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东安一中2010届高三下期周考数学试卷


东安一中2010届高三下期周考数学试卷1(文科) 届高三下期周考数学试卷1 文科) 东安一中 届高三下期周考数学试卷
(满分150分.考试时间:100分钟) 罗荣林2010-3-13 选择题: 本大题共8小题,每小题5 满分40 40分 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 只有一项是符合题目要求的.) π π 1 1.在区间 [? , ] 上随机取一个数 x,cosx 的值不小于 的概率为 2 2 2 ( ) 1 1 2 2 A. B. C. D. 3 4 π 3 2、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ( )

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

3. 在 R 上定义运算 ⊙; a ⊙ b = ab + 2a + b ,则满足 x ⊙ ( x ? 2 ) < 0 的实数 x 的取值范 围为 A、 ( 0, 2 ) C、 ( ?∞, ?2 ) ∪ (1, +∞ ) B、 ( ?2,1) D、 ( ?1, 2 )

4 、 已 知 函 数 y = sin ωx(ω > 0) 在 一 个 周 期 内 的 图 象 如 图 所 示 , 要 得 到 函 数
1 π y = sin( x + ) 2 12

的图象,则需将函数 )
π

y = sin ωx 的图象(

π

A.向右平移 12
π

B.向左平移 12
π

C.向右平移 5. ( 已 知

6

D.向左平移 6
3 5

sin α =




3 4

π α ∈ ( ,π )
2




3 2

sin 2α cos 2α




3 4





) 3 A. 2 6、已知 A 29

B. p = 2 2 , q = 3, p, q B

C. ?

D. ?

夹角为 4 ,则 | p + q | 的值是( ) 29 C 28 D 28
--1--

π

2 2 7、设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x + y = 1 相切,则 l 的斜率是(

) (D) ± 3

(A) ± 1

1 (B) 2 ±

(C)

±

3 3

? 2 x , (?2 ≤ x < 0) f ( x) = ? 2 ? g ( x) ? log 5 ( x + 5 + x ), (0 < x ≤ 2) ,若 f (x) 为奇函数,则当 8、设函数
0 < x ≤ 2 时, g (x) 的最大值是(

)
3 C4 1 D 4 ?

1 A 4

?

B

3 4

二、填空题(本大题7个小题,每小题5分,共35分,把答案填在题中横线上) 空题(本大题7个小题,每小题5 35分 把答案填在题中横线上) 9、若 log 3 m + log 3 n = 4 ,那么 m + n 的最小值是 .
= a7

10、直线过点(1,-1)且与直线x-y+1=0平行,则它们的距离是____________ 11、已知等比数列
b5 + b9 =

{a n }中,有 a3 ? a11 = 4a 7 ,数列 {bn }是等差数列,且 b7

,则

_

12、已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与 x 轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶 点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为_______________-。 13、 在样本的频率分布直方图中,共有n个小长方形,若中间一个长方形的面积
1 等于其余n—1个小长方形的面积之和的 4 ,且样本容量为160,则中间一组的频数

是 . 14.已知 a =(k,2), b =(1,-2),且 a 与 b 夹角为钝角,则k的取值范围是 15、如图,空间有两个正方形ABCD和ADEF,M、N分 别在BD、AE上,有BM=AN, 那么① AD ⊥ MN ;

.

②MN∥平面CDE; ③MN∥CE; ④MN、 CE是异面直线. 以 上四个结论中,不正确的是________

--2--

东安一中2010届高三下期周考数学答卷(文科) 届高三下期周考数学答卷(文科) 东安一中 届高三下期周考数学答卷
题号 答案 9、_______ 12._______; 13. 10. ; ; 14. 11. ;15. ; . 1 2 3 4 5 6 7 8

三、解答题(本大题6小题共75分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题(本大题6小题共75分 解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 75 字说明

π ? ? 16.本小题满分 14 分) ( 已知函数 a = ? 2 sin( ? x) ? 1, cos x ? , b = ( cos x,1) , f ( x) = a ? b 2 ? ?
π 2π (1)求 f (x ) 的最小正周期; (2)求 f (x ) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值。 6 3

17.(本题 15 分)已知不等式 (I)求集合 A 及 B ;

2 ≥ 1 的解集为 A , x 2 ? (2 + a ) x + 2a < 0 的解集为 B . 1? x

(II)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围

18. (本小题共 15 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n = 2an ? 2 n , (I) {an 2n } 是等差数列; (II)求 {an } 的通项公式; (III)求 {an } 前 n 项和。

--3--

19、 本小题 15 分)已知函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a > 0, b ∈ R, c ∈ R) 、 (本小题 ? f ( x) x > 0, ( I ) 若 函 数 f ( x) 的 最 小 值 是 f (?1) = 0 , 且 c = 1 , F ( x) = ? ?? f ( x) x < 0,
F (2) + F (?2) 的值;



(II)若 a = 1, c = 0 ,且 | f ( x) |≤ 1 在区间 (0,1] 恒成立,试求 b

取范围;

20. 本小题 16 分)已知 f ( x) = ln x, g ( x) = ? x 2 + bx ? 3 (1)若 函数h( x) = (本小题

f ( x) ? g ( x) 在其

定义域是增函数,求 b 的取值范围; 2)在(1)的结论下,设函数 (

? ( x) = e 2 x + be x , x ∈ [0, ln 2], 求函数? ( x) 的最小值; (3)当 b = 4 时,求证:对一切
x ∈ (0, +∞) , 2 x ? f ( x)≥ g ( x) 恒成立

--4--

东安一中2010届高三下期周考数学答案(文科) 届高三下期周考数学答案(文科) 东安一中 届高三下期周考数学答案
(满分150分.考试时间:100分钟) 罗荣林2010-3-13 选择题:本大题共8小题,每小题5 40分 在每小题给出的四个选项中, 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B D C B C C

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在题中的横线上. 填空题 本大题共7小题,每小题5 35分 把答案填在题中的横线上.
3 2 2

9、__18______ x2 y 2 ? =1 12. 4 12 ; 15. ③ .

10.



11. 8



13.

32 ;

14.

k < 4且k ≠ ?1

;

解答题:本大题共6小题, 75分 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 14 分)

π ? ? 已知函数 a = ? 2 sin( ? x) ? 1, cos x ? , b = ( cos x,1) , f ( x) = a ? b 2 ? ?
(1)求 f (x ) 的最小正周期;

π 2π (2)求 f (x ) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值。 6 3
解: (1) f ( x) = 2 cos x sin(
= 2 cos 2 x = cos 2 x + 1

π

2

? x) = 2 cos x cos x

4分 6分 8分 10 分

所以 f (x) 的最小正周期为π

π 2π π 4π (2)因为 x ∈ [ , ] ,∴ 2 x ∈ [ , ] 6 3 3 3 1 所以 ? 1 ≤ cos 2 x ≤ 2 3 所以 0≤ cos 2 x + 1 ≤ , 2 3 即 f (x) 的最大值为 ,最小值为 0 2
--5--

13 分 14 分

17. (本小题 15 分)已知不等式 本小题 的解集为 B . (I)求集合 A 及 B ; 解答:由

2 ≥ 1 的解集为 A ,不等式 x 2 ? (2 + a ) x + 2a < 0 1? x

(II)若 A ? B ,求实数 a 的取值范 B: ( x ? 2 )( x ? a ) < 0 7分 9分 11 分 15 分 5分

2 ≥ 1 得 A={x|-1≤x<1} ; 1? x 当 a=2 时,B=φ 当 a>2 时,B={x|2<x<a} 当 a<2 时 B={x|a<x<2} 2)a<-1

18.(本小题共 15 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n = 2an ? 2 n , (I){an +1 ? 2an } 是等比数列; (II)求 {an } 的通项公式; (III)求 {an } 前 n 项和。 解: (I)解: n = 1 时, a1 = 2a1 ? 2 ? a1 = 2
∵ S n = 2an ? 2 n ∴ S n +1 = 2an +1 ? 2 n +1

2分

∴ S n +1 ? S n = an +1 = 2an +1 ? 2an ? 2n +1 + 2n

即 an +1 ? 2an = 2n ∴{an +1 ? 2an } 为等比数列

5分

(II)∵ an +1 ? 2an = 2n ∴ an ? 2an ?1 = 2n ?1



an an ?1 1 ? = 2n 2 n ?1 2

7分

a 1 ?a ? ∴ ? n ? 是以 1 = 1 为首项 d = 为公差的等差数列 n 2 2 ?2 ? ∴ an 1 n +1 = 1 + ( n ? 1) = ∴ an = ( n + 1) 2n ?1 n 2 2 2 0 ∵ S n = 2i2 + 3i21 + ? + ni2n ? 2 + ( n + 1)i2n ?1 ? ①

10 分

(III)

∴ 2Sn = ∴ S n = ni 2 n

2i21 + 3i2 2 + ?? + ni2n ?1 + ( n + 1)i2n ? ②

②-①得:S n = ?2i20 ? 21 + ? + 2 n ? 2 + 2n ?1) ( n + 1)i2 n ( +

15 分

--6--

19、 本小题 15 分)已知函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a > 0, b ∈ R, c ∈ R) 、 (本小题 ? f ( x) x > 0, ( I ) 若 函 数 f ( x) 的 最 小 值 是 f (?1) = 0 , 且 c = 1 , F ( x) = ? ?? f ( x) x < 0,
F (2) + F (?2) 的值:



(II)若 a = 1, c = 0 ,且 | f ( x) |≤ 1 在区间 (0,1] 恒成立,试求 b 取范围; 解: (1)由已知 c = 1, a ? b + c = 0 ,且 ? 解得 a = 1, b = 2,
∴ f ( x) = ( x + 1) 2 , b = ?1 2a

(3 分)
?( x + 1) 2 , ( x > 0) ? ∴ F ( x) = ? 2 ??( x + 1) ( x < 0), ?

2 2 F (2) + F (?2) = ( 2 + 1) + ? ? ( ?2 + 1) ? = 8 ? ?

(7 分)

(2) f ( x) = x 2 + bx ,原命题等价于 ?1 ≤ x 2 + bx ≤ 1 在 (0,1] 恒成立
b≤ 1 1 ? x 且 b ≥ ? ? x 在 (0,1] 恒成立 x x

(10 分) (12 分) (14 分) (15 分)
f ( x) ? g ( x) 在其

1 ? x 的最小值为 0 x 1 ? ? x 的最大值为 ?2 x

所以 ?2 ≤ b ≤ 0 20. 本小题 16 分)已知 f ( x) = ln x, g ( x) = ? x 2 + bx ? 3 (1)若 函数h( x) = (本小题 定义域是增函数,求 b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数

? ( x) = e 2 x + be x , x ∈ [0, ln 2], 求函数? ( x) 的最小值; (3)当 b = 4 时,求证:对一切
x ∈ (0, +∞) , 2 x ? f ( x)≥ g ( x) 恒成立

解: (1)依题意: h( x) = ln x + x 2 ? bx + 3.
∵ h( x) 是增函数,∴ h′( x) =
1 + 2 x ? b ≥ 0 恒成立, x

…………2 分

1 + 2 x. x 1 ∵ x > 0, 则 + 2 x ≥ 2 2. x ∴b ≤
∴ b的取值范围为 ? ∞,2 2 .

(

]

………4 分
--7--

(2)设 t = e x , 则? (t ) = t 2 + bt , t ∈ [1, 2]. --------5 分
b b2 ∵ ? (t ) = (t + ) 2 ? . 2 4 b ∴当 ? ≤ 1, 即 ? 2 ≤ b ≤ 2 2时, ? (t )在[1,2]上为增函数, 2

? (t )的最小值是? (1) = b + 1 ;

………7 分

b b b2 当1 < ? < 2, 即 ? 4 < b < ?2时, ? (t )在[1, 2]上的最小值是? (? ) = ? ; …………8 2 2 4 分

当?

b ≥ 2, 即b ≤ ?4时, ? (t )在[1, 2]上是减函数, 2 ……10 分

? (t )的最小值是? (2) = 4 + 2b.
综上所述, 当 ? 2 ≤ b ≤ 2 2时, ? (t )的最小值为b + 1. 当 ? 4 < b < ?2时, ? (t )的最小值为 ? 当 b ≤ ?4时, ? (t ) 的最小值为 4 + 2b. (3)要证 2 x ln x ≥ ? x 2 + 4 x ? 3 , 设 h( x) = 2ln x + x + ( x > 0) ,则 h '( x) =
3 x 3 x

b2 . 4 ………11 分

只要证 4 ≤ 2ln x + x + ,--------13 分

( x + 3)( x ? 1) , --------14 分 x2 x ∈ (0,1) , h '( x) < 0 , h( x) 单调递减; x ∈ (1, +∞) , h '( x) > 0 , h( x) 单调递增,

∴ h( x) min = h(1) = 4 ,∴对一切 x ∈ (0, +∞) , 2 x ? f ( x)≥ g ( x) 恒成立------16 分

--8--


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