(2,3)射到直 线 x ? y ? ?1 上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为 答案 4x-5y+1=0

14.(安徽省巢湖市 2009 届高三第一次教学质量检测)过 M ( ,1) 的直线 l 与圆 C: (x-1)2+y2=4 交于 A、B 两点,当∠ACB 最小时,直线的方程为 .

1 2

答案

2x ? 4 y ? 3 ? 0

9 月份更新
1、 (2009 临沂一模) 已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点, PA、 PB 是圆 C:

x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的
值为 A、 2 答案 D 2、 (2009 日照一模) 已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对 称,则 ab 的取值范围是 A. (??, ] 答案 A 3、 (2009 青岛一模)已知直线 x ? 2 及 x ? 4 与函数 y ? log 2 x 图像的交点分别为 A, B ,与 函数 y ? lg x 图像的交点分别为 C , D ,则直线 AB 与 CD A.相交,且交点在第 I 象限 C.相交,且交点在第 IV 象限 答案 D 4、 (20009 泰安一模)若 PQ 是圆 x ? y ? 9 的弦,PQ 的中点是(1,2)则直线 PQ 的方程
2 2

B、

21 2

C、 2 2

D、2

1 4

B. (0, )

1 4

C. ( ?

1 , 0) 4

D. [? , ??)

1 4

B.相交,且交点在第 II 象限 D.相交,且交点在坐标原点

是 (A) x ? 2 y ? 3 ? 0 (C) 2 x ? y ? 4 ? 0 答案 B 5、 (2009 潍坊一模)若 PQ 是圆 x ? y ? 9 的弦,PQ 的中点是(1,2)则直线 PQ 的方程是
2 2

(B) x ? 2 y ? 5 ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

(A) x ? 2 y ? 3 ? 0 (C) 2 x ? y ? 4 ? 0 答案 B

(B) x ? 2 y ? 5 ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

6、 (2009 枣庄一模)将圆 x ? y ? 1沿x 轴正方向平移 1 个单位后得到圆 C,若过点(3,
2 2

0)的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率为 ( ) A. 3 答案 D 7、 ( 2009 滨 州 一 模 ) 已 知 直 线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4 交 于 A 、 B 两 点 , 且 B. ? 3 C.

3 3

D. ?

3 3

| OA ? OB |?| OA ? OB | ,其中 O 为原点,则实数 a 的值为
A.2 答案 C 8、 (2009 滨州一模)如果直线 y=kx+1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y=0 对称,若 P ( a, b) 为平面区域 B.-2 C.2 或-2 D. 6 或 ? 6

?kx ? y ? 1 ? 0 b ?1 ? 的取值范围是 ?kx ? m y ? 0 内任意一点,则 a ? 1 ?y ? 0 ?
答案 [ ?1,? ]

.

1 2

2007—2008 年联考题
一、选择题 1. (四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)已知点 A(3,2) ,B(-2,7) ,若直线 y=ax-3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1,则 a 的值为 ( ) A.3 B.-3 C.9 D.-9 答案 D 2.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)由直线 y ? x ? 1 上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线,则切线长的最小值为 A. 17 答案 A B. 3 2 C. 19 D. 2 5 ( )

3.(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)圆 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 1 被直线 x ? y ? 0 分成两段圆弧, 则较短弧长与较长弧长之比为 A.1∶2 B.1∶3 答案 B ( D.1∶5 )

C.1∶4

4.(广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试)直线 y ? x ? b 平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0 的周长,则 b ? A.3 答案 D ( D.-5 )

B.5

C.-3

5.(安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检)把直线 ? x ? y ? 2 ? 0 按向量 a ? (2,0) 平移 后恰与 x2 ? y 2 ? 4 y ? 2x ? 2 ? 0 相切,则实数 ? 的值为 ( )

A.

2 或 2 2 2 2 或? 2 2
C

B. ? 2 或 2

C. 答案

D. ?

2 或 2 2

2 6.(2007 岳阳市一中高三数学能力题训练) 若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) ? r 2 上有且仅有两个 点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围是 ( ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 答案 A 7. (2007 海淀模拟)已知直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有公共点,且公共点横、 纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )条 A.66 B.72 C.74 D.78 答案 C 二、填空题 7.(甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试)光线从点 P(-3,5)射到直线 l:3x-4y+4=0 上,经过反射,其反射光线过点 Q(3,5) ,则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 . 答案 8

8.(河北省正定中学 2008 年高三第四次月考)圆 ? 是 答案

? x ? 1 ? cos? (? 为参数)的标准方程 ? y ? 1 ? sin ?


,过这个圆外一点 P ? 2,3? 的该圆的切线方程是 (x-1)2+(y-1)2=1;x=2 或 3x-4y+6=0
2 2

9. (湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)与圆 x ? ( y ? 2) ? 1相切, 且在两坐标轴上截距相等的 直线共有________条. 答案 4 10.(湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆(x-1) +(y-2) =4
2 2

相交于 A、B 两点,且弦长为 2 3 ,则 a= 答案 0



11. (江苏省泰兴市 2007—2008 学年第一学期高三调研)设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90 得到直线 l 2 ,则 l 2 的方程是 答案 2x-y+2=0
?

12.(2007 石家庄一模)若 x ? 5 ≠kx+2 对一切 x≥5 都成立,则 k 的取值范围是________. 答案 k>1/10 或 k<2/5 13. (唐山二模) ⊙M:x2+y2=4,点 P(x0,y0)在圆外, 则直线 x0x+y0y=4 与⊙M 的位置关系是_____ 答案 相交 三、解答题 14.(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)已知: 以点 C (t, 与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O, B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求圆 C 的方程. 解 (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

2 )(t∈ R , t ≠ 0)为圆心的圆 t

4 . t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t
(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点. 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,

9 5

? 5

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

? t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .
15.(广东地区 2008 年 01 月期末试题) 已知点 A, B 的坐标分别是 (0, ?1) , (0,1) ,直线

AM , BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 ?
(1)求点 M 轨迹 C 的方程;

1 . 2

(2)若过点 D ? 2,0? 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E 、 F ( E 在 D 、 F 之 间) ,试求 ?ODE 与 ?ODF 面积之比的取值范围( O 为坐标原点) . 解(1)设点 M 的坐标为 ( x, y ) , ∵ k AM ? k BM ? ?

1 y ?1 y ?1 1 ? ?? . ,∴ 2 x x 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0 ) 整理,得 ,这就是动点 M 的轨迹方程. 2
(2)方法一 由题意知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ( k ? ? 将①代入
2

1 ) 2



x2 ? y2 ? 1, 2
2 2 2

得 (2k ? 1) x ? 8k ? x ? (8k ? 2) ? 0 ,
2 由 ? ? 0 ,解得 0 ? k ?

1 . 2

? 8k 2 x ? x ? , 2 ? ? 1 2k 2 ? 1 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? 2 ? x x ? 8k ? 2 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
令? ?



| BE | S?OBE ,则 ? ? ,即 BE ? ? ? BF ,即 x1 ? 2 ? ? ? x2 ? 2? ,且 0 ? ? ? 1. | BF | S?OBF

?4 ? ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 2 , ? ? 2k ? 1 由②得, ? ? x ? 2) ? ( x ? 2) ? x x ? 2( x ? x ) ? 4 ? 2 . ( 1 2 1 2 1 2 ? 2k 2 ? 1 ? ?4 ? 1 ? ? ?? x2 ? 2 ? ? 2 , ? ? ? 2k ? 1 即? ?? ? x ? 2 ? 2 ? 2 . 2 ? 2k 2 ? 1 ?
?

? 2k 2 ? 1 4? 1 ? , 即k 2 ? ? . 2 2 (1 ? ? ) 8 (1 ? ? ) 2
0 ? k2 ?

1 1 4? 1 1 4? 1 1 2 且 k ? ?0 ? ? ? 且 ? ? . 2 2 4 2 (1 ? ? ) 2 2 (1 ? ? ) 2 4

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?

1 3

1 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ? . 3
∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ? 方法二 由题意知直线 l 的斜率存在, ①

? ?

1? ?1 ? ? ,1? . 3? ? 3 ?

设 l 的方程为 x ? sy ? 2 ( s ? ?2)

将①代入

x2 ? y2 ? 1, 2
2 2

整理,得 (s ? 2) y ? 4sy ? 2 ? 0 ,
2 由 ? ? 0 ,解得 s ? 2 .

4s ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? s ?2 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? ?y y ? 2 . ? 1 2 s2 ? 2 ?
1 S?OBE 2 OB ? y1 y 令? ? ? ? 1 ,且 0 ? ? ? 1 . S?OBF 1 OB ? y y2 2 2



4s ? ? ? 1? y2 ? ? 2 , ? ? ? s ?2 将 y1 ? ? y2 代入②,得 ? ?? y 2 ? 2 . 2 ? s2 ? 2 ?

? ? ? 1? ∴
?
2

2

2 ? ? ? 1? 8s 2 .即 s 2 ? . ? 2 s ?2 6? ? ? 2 ? 1
2 2 2
2

2 ? ? ? 1? 2 ? ? ? 1? ∵ s ? 2 且 s ? 4 ,∴ ?2且 ? 4. 2 6? ? ? ? 1 6? ? ? 2 ? 1
2 即 ? ? 6? ? 1 ? 0 且 ? ?

1 . 3 1 . 3

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?

1 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ? . 3
故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ?

? ?

1? ?1 ? ? ,1? . 3? ? 3 ?

16. (江苏省泰兴市 2007—2008 学年第一学期高三调研)已知过点 A(0,1) ,且方向向 量为 a ? (1, k )的直线l与 (1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN ? 定值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值 .

C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1,相交于 M、N 两点.

直线l过点(0,1)且方向向量a ? (1, k ), ?直线l的方程为y ? kx ? 1 2k ? 3 ? 1 由 ? 1, 得 k 2 ?1 4? 7 4? 7 . ?k? 3 3 ? 2? 设焦点的 C的一条切线为AT ,T为切点,则AT 2 =7
解 (1)

? AM ? AN ? AM AN cos 0? ? AT 2 ? 7 ? AM ? AN为定值.

(3)设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 将y ? kx ? 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得 (1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0 4(1+k 2 ) 7 ? x1 +x2 = , x1 x2 ? 2 1? k 1? k 2

? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 4k(1+k ) ? 4, 解得k ? 1 又当k ? 1时, ? ? 0,? k ? 1 . 1? k 2

4k(1+k ) ? 8 ? 12 1? k 2

17.(2007 北京四中模拟一)在△ABC 中,A 点的坐标为(3,0) ,BC 边长为 2,且 BC 在 y 轴上的区间[-3,3]上滑动. (1)求△ABC 外心的轨迹方程; (2) 设直线 l∶y=3x+b 与 (1) 的轨迹交于 E, F 两点, 原点到直线 l 的距离为 d, 求 的最大值.并求出此时 b 的值. 解 (1)设 B 点的坐标为(0, y0 ) ,则 C 点坐标为(0, y0 +2) (-3≤ y0 ≤1) , 则 BC 边的垂直平分线为 y = y0 + 1 ① y?

| EF | d

y0 3 3 ? (x ? ) 2 y0 2

②由①②消去 y0 ,得

y 2 ? 6x ? 8 .∵ ? 3 ? y0 ? 1 ,∴ ? 2 ? y ? y0 ? 1 ? 2 .故所求的△ABC 外心的轨迹方程为: y 2 ? 6 x ? 8(?2 ? y ? 2) .
( 2 ) 将 y ? 3x ? b 代 入 y 2 ? 6x ? 8 得 9 x 2 ? 6(b ?1) x ? b2 ? 8 ? 0 . 由 y 2 ? 6 x ? 8 及

?2? y ? 2 , 得

4 4 ?x?2 . 所 以 方 程①在 区 间 [ , 2 ] 有 两 个 实根 . 设 3 3 4 f ( x) ? 9x 2 ? 6(b ?1) x ? b2 ? 8 ,则方程③在 [ , 2 ] 上有两个不等实根的充要条件是: 3
?3

?? ? [6(b ? 1)]2 ? 4 ? 9(b 2 ? 8) ? 0, ? ? f ( 4 ) ? 9 ? ( 4 ) 2 ? 6(b ? 1) ? 4 ? b 2 ? 8 ? 0, 得?4 ? b ? ? 3 3 3 ? 2 2 ? f (2) ? 9 ? 2 ? 6(b ? 1) ? 2 ? b ? 8 ? 0, ? 4 ? 6(b ? 1) ? 2. ? ? 2?9 ?3

2 2 ∵ | x ? x |? [ 2 (b ? 1)]2 ? 4 ? b ? 8 ? 2 ? 2b ? 7 ∴ | EF |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 2

3

9

3

2 10 ? ? 2b ? 7 3

又原点到直线 l 的距离为 d ?

|b| , 10

1 1 1 ∴ | EF | ? 20 ? 2b ? 7 ? 20 ? 7 ? 2 ? 20 ? 7( 1 ? 1 ) 2 ? 1 ∵ ? 4 ? b ? ?3 ,∴ ? ? ? ? . 2 2
d 3 b 3 b b 3 b 7 7

3

b

4

∴当

1 1 EF 5 ? ? ,即 b ? ?4 时, | |max ? . b 4 d 3



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