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函数的基本性质PPT精品课件



1.3 函数的基本性质

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1.3.1 单调性与最大(小)值

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请观察函数y=x2与y=x3图象,回答下列问题:

1、当x∈[0,+∞),x增大时,图(1)中的y 值 增大 ;图(2)中的y值 增

大 。 2、当x∈(-∞,0),x增大时,图(1)中的y 值 减小 ;图(2)中的y值 增大 。

3、分别指出图(1)、图(2)中,当x ∈[0,+∞) 和x∈(-∞,0)时,函数图象是上升的还是 下降的? 4、通过前面的讨论,你发现了什么?

结论:若一个函数在某个区间内图象是上升的, 则函数值y随x的增大而增大,反之亦真; 若一个函数在某个区间内图象是下降的, 则函数值y随x的增大而减小,反之亦真。

观察下列图象, 想一想:怎样给增函数和减函数下定义?

一、增函数
y 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值x1,x2, 当x1<x2时,都有 f(x2) f(x1)< f(x2),那么就说f(x)在 x 这个区间上是增函数 x2

f(x1)

0

x1

二、减函数
y 设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值x1,x2, 当x1<x2时,都有 f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在 x 这个区间上是减函数

f(x1)

f(x2)

0 x1

x2

三、单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做y=f(x)的单调区间.

请问: 上升的 在单调区间上增函数的图象是__________, 下降的 减函数的图象是__________. (填“上升的”或“下降的”)

想一想 :如何从一个函数的图象来判断这个 函数在定义域内的某个单调区间上是增函数 还是减函数? 如果这个函数在某个单调区间上的图象 是上升的,那么它在这个单调区间上就是增 函数;如果图象是下降的,那么它在这个单 调区间上就是减函数。

例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个 单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.

k p= V 例2:物理学中的玻意耳定律

(k为正常数) 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时, 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析:按题意,只要证明函数在区间上是减函数 即可。

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1 探究: y= 画出反比例函数 x 的图象。 (1)这个函数的定义域I是什么? (2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明 你的结论。

通过观察图象,先对函数是否具有某种性质做 出猜想,然后通过逻辑推理,证明这种猜想的正确 性,是研究函数性质的一种常用方法。

图象上有一个最低点(0,0),即对于任意的 x ? R , 都有 f ( x) ? f (0).

图象没有最低点。

四、函数的最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的 x ? I,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) = M . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值 (maximum value)。

你能给出函数最小值的定义吗?

例1:“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距 地面的高度hm与时间ts之间的关系为 h(t ) = ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 ,那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的 高度是多少(精确到1m)?

f?x? =
2

2 x-1

1

-2

2

4

6

8

-1

2 分析:由函数 y = x ? 1 ( x ? [2,6])
-2 -3

的图象可知,函数 在区间[2,6]上递减.所以,函数在区间[2,6]的 两个端点上分别取得最大值和最小值。
-4 -5

? (一)创设情景,揭示课题. ? 画出下列函数的图象,指出图象的最高点 或最低点,并说明它能体现函数的什么特 征? ? ① f ( x) = ? x ? 3 ② f ( x) = ? x ? 3 x ?[?1,2] 2 f ( x ) = x ? 2x ?1 ?③ ④ f ( x) = x2 ? 2x ?1 x ?[?2, 2]

1.函数最大(小)值定义
最大值:一般地y = f ( x) ,设函数的定义域为I如 果存在实数M满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I,使得 f ( x0 ) = M . 那么,称M是函数 y = f ( x)的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数y = f ( x) 的最小值的定义. 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值, x0 ?I f ( x0 ) =; M 即存在 ,使得

? ②函数最大(小)应该是所有函数值中最 大(小)的,即对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ( f ( x) ? m) . ? 2.利用函数单调性来判断函数最大(小) 值的方法. ? ①配方法 ②换元法 ③数形结合法

例1:“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距 地面的高度hm与时间ts之间的关系为 h(t ) = ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 ,那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的 高度是多少(精确到1m)?

? 例2.将进货单价40元的商品按50元一个售 出时,能卖出500个,若此商品每个涨价1 元,其销售量减少10个,为了赚到最大利 润,售价应定为多少? ? 解:设利润为 x 元,每个售价为 x 元,则 每个涨( x -50)元,从而销售量减少 ? 10( x ? 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) 2 ∴ y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70) ? 9000 (50 ? x<100) ? ∴ x = 70时 ymax = 9000 ? ∴答:为了赚取最大利润,售价应定为70 元.

2 ? 例3.求函数 y = x ?1

在区间[2,6] 上的

? 最大值和最小值. ? 例4.求函数 y = x ? 1 ? x 的最大值.

函数的基本性质 复习课

基础知识梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2,当x1<x2时, ①若 f(x1)<f(x2) ,则f(x)在区间D上是 增函数. ②若 f(x1)>f(x2) ,则f(x)在区间D上是 减函数.

基础知识梳理

(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 增函数 ,则称函数f(x)在这一区间上 减函数 具有(严格的)单调性, 叫做f(x) 区间D 的单调区间.

基础知识梳理
1.单调区间与函数定义域有 何关系? 【思考·提示】 单调区间 是定义域的子区间.

基础知识梳理
2.函数的最值 (1)设函数y=f(x)的定义域为I, 如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M. ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M . 则称M是f(x)的最大值.

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基础知识梳理

(2)设函数y=f(x)的定义域为I, 如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有 f(x)≥M. ②存在x0∈I,使得 . f ( x ) = M 0 则称M是f(x)的最小值.

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基础知识梳理
2.函数的最值与函数值域有何 关系? 【思考·提示】 函数的最值 与函数的值域是关联的,求出了闭 区间上连续函数的值域也就有了函 数的最值,但只有了函数的最大 (小)值,未必能求出函数的值域.

基础知识梳理
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任 关于 y轴 偶函数 意一个x,都有f(-x)=f(x),那 对称 么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任 关于 原点 奇函数 意一个x,都有f(-x)=-f(x), 对称 那么函数f(x)是奇函数

基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点? 【思考·提示】 若函数f(x)具 有奇偶性,则f(x)的定义域关于原点 对称.反之,若函数的定义域不关于 原点对称,则该函数无奇偶性.

基础知识梳理

4.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性 ,偶函数在关于 相同 原点对称的区间上的单调性 (填 相反 “相同”、“相反”).

基础知识梳理

(2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是 ,两个 奇函数 奇函数的积是 ; 偶函数 ②两个偶函数的和、积是 ; 偶函数 ③一个奇函数,一个偶函数的积是 . 奇函数

三基能力强化
1.在(-∞,0)上是减函数的是( 1 2 A.y=-x B.y=-x 4 C.y=x-1 D.y=x 答案:D )

三基能力强化
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在 [a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的 值是( )
1 A.- 3 1 C. 2 答案:B 1 B. 3 1 D.- 2

三基能力强化

3.(教材习题改编)函数f(x)=x2- 2x,x∈[a2+1,4]的最大值为________. 答案:8

课堂互动讲练
考点一 函数单调性的判断与证明

函数的单调性用以揭示随着自 变量的增大,函数值的增大与减小 的规律.在定义区间上任取x1、x2, 且x1<x2的条件下,判断或证明 f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),这一过程 就是实施不等式的变换过程.

课堂互动讲练
1 例1 求证:函数 f(x)=- -1在区间(-∞,0) x 上是单调增函数.

【思路点拨】 利用定义进 行判断,主要判定f(x2)-f(x1)的 正负.

证明:任取x1<x2<0,则
1 1 f(x2)-f(x1)=(- -1)-(- -1) x1 x2 1 1 = - = x2-x1 . x2 x1 x1 x2

因为x1<x2<0,所以x1x2>0,x2-x1>0,所
x2-x1 以 >0,即f(x2)-f(x1)>0, 所以f(x2)>f(x1). x1 x2

故f(x)在(-∞,0)上是单调增函数.

课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数 单调性的一般步骤: (1)取值:即设x1,x2是该区间内 的任意两个值,且x1<x2. (2)作差:即f(x2)-f(x1)(或f(x1)- f(x2)),并通过通分、配方、因式分解 等方法,向有利于判断差的符号的方 向变形.

课堂互动讲练

(3)定号:根据给定的区间和x2- x1的符号,确定差f(x2)-f(x1)(或f(x1) -f(x2))的符号.当符号不确定时,可 以进行分类讨论. (4)判断:根据定义得出结论.

课堂互动讲练
1 练习:证明函数 f ( x) = x ? , x ? ?? ?,?1? x

是增函



课堂互动讲练
考点二 函数奇偶性的判定

判断函数的奇偶性,应该首先 分析函数的定义域,在分析时,不 要把函数化简,而要根据原来的结 构去求解定义域,如果定义域不关 于原点对称,则一定是非奇非偶函 数.

课堂互动讲练
例2 判断下列各函数的奇偶性: 1 2 (1)f(x)=lgx +lg 2; x 1+x (2)f(x)=(x-1) ; 1-x ?x2+x,x<0 (3)f(x)=? 2 - x +x,x>0; ? lg(1-x2) (4)f(x)= . |x-2|-2

课堂互动讲练
【思路点拨】 可从定义域入手, 在定义域关于原点对称情况下,考查 f(-x)与f(x)的关系.
【解】 (1)函数的定义域: (-∞, 0)∪(0,+ ∞)关于原点对称,且 f(x) 2 1 =lg(x ·2)=0(x≠0). x ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

课堂互动讲练
1+x (2)由 ≥0 得定义域为[-1,1), 1-x 关于原点不对称,

故f(x)为非奇非偶函数. (3)当x<0时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x =-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x).

课堂互动讲练
综上,对x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (4)易知f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,1),
lg(1-x2) ∴f(x)=- ,f(-x)=-f(x). x ∴f(x)是奇函数.

课堂互动讲练
【说明】 对于(1)的结论不能只 说奇函数或偶函数.
对于 (2) 若化简为 f(x) =- 1-x2 或者 f(x)= 1-x2都导致错误判断.对 于(3)要分段研究, 不能研究一段, 对于 (4)化简为等价变形.

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