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2010年全国高中数学联赛试题及答案(1)



2010 年全国高中数学联赛 一 试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x ) ?
x?5 ?
2

24 ? 3 x 的值域是

. .

2. 已知函数 y ? ( a cos
2 2

x ? 3 ) sin x 的最小值

为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是

3. 双曲线 x ? y ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标 均为整数的点)的个数是 .

4. 已 知 { a n } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , { b n } 是 等 比 数 列 , 其 中
a 1 ? 3 , b1 ? 1, a 2 ? b 2 , 3 a 5 ? b 3 ,且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 a n ? log
?

bn ? ? ,

则? ? ? ?

.
2x

5. 函数 f ( x ) ? a

? 3a

x

? 2 ( a ? 0 , a ? 1) 在区间 x ? [? 1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区

间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
P 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的 9 条棱长都相等, 是 CC 1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B 1 ? ? ,

则 sin ? ?

. .

8. 方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分) 9. (16 分)已知函数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2

? cx ? d ( a ? 0 ) ,当 0 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ? 1 ,试求 a

的最大值. 10. ( 20 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 6 x 上 的 两 个 动 点 A ( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) , 其 中 x 1 ? x 2 且
2

x 1 ? x 2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ? ABC 面积的最大值.

11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数
3

列 { a n } ,使得

2 5

? r

a1

?r

a2

?r

a3

??.

解 答

1

1.

[ ? 3,

3]

提示:易知 f ( x ) 的定义域是 ?5 ,8 ? ,且 f ( x ) 在 ?5 ,8 ? 上是增函数,从而可知
3] .

f ( x ) 的值域为 [ ? 3 ,

2. ?

3 2

? a ? 12

提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g ( t ) ? ( ? at
g ( t ) ? ? at
3

2

? a ? 3 ) t ,即

? ( a ? 3)t .

? 由 ? at ? ( a ? 3 ) t ? ? 3 , at ( t ? 1) ? 3 ( t ? 1) ? 0 , t ? 1)( ? at ( t ? 1) ? 3 ) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 (
3 2

? at ( t ? 1) ? 3 ? 0 即

a (t ? t ) ? ? 3 .
2

(1)

当 t ? 0 , ? 1 时(1)总成立; 对 0 ? t ? 1, 0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0 , ?
2

1 4

? t

2

? t ? 0 .从而可知 ?

3 2

? a ? 12 .

3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k ( k ? 1, 2 , ? ,99 ) 与双曲线 右半支于 A k ,交直线 x ? 100 于 B k ,则线段 A k B k 内部的整点的个数为 9 9 ? k ,从而在 x 轴上方区 域内部整点的个数为

? (9 9 ? k ) ? 9 9 ? 4 9 ? 4 8 5 1 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 . 4.
3

3?3

提示 :设 { a n } 的公差为 d , {b n } 的公比为 q ,则
3 ? d ? q,

(1)
2

3(3 ? 4 d ) ? q ,
2

(2)

(1)代入(2)得 9 ? 12 d ? d ? 6 d ? 9 ,求得 d ? 6 , q ? 9 . 从而有 3 ? 6 ( n ? 1) ? log 一切正整数 n 都成立. 从而
log
?
?

9

n ?1

? ?

对一切正整数 n 都成立, 6 n ? 3 ? ( n ? 1) log 即

?

9? ?



9 ? 6 , ? 3 ? ? log

?

9? ? ,

求得 ? ?

3

3 , ? ? 3 ,? ? ? ?

3

3 ? 3.

2

5. ?

1 4

提示: a ? y , 则原函数化为 g ( y ) ? y ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 ( ? 令
x 2 ?1

3 2

,+ ? ) 上是递增的.

当 0 ? a ? 1 时, y ? [ a , a

],
?2

g ( y ) m ax ? a

? 3a

?1

?2?8? a

?1

? 2? a ?

1 2



所以
1 2 1 1 g ( y ) min ? ( ) ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4



a ? 1 时, y ? [ a

?1

, a],

g ( y ) max ? a

2

? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,

所以
g ( y ) min ? 2
?2

? 3? 2

?1

?2 ? ?

1 4

.

综上 f ( x ) 在 x ? [? 1,1] 上的最小值为 ? 6. 为
7 12 ?( 5 12 ) ?
2

1 4

.
21 36 ? 7 12
1 1? 25 144 12 17

12 17

提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

,从而先投掷人的获胜概率

7 12

?(

5 12

) ?
4

7 12

?? ?

7 12

?

?

.

7.

10 4

提示:解法一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在

直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则
B (1, 0 , 0 ), B 1 (1, 0 , 2 ), A1 ( ? 1, 0 , 2 ), P ( 0 , 3 ,1) ,从而,

BA 1 ? ( ? 2 , 0 , 2 ), BP ? ( ? 1,

3 ,1), B 1 A1 ? ( ? 2 , 0 , 0 ), B 1 P ? ( ? 1,

3 , ? 1) .

设分别与平面 BA 1 P 、平面 B 1 A1 P 垂直的向量 是 m ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) 、 n ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则
? m ? BA ? ? 2 x ? 2 z ? 0 , ? 1 1 1 ? ? m ? BP ? ? x 1 ? 3 y 1 ? z 1 ? 0 , ? ? n ? B A ? ? 2 x ? 0, ? 1 1 2 ? ? n ? B1 P ? ? x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?

z

A1 C1

B1 P A O C B
3) , 所 以

y

由此可设

m ? (1, 0 ,1), n ? ( 0 ,1,

x

3

?? ? ?? ? m ? n ? m ? n co s ? ,即

3 ?

2 ? 2 co s ? ? co s ? ?

6 4

.

所以 sin ? ?

10 4

.

A1
解法二:如图, PC ? PC 1 , PA 1 ? PB .

C1

A1 B



AB 1







O,



E B1 P A


O A1 ? O B , O A ? O B1 , A1 B ? A B1 . 因 为 P A ? P B1 , 所 以 P O ? A B1 , 从 而 AB 1 ? 平
PA 1 B .

O

C B

过 O 在平面 PA 1 B 上作 OE ? A1 P ,垂足为 E .

连 结 B 1 E , 则 ? B 1 EO 为 二 面 角 B ? A1 P ? B 1 的 平 面 角 . 设 AA 1 ? 2 , 则 易 求 得
PB ? PA 1 ? 5 , A1 O ? B 1 O ? 2 , PO ? 3.
6 5
6 5
B1O B1 E

在直角 ? PA 1 O 中, A1 O ? PO ? A1 P ? OE ,即

2?

3 ?

5 ? OE ,? OE ?

.

又 B1O ?

2 ,? B 1 E ?

B1O

2

? OE

2

?

2?

?

4 5 5

.

sin ? ? sin ? B 1 EO ?

?

2 4 5 5

?

10 4

.

8. 336675 提示:首先易知 x ? y ? z ? 2010 的正整数解的个数为 C 2009 ? 2009 ? 1004 .
2

把 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x , y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x , y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x , y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

4

1 ? 3 ? 1003 ? 6 k ? 2009 ? 1004 ,

所以
6 k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 ,


k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 .

从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为
1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .
? f ?( 0 ) ? c , ? 1 3 ? ? 2 bx ? c , 由 ? f ? ( ) ? a ? b ? c , 2 4 ? ? f ? (1) ? 3 a ? 2 b ? c ?

9. 解法一:

f ? ( x ) ? 3 ax

2



1 3 a ? 2 f ? ( 0 ) ? 2 f ? (1) ? 4 f ? ( ) . 2

所以
1 3 a ? 2 f ? ( 0 ) ? 2 f ? (1) ? 4 f ? ( ) 2 1 ? 2 f ? ( 0 ) ? 2 f ? (1) ? 4 f ? ( ) 2

? 8,

所以 a ? 为
8 3

8 3

. 又易知当 f ( x ) ?

8 3

x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值
3 2

. 解法二: f ? ( x ) ? 3 ax
2

? 2 bx ? c .

设 g ( x ) ? f ?( x ) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x ) ? 2 .

设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 2

,? 1 ? z ? 1 . z ?1 2 )? 3a 4 z
2

h(z) ? g (

?

3a ? 2b 2

z?

3a 4

? b ? c ? 1.

容 易 知 道 当 ? 1 ? z ? 1 时 , 0 ? h ( z ) ? 2 ,0 ? h ( ? z ) ? 2 . 从 而 当 ? 1 ? z ? 1 时 ,
0 ? h( z ) ? h(? z ) 2 0 ? 3a 4 z
2

? 2 , 即 ? 3a 4
2

? b ? c ?1 ? 2, 8 3

从而

3a 4

? b ? c ?1? 0, 8 3

3a 4

z

2

? 2 ,由 0 ? z
2

? 1知a ?

.
8 3
x1 ? x 2 2 ? 2, y 0 ? y1 ? y 2 2
5

又易知当 f ( x ) ?

x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为
3

.

10. 解法一:设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ?



k AB ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

?

y 2 ? y1 y
2 2

?

y

2 1

?

6 y 2 ? y1

?

3 y0

.

6

6

线段 AB 的垂直平分线的方程是
y ? y0 ? ? y0 3 ( x ? 2) .

(1)

易知 x ? 5 , y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点
C 坐标为 ( 5 , 0 ) .
3 y0

由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ?

( x ? 2 ) ,即

x ?

y0 3

( y ? y0 ) ? 2 .

(2)

(2)代入 y ? 6 x 得 y ? 2 y 0 ( y ? y 0 ) ? 12 ,即
2
2

y ? 2 y 0 y ? 2 y 0 ? 12 ? 0 .
2 2

(3)

依题意, y 1 , y 2 是方程(3)的两个实根,且 y 1 ? y 2 ,所以
? ? 4 y 0 ? 4 (2 y 0 ? 1 2 ) ? ? 4 y 0 ? 4 8 ? 0 ,
2 2 2

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
y

AB ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

A

?

(1 ? (

y0 3

) )( y 1 ? y 2 )
2

2

B

?

(1 ?

y0 9 y0 9
2

2

O

C(5,0)

x

)[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ]
2

?

(1 ?

)( 4 y 0 ? 4 ( 2 y 0 ? 12 ))
2 2

?

2 3

( 9 ? y 0 )( 12 ? y 0 ) .
2 2

定点 C ( 5 , 0 ) 到线段 AB 的距离
h ? CM ? (5 ? 2 ) ? ( 0 ? y 0 )
2 2

?

9 ? y0 .
2

6

S ? ABC ?
1 3
1 3

1 2

AB ? h ?
1 2

1 3

( 9 ? y 0 )( 12 ? y 0 ) ?
2 2

9 ? y0

2

?

( 9 ? y 0 )( 24 ? 2 y 0 )( 9 ? y 0 )
2 2 2

?

1 9 ? y 0 ? 24 ? 2 y 0 ? 9 ? y 0 3 ( ) 2 3
2 2 2

?

14 3

7

.
6? 3 35 6? 3 35

2 2 当且仅当 9 ? y 0 ? 24 ? 2 y 0 ,即 y 0 ? ? 5 , A (

,

5?

7 ), B (

,

5?

7) 或

A(

6? 3

35

, ?( 5 ?

7 )), B (

6? 3

35

,? 5 ?

7 ) 时等号成立.

所以, ? ABC 面积的最大值为

14 3

7 .

解法二:同解法一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为 ( 5 , 0 ) .
5 0 6 t1 6t 2 1 1 的绝对值, 1

设 x 1 ? t , x 2 ? t , t 1 ? t 2 , t ? t ? 4 ,则 S ? ABC ?
2 1 2 2 2 1 2 2

1 2

t t

2 1 2 2

S ? ABC ? (
2

1 2

(5 6 t1 ?
2

6 t1 t 2 ?
2
2

6 t 1 t 2 ? 5 6 t 2 ))
2

2

? ?

3 2 3

(t1 ? t 2 ) (t1t 2 ? 5 )

( 4 ? 2 t 1 t 2 )( t 1 t 2 ? 5 )( t 1 t 2 ? 5 ) 2 3 14 3 ? ( ) , 2 3

所 以 S ? ABC ?
7 ? 6
35 3

14 3

7 ,

2 2 2 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) ? t1t 2 ? 5 且 t1 ? t 2 ? 4 , 即 t1 ?

7 ? 6

5

,

t2 ? ?

5

, A(

6? 3

35

,

5?

7 ), B (

6? 3

35

,

5?

7) 或

A(

6?

, ?( 5 ?

7 )), B (

6? 3

35

,? 5 ?

7 ) 时等号成立.

所以, ? ABC 面积的最大值是

14 3

7 .

3 2 11. 令 f ( x ) ? 2 x ? 5 x ? 2 , 则 f ? ( x ) ? 6 x ? 5 ? 0 , 所 以 f ( x ) 是 严 格 递 增 的 . 又

7

1 3 1 f (0 ) ? ? 2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f ( x ) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 4 2

所以

2r ? 5r ? 2 ? 0 ,
3

2 5

?

r 1? r
3

?r?r ?r ?r
4 7

10

?? .

故数列 a n ? 3 n ? 2 ( n ? 1, 2 , ? ) 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 和 b1 ? b 2 ? ? ? b n ? ? 满足
r
a1

?r

a2

?r

a3

?? ? r

b1

?r

b2

?r

b3

?? ?

2 5



去掉上面等式两边相同的项,有
r
s1

?r

s2

?r

s3

?? ? r

t1

?r

t2

?r

t3

??,

这里 s 1 ? s 2 ? s 3 ? ? , t 1 ? t 2 ? t 3 ? ? ,所有的 s i 与 t j 都是不同的. 不妨设 s 1 ? t 1 ,则
r
1? r
t1 ? s1
s1

? r

s1

?r

s2

?? ? r
2

t1

?r
1

t2

??,
?1? 1 1? 1 2 ?1 ? 1,

? r

t 2 ? s1

?? ? r ? r

?? ?

1? r

矛盾.故满足题设的数列是唯一的.




A

1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是 边 BC 上一点 (不是边 BC 的中点) D 是线段 AK 延长线上 , 一点, 直线 BD 与 AC 交于点 N, 直线 CD 与 AB 交于点 M. 求 证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆.
B

O

EK D

C

P

Q

N M

2.
f
(1 )

(40 分)设 k 是给定的正整数, r ? k ?
(l )

1 2

.记
(m )

( r ) ? f ( r ) ? r ? r? , f ? ?

(r ) ? f ( f

( l ? 1)

( r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 f

( r ) 为一个

8

整数.这里, ? x ? 表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ?1 ? ? 1 . ? ? ? ? 2
? ?

?1?

3. (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a 2 , ? , a n 满足 a k ? 1, k ? 1, 2, ? , n ,记
Ak ? a1 ? a 2 ? ? ? a k k , k ? 1, 2, ? , n .

求证:

?

n

ak ?

k ?1

?

n

Ak ?

n ?1 2



k ?1

4. (50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中 的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至 少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?




A

1. 用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P, 连接 PQ. 因为 P K ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
2

O

? ? PO ? r
2

2

? ? ? KO
2

2

?r

2

?,
P
2

B

EK D

C

同理
QK
2

Q

? ?QO ? r
2

? ? ? KO
2 2

2

?r

?,
M
2

N

所以 故OK ⊥ PQ .

PO ? PK
2

? QO ? QK ,

由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是
AQ QN AP PM

?





由梅内劳斯(Menelaus)定理,得
NB BD ? DE ? AQ ?1,



EA QN

? 1. ③ PM NB MC ND MD ? ? 由①, ③可得 ②, , 所以 , 故△DMN ∽ △DCB, 于是 ? D M N ? ? D C B , BD CD BD DC CD EA

MC

?

DE

?

AP

所以 BC∥MN,故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A , B , D , C 四点共圆.
9

注 1:“ P K ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使得
2

PK ? KF ? AK ? KE ,



则 P,E,F,A 四点共圆,故
?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,

从而 E,C,F,K 四点共圆,于是
PK ? PF ? PE ? PC ,



⑤-④,得
PK
2

? P E ? P C ? A K ? K E ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .

注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.

A

O F B EK D P C

Q

N M

2. 记 v 2 ( n ) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v 2 ( k ) ? 1 时, f 下面我们对 v 2 ( k ) ? v 用数学归纳法. 当 v ? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时
1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? k ? ? k ? ? ? k ? 1? ? ? ? 2?? 2? ? 2? ?

(m )

( r ) 为整数.

为整数. 假设命题对 v ? 1( v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式
k ? 2 ? ? v ?1 ? 2
v v ?1

? ? v?2 ? 2

v?2

?? ,

这里, ? i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ? . 于是
1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? f ( r )? ? k ? ? k ? ? ? k ? ?? k 1 ? ? ? ? 2?? 2? ? 2 ? ?

10

? ?

1 2 1 2

?

k 2

?k ?k
2 v ?1

?2

? (? v ? 1 ? 1) ? 2 ? (? v ? 1 ? ? v ? 2 ) ? 2
v

v ?1

?? ? 2

2v

??

? k??

1 2





这里
k? ? 2
v ?1

? (? v ? 1 ? 1) ? 2 ? (? v ? 1 ? ? v ? 2 ) ? 2
v

v ?1

?? ? 2

2v

?? .

显然 k ? 中所含的 2 的幂次为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ? ? k ? ? 由①知, f
( v ? 1)

1 2

经过 f 的 v 次迭代得到整数,

( r ) 是一个整数,这就完成了归纳证明.

3. 由 0 ? a k ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ?

?a
i ?1

k

i

? k,

0?

i ? k ?1

?

n

ai ? n ? k .

注意到当 x , y ? 0 时,有 x ? y ? m ax ? x , y ? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有
k 1 ?1 1? An ? Ak ? ? ? ? ? a i ? n ? n k ? i ?1

i ? k ?1

?

n

ai

?

1

k ?1 1? ai ? ? ? ? ? ai ? n i ? k ?1 ? k n ? i ?1 n

?1 ? m ax ? ?n

k ? ?1 1? ai , ? ? ? ? ai ? ? k n ? i ?1 ? i ? k ?1

?

n

?1 ?1 1 ? m ax ? ( n ? k ), ? ? ?k n ?n

? ? ?k? ? ?

? 1?
n n

k n





?

ak ?

k ?1

?

Ak ? n An ?

k ?1

?

n

Ak

k ?1

?

? ?A
k ?1

n ?1

n

? Ak

?

?

?

n ?1

An ? Ak

k ?1

?

? ?1 ? n ?
k ?1

n ?1

? ?

k ? ?

?

n ?1 2



4.

对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边

上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于给定的点 A1 上的

11

设置 (共有 4 种) 按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , ? , An 上的设置. , 为了使得最终回到 A1 时 的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数 等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2 i 条, 0 ? i ? ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条, 0 ? j ? ? ?2? ?
2i 2 j

?n?

? n ? 2i ? .选取 2 i 条边标 2 ? ?

记 a 的有 C n 种方法,在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有 C n ? 2 i 种方法,其余的边标记 c.由乘 法原理,此时共有 C n C n ? 2 i 种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
?n? ?2? ? ? ? n?2i ? ? ? 2 ? ? ? 2i ? 2 j C n ? C n?2i ? j?0 ? ?
2i 2 j

4?

i?0

? ? ?. ? ?



这里我们约定 C 0 ? 1 .
0

当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时
? n?2i ? ? ? ? 2 ?

?

C n?2i ? 2
2 j

n ? 2 i ?1





j?0

代入①式中,得
4?
?n? ?2? ? ? ? n?2i ? ? ? 2 ? ? ? 2i ? 2 j C n ? C n?2i ? j?0 ? ? ?n? ? ?2? ? ? ? ? 4? ? i?0 ? ?

?C

2i n

2

n ? 2 i ?1

i?0

? ? 2? ?C
i?0

?n? ?2? ? ?

2i n

2

n?2i

?

?

?
n

n

Cn 2

k

n?k

?

k ?0

?C
k ?0

n

k n

2

n?k

( ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1)
k n

n

? 3 ?1.

当 n 为偶数时,若 i ?

n 2

,则②式仍然成立;若 i ?

n 2

,则正 n 边形的所有边都标记 a,此时

只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为
4?
?n? ?2? ? ? ? n?2i ? ? ? 2 ? ? ? 2i ? 2 j C n ? C n?2i ? j?0 ? ?

i?0

? ? ? ? ? ? 4 ? ?1 ? ? ? ? ?

?n? ? 2 ? ?1 ? ?

?

i?0

?n? ? ?2? ? ? 2 i n ? 2 i ?1 ? Cn 2 ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? C n2 i 2 n ? 2 i ?1 ? ? 3 n ? 3 . i?0 ? ?

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 ? 1 种;当 n 为
n

偶数时有 3 ? 3 种.
n

12

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