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2010年上海市新知杯详解



2010 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷详解
解答本试卷可以使用计算器 一、 填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分) 1 1 1 1. 已知 x ? ? 3 ,则 x10 ? x 5 ? 5 ? 10 ? 15250 x x x 1 解:? x ? ? 3 x
1 1 ?(x ? ) 2 ? x 2 ?

2 ? 2 x x x3 ?
即x ?
2

1 ?7 x2

1 1 1 1 ? ( x 2 ? 2 ) ( x ? ) - ( x ? ) ? 21 ? 3 ? 18 3 x x x x 1 1 ? x 3 ? 3 ? 2 ? 49 ? 2 ? 47 4 x x 1 1 1 1 ? ( x 4 ? 4 ) ( x ? ) - x 3 ? 3 ? 47*3-18=123 5 x x x x 1 1 ? ( x 5 ? 5 ) 2 ? 2 ? 123 2 ? 2 ? 15127 10 x x

x4 ?

x5 ?

x 10 ?
故x
10

? x5 ?

1 1 ? 10 ? 15250 5 x x
2 2 2

2. 满足方程 ?x ? 3? ? y ? ?x ? y ? ? 3 的所有实数对 ?x,y ? 为 (-2,-1) 解:由题意知, 2 x ? (6 ? 2 y) x ? 2 y ? 6 ? 0
2 2

? ? (6 ? 2 y) 2 ? 8(2 y 2 ? 6) ? ?12( y ? 1) 2 ? 0
故 y ? 2 y ?1 ? 0
2

y ? ?1

可得 x ? ?2

3 已知直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 ,BC ? 6,CA ? 3 , CD 为 ?C 的角平分线,则
?

CD= 2 2 解:令 CD=x 由面积正弦定理可知

B

1 1 S abc ? 9 ? ? 3 ? x ? sin 45 ? ? 6 ? x sin 45 2 2

故 x= 2 2
D

C

A

4 若前 2011 个正整数的乘积 1? 2 ? ?? 2011 能被 2010 k 整除,则正整数 k 的最大值为 30 解: 2010 ? 2 ? 3 ? 5 ? 67

[

2010 ] ? 30 67

故 k max= 30

5 如图,平面直角坐标系内,正三角形 ABC 的顶点 B,C 的坐标分别为(1,0) , (3,0) ,过坐标 原点 O 的一条直线分别与边 AB,AC 交于点 M,N,若 OM=MN,则点 M 的坐标为

5 3 ( , ) 4 4
解;

y

A M N C x

OB CA NM ? ? ?1 BC AN MN ? AN ? 1 ? C (1,0) A(2, 3 5 3 ? N( , ) 2 2 5 3 M( , ) 4 4

O

B

6 如图,矩形 ABCD 中,AB=5,BC=8,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,使得 AE=2,BF=5,DG=3,AH=3,点 O 在线段 HF 上,使得四边形 AEOH 的面积为 9,则四边形 OFCG 的面积是 6.5 解 :

连接 AO,OD,BO,OC 面积比如图 2 所示

且已知

?a ? b ? 2.5 ? ?c ? d ? 4 ?2c ? 3a ? 9 ?

? 2d ? 3b ? 2.5 * 3 ? 4 * 2 ? 9 ? 6.5

7 整数 p,q 满足 p ? q ? 2010 ,且关于 x 的一元二次方程 67 x ? px ? q ? 0 的两个根均为正整
2

数,则 p ? -2278 解:令 p=67a, q=67b, 可知 a+b=30

p ? x1 ? x 2 ? ? ? ?a ? ? 67 由根与系数的关系可知, ? ?x x ? q ? b ? 1 2 67 ?
x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? a ? b ? 30 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 31
故? 设?

? x1 ? 1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? 31

? x1 ? 2 ? ? x 2 ? 32

?a ? ?34 ?b ? 64

p=67a=-2278

8. 已知实数 a,b,c 满足 a ? b ? c,a ? b ? c ? 0 且 a ? 0 。设 x1,x2 是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 两个实数根,则平面直线坐标系内两点 A?x1,x2 ? ,B?x2,x1 ? 之间的距离的最大值为 3 2 解: AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 2 x1 ? x 2 ? 2
? a ? ?a ? c ? c

b 2 ? 4ac c ? 2 (1 ? ) a a

(a ? 0)

?a ? b ? c c ? ? a ? ?2c 2 c 1 ?2? ? ? a 2

AB max ? 2 (1 ? 2) ? 3 2
9. 如图,设 ABCDE 是正五边形,五角星 ACEBD(阴影部分)的面积为 1,设 AC 与 BE 的交点为 P,BD 与 CE 的交点为 Q,则四边形 APQD 的面积等于 1/2 解: 连结 RQ,四边形 APQR 为平行四边形, 易知 1=6S1+2S2 故 S APQD ? 3S 1 ? S 2 ?

1 2

10 设 a,b,c 是整数,1 ? a ? b ? c ? 9 ,且 abc ? bca ? cab ? 1 能被 9 整除,则 a ? b ? c 的最小值

是 8 ,最大值是 23 解:易知 a+b+c 被 9 除余 2 或 5 或 8 所以(a+b+c)min= 1+2+5=8 (a+b+c)max= 9+8+6=23

二、 解答题(每题 15 分,共 60 分)
11 ΔBDC’相似于ΔBCA 情况(1)若 DC’ ∕∕AC 令∠DAC=α,则∠BAC=∠BC’D=2α 易知 AC’=C’D=CD=AC=b 显然 DC’=AC 矛盾(DC’应小于 AC) 情况(2)∠BC’D=∠C 又∠DC’A=∠C 故∠BC’D=∠C=900 在面积为 4 的直角三角形中,显然,等腰直角三角形周长最小 证法如下: a ? b ? c ? a ? b ? 又 a ? b ? 2 ab

a 2 ? b 2 ? a ? b ? (a ? b) 2 ? 16

即 a ? b ? 4 2 当且仅当 a ? b ? 2 2 成立

所以 a ? b ? c ? 4 2 ? 4 12 这是一道技巧题 显然11 (a ? c ? b ? d ? f ? e ? g ? i ? h)

?11[(a ? b ? c ? d ? e ? f ? g ? h ? i ? 2(b ? e ? h)] ?11[45 ? 2(b ? e ? h)]

? (b ? e ? h) ? 6(mod 11)
又? b ? h ? e(mod 11)

? e ? 3(mod 11)

即 e=3

所以 b+h, d+f, a+I 只能取 14 或 3, 因为 14=5+9=8+6 所以 a,e,i,b,h,d,f 必须使用数字 1,2,9,5,8,6,3, c,g 只能取 7,4 故 ceg 的最大值取 734,不考虑旋转,图 2 是唯一合理填法

13 将 z ? ? x ? y 代入

?x ? y ?2 ? ? y ? z ?2 ? ?z ? x?2 ? 2 ,
3 y 2 ? 3xy ? 3x 2 ? 1 ? 0 若有解 ? ? 9 x 2 ? 12(3x 2 ? 1) ? 0
?? 2 2 ?x? 3 3 2 1 xmax ? , 当 y ? z ? ? 满足 3 3 1 2 xmin ? ? , 当 y ? z ? 满足 3 3

14(1)显然

100 ? 102 ? 161 ? 02 2010 ? 432 ? 161 ? 12

所以,100,2010 是好数 (2)161=7*23

a 2 ? 161 ? b 2 除以 7 的余数可以是 0,1,2,4
所以构造 x、y 时,最好让 x+y 除以 7 余 3 又 [ p( p
161

? 1)]161 ? ( p161 ? 1)161 ? ( p161 ? 1)161( p161 ? 1) ? ( p161 ? 1)162 是平方数
161

可以令 x ? 3(3 易知 x 又3
161

? 1)

y ? 3161 ? 1

? y161 ? (3161 ? 1)162 ? [(3161 ? 1)81]2 ? 161 ? 02 是好数

161

? 5(mod 7)

x ? y ? 3 ? (3161 ? 1) ? 3161 ? 1 ? 3 ? (5 ? 1) ? 6 ? 3(mod 7)
所以 x+y 不是好数,得整。



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