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7.2.2等差数列前n项和公式



原式=(1 ? 100) ? (2 ? 99) ? ? ? (50 ? 51)

那么S=1+2+3+ … +997+998+999 = ?

求等差数列前n项和:

倒序相加法

(上底 + 下底) ? 高 S梯 = 2

例1.等差数列{a n }中a 7 =4,求

S13.

(a1 + a13 ) ?13 2a 7 ?13 解: S13 = = = 52. 2 2

例2.等差数列{a n }中, a1 +a 2 +a 3 =12,a 8 +a 9 +a10 =75,求S10 .
解: a1 + a 2 + a 3

+ a 8 + a 9 + a10

= 3(a1 + a10 ) =12 + 75 = 87, ∴ a1 + a10 = 29 (a1 + a10 )10 S10 = =145. 2

例3.等差数列{a n }中公差d= - 2, a1 +a 2 +a 3 =12,求S12 .
解: a1 + a 2 + a 3

= 3a1 + 3d =12,

d = -2, ∴ a1 = 6, 12 ? (12 -1) S12 = a1 ?12 + d = -60. 2

例4.等差数列{a n }中a1 =7,公差d= - 2, Sn =15, 求n,a n .

a1,d,n,a n ,Sn 是等差数列的 五个基本要素,可以“知三求二” .

例5.求S= -1+ 0 + 1+ ?+ n, (n∈N ).
*

(首项 + 末项)项数 S= 2
EX.求S= -1+ 2 + 5 + ?+(3n + 5),n∈N .
*

思考.求数列:1,3 + 5,7 + 9 +11, ? 前n项的和 Tn .

思考.求数列:1,3 + 5,7 + 9 +11, ? 前n项的和 Tn .

1,, 8 27有何规律?
解 : 设a n ? 2n - 1,则现在相当于求{a n }的 (1+n )n 前k = 项的和,a k ? 2k ? 1. 2
2 2

(a1 ? a k )k (n+1) n 2 ? Tn ? ?k ? 2 4

1.填表:

a1,d,n,a n ,Sn是等差数列的 五个基本要素,可以“知三求二” .

S100 a100 3.{a n }为等差数列, =100, 求 . S10 a10

2.求S= -1+ 3 + 7 + ? +( 4n + 3) (n∈N*).

3 2或-1 5或8

77

10

1

1.“倒序相加法”; 2.等差数列前n项和公式:
(首项 + 末项)项数 S= 2

例1.{an}为等差数列,共有2n+1项,其中
奇数项之和为319,偶数项之和为290,

求an+1 .
(a1+a 2n+1 )(n ? 1) ? S奇 = ? 319 ? ? 2 解: ? ? S = (a 2 +a 2n )n ? 290 偶 ? 2 ?
?a n+1(n ? 1) ? 319 ?? ? a n+1 ? 29 ? a n+1n ? 290

例2.等差数列{a n }、{bn }前n项和 a7 An 7n ? 2 记为An、Bn ,且有 ? ,求 . Bn n ?3 b7

a n a1 +a 2n-1 A 2n-1 A.P.中 ? ? b n b1 +b 2n-1 B2n-1

例3.Sn = An + Bn + C (n∈N*),
2

探求{a n }为等差数列的条件.
知S n ,求a n : ?S n ? S n-1(n ? 2,n ? N*) an ? ? S1 (n ? 1) ?

例3.Sn = An + Bn + C (n∈N*),
2

探求{a n }为等差数列的条件.
{a n }为等差数列的充要条件是 : (1)a n+1 ? a n ? d (n∈N*).( 用来判定) ( 2)a n ? pn ? q (n∈N*). (d=p) ( 3)S n = An + Bn(n∈N*).(d=2A) 开口方向由d确定)
2

(常数项为0,图像为过原点的抛物线上的点,

例4.若Sn+1 = Sn ? a n +1(n∈N ), a1 =1,求an .

*

例5.若an+1 = an ? n (n∈N ), a1 =1,求an .

*

例6.等差数列公差为d,前n项和记为Sn , 若S10 =10,S20 = 30, 求S30、S40、d. = a1 + a 2 +?+ an ; ?S n ? ?S 2n - S n = a n+1 + a n+2 + ? + a 2n ; ?S - S = a 2n 2n+1 + a 2n+2 + ? + a 3n ? 3n
A.P.中Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n , ? 是以n d为公差的等差数列. 解: 2(S - S ) = S +(S - S
20 10 10 30
2

20

)

?S30 ? 60, ?S 40 ? 100,?d=0.1

思考.若an = (-1) n , 求S2n .
n 2

习题:

1.等差数列{a n }、{bn }前n项和 An 3n ? 1 an 记为A n、Bn ,且有 ? ,求 . Bn n ?3 bn

2.数列{a n }、 { b n } 前n项和为 A n = n + 2n和Bn = n + 2n+3,
2 2

求a n、b n ,并判断是否为等差数列.

3.等差数列中S100 =1, S200 =3,求S300和d.
4.若Sn+1 = Sn ? a n ? 2n(n∈N ), 求an .
*

习题:

5. {a n }前n项和Sn 满足lg(Sn + 1) = n + 1, 求{a n }通项公式.

1.若{a n }为等差数列,求证: {3a n +2a n +1}和{a 3n+2 }是等差数列.

3.等差数列{a n }中3a4 = 7a5 ,a1 > 0, 求Sn 取得最值时,n的取值.

解 : 3( a1 ? 3d) ? 7( a1 ? 4d), 4a 1 ? ?19d, ?4 当a n ? a1 ? (n ? 1)d ? a 1 ? (n ? 1) a1 ? 0 19 23 由a1 ? 0,得d <0,n ? ,? a 5 ? 0, a 6 <0, 4 故n ? 5时,Sn 取得最大值.
此时 Sn 为最大值还是最小值?

4.等差数列{a n }公差d > 0,S12 = S 21 , 求Sn 取得最值时,n的取值.

解 : a13 ? a14 ? ?a 21 ? 0 ? 9 ? a17 ? 0

? d ? 0,? n ? 17时,a n ? 0, a17 ? 0, 故n ? 16或17时,Sn取得最小值.
此时 Sn 为最大值还是最小值?

5.若a n =10 - 2n (n∈N*) (1)求S n 取最大值时,n的取值; (2)记Tn =|a1|+|a 2 |+?+|a n |, 求T3、T8、Tn .

解 : (1)a n =10 - 2n ? 0 ? n ? 5, a 5 =0,故n=4或5时,Sn 取最大值.

5.若a n =10 - 2n (n∈N*) (1)求S n 取最大值时,n的取值; (2)记Tn =|a1|+|a 2 |+?+|a n |, 求T3、T8、Tn .
(n ? 5) ? Sn 解 : (2)Tn = ? ?-Sn ? 2S5 (n>5)

? 8+(10 - 2n) 2 n= - n ? 9n (n ? 5) ? =? 2 2 ? (n>5) ? n - 9n+40

习题:

1.等差数列{a n }中3a11 = 2a12 ,a1 < 0, 求Sn 取得最值时,n的取值. 2.若a n = -12 + 4n (n∈N*) (1)求Sn 取最小值时,n的取值; (2)记Tn =|a1|+|a 2 |+?+|a n |, 求Tn .



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