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2014北京高考数学模拟导数大题



2014 西一模 18. (本小题满分 13 分) a 已知函数 f ( x) ? ln x ? ,其中 a ? R . x (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围. 2014 海淀一模 18. (本小题满分 13

分) (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间; 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅱ ) 当 k ? 1 时,求证: f ( x) ? kx ? 1 恒成立. 2014 石景山 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a2 ln x (a ? 0) . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

e] 上没有零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f ( x ) 在 [1,
2014 丰台区(18)(本题共 13 分) 已知曲线 f ( x) ? ax ? e x (a ? 0) . (Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )处的切线; (Ⅱ)若存在实数 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.
2014 延庆 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2a , ( a ? R ) . (Ⅰ) 求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. 2014 西一模 18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由 f ( x) ? ln x ? 所以 f ?(1) ? 3 , 又因为 f (1) ? ?2 ,

1 2 2 ,得 f ?( x) ? ? 2 , x x x

…………… 2 分

所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 . …… 4 分 (Ⅱ)解:由 f ( x) ? ? x ? 2 ,得 ln x ? 即 a ? x ln x ? x 2 ? 2 x . 设函数 g ( x) ? x ln x ? x ? 2 x ,
2

a ? ?x ? 2 , x
……… 6 分 ………… 8 分

则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 , 因为 x ? (1, ??) , 所以 ln x ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 ? 0 , 故函数 g ( x) 在 x ? (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?1 . 因为对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 成立, 所以对于任意 x ? (1, ??) ,都有 a ? g ( x) 成立. 所以 a≤ ? 1 . 海淀一模 18.解:

…… 10 分 ………… 11 分

…………… ------------------------------------1 分 ------------------------------------2 分

(Ⅰ ) 定义域为 ? 0, ?? ?

f '( x) ? ln x ? 1
令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 e

------------------------------------3 分

f '( x) 与 f ( x) 的情况如下:

x

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

f '( x)

?


0 极小值

?
↗ ---------5 分

f ( x)
1 e

所以 f ( x) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??) --------------------------6 分 (Ⅱ) 证明 1: 设 g ( x) ? ln x ?

1 e

1 ,x ?0 x 1 1 x ?1 g '( x) ? ? 2 ? 2 x x x g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

------------------------------------7 分 -------------------------------8 分

x
f '( x)

(0,1)
?


1 0 极小值

(1, ??)

?


f ( x)
所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,即

1 ? 1在 x ? 0 时恒成立, x 1 所以,当 k ? 1 时, ln x ? ? k , x 所以 x ln x ? 1 ? kx ,即 x ln x ? kx ? 1 , 所以,当 k ? 1 时,有 f ( x) ? kx ? 1 . ln x ?
证明 2: 令 g ( x) ? f ( x) ? (kx ? 1) ? x ln x ? kx ? 1

----------------------10 分

------------------------13 分 ----------------------------------7 分 -----------------------------------8 分 -----------------------------------9 分

g '( x) ? ln x ? 1 ? k 令 g '( x) ? 0 ,得 x ? e k ?1 g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

x
f '( x)

(0,ek ?1 )
?

k ?1

e k ?1
0 极小值

(ek ?1 , ??)

?
↗ ---------------------10 分

f ( x)
k ?1

g ( x) 的最小值为 g (e ) ? 1 ? e 当 k ? 1 时, e k ?1 ? 1 ,所以 1 ? e k ?1 ? 0 故 g ( x) ? 0 即当 k ? 1 时, f ( x) ? kx ? 1 .
石景山 18. (本小题满分 13 分)

-------------------11 分 -----------------------------12 分 ------------------------------------13 分 ………………1 分

? ?) . 解: (Ⅰ) f ( x) ? x2 ? 2a2 ln x (a ? 0) 的定义域为 (0,
f ?( x) ? 2 x ?
2 2 2

2( x ? a)( x ? a) 2a 2 x ? 2a ? . ………………2 分 ? x x x f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, ? f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? -1 (舍). ………………3 分 1? , f ?( x) ? 0 ; x ? ?1, ? ?? , f ?( x) ? 0 , 当 a ? 1 时, x ? ? 0,

所以 a 的值为 1 . (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?a (舍).

………………4 分 ………………5 分

? ?) 内变化时, f ?( x),f ? x ? 的变化情况如下: 当 x 在 (0,

x
f ?( x ) f ( x)

(0, a) ?


a
0
极小值

(a , ? ?)

?
↗ ……………8 分

? ?) ,单调递减区间为 (0, a) . 由上表知 f ( x) 的单调递增区间为 (a ,

, e] 上没有零点,只需在 [1, e] 上 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 , (Ⅲ)要使 f ( x ) 在 [1

e] 上 f ( x)min ? 0 . 又 f (1) ? 1 ? 0 ,只须在区间 [1,
e] 上单调递减, (ⅰ)当 a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1,
f ( x)min ? f (e) ? e2 ? 2a2 ? 0 ,
2e a ? e 与 矛盾. ………………10 分 2 a ) 上单调递减,在区间 ( a , e] 上单调递增, (ⅱ) 当 1 ? a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1, 2 f ( x) ? a (? 1 2 ln a?) , 0 m i n? f ( a)
解得 0 ? a ? 解得 0 ? a ? e , 所以 1 ? a ? e . 综上, a 的取值范围为 0 ? a ? e . ………………12 分

e] 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,满足题意. (ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 [1,

丰台(18)解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,-1). f ?( x) ? a ? e x , f ?(0) ? a ? 1 , 所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a-1)x-1.---------------4 分 (Ⅱ)因为 a>0,由 f ?( x) ? 0 得, x ? ln a ,由 f ?( x) ? 0 得, x ? ln a ,所以函数 f ( x) 在 (??,ln a) 上 单 调 递 增 , 在 ( l n 上 a ?? , ) 单 调 递 减 , 所 以 f ( x) 的 最 大 值 为 f ( l na ? ) a ln a ? .a 因为存在 x 使得 f ( x ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e .----------13 分
0

0

延庆 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 3a ,
2

………1 分

(1) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 (??,??) 上是增函数,…2 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a 或 x ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? a ? x ?

a

a

∴ f ( x) 在 (??,? a ) 和 ( a ,??) 上是增函数, 在 [? a , a ] 上是减函数. ………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, (1)当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (??,??) 单调递增,所以题设成立………6 分 (2)当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? ? a 处达到极大值,在 x ? 此时题设成立等价条件是 f (? a ) ? 0 或 f ( a ) ? 0 , 即: (? a )3 ? 3a(? a ) ? 2a ? 0 或 ( a )3 ? 3a( a ) ? 2a ? 0 即: ? a a ? 3a a ? 2a ? 0 或 a a ? 3a a ? 2a ? 0 解得: 0 ? a ? 1 由(1) (2)可知 a 的取值范围是 (??,1) . ………11 分 ………12 分 ………13 分

a 处达到极小值,



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