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数列3.2.1


3.2
明目标、 知重点 解决等比数列有关的问题.

等比数列的前 n 项和(一)

1.理解并掌握等比数列前 n 项和公式及其推导过程.2.能应用前 n 项和公式

1.等比数列前 n 项和公式: a ?1-q ? a1-anq ? ? 1 = ?q≠1? 1-q (1)公式:Sn=? 1-q . ? ?na1?q=1? (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. 2.等比数列前 n 项和公式的变式 若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= 3.错位相减法 推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列 对应项积的前 n 项和. a1 a1 (1-qn)=A(qn-1).其中 A= . 1-q q-1
n

[情境导学] 问题 一天,小林和小明做“贷款”游戏,规定:在一月(30 天)中小明第一天贷给小林 1

万元,第二天贷给小林 2 万元??以后每天比前一天多贷给小林 1 万元.而小林按这样的 方式还贷:第一天还 1 分钱,第二天还 2 分钱,第三天还 4 分钱??以后每天还的钱是前 一天的 2 倍,30 天后小林得到的钱一定比小明多吗? 探究点一 等比数列前 n 项和公式的推导

思考 1 设 30 天后小林得到 T30(万元),小明得到 S30(分),你能用数据表示出 T30、S30 吗? 答 T30=1+2+3+?+30= ?1+30?×30 =465(万元), 2

S30=1+2+22+?+229(分). 思考 2 如何计算 S30=1+2+22+?+229? 答 思路一 S30=1+2+22+?+229=1+2(1+2+22+?+228)=1+2(S30-229),

S30-2S30=1-230,S30=230-1. 思路二 S30=1+2+22+?+229,① 2S30=2+22+?+229+230.② ②-①,得 S30=230-1.

由于 230-1=1 073 741 823(分)=1 073.741 823(万元)>465(万元), 所以小明得到的钱更多. 思考 3 根据思考 2 中的求和思路,你能求出等比数列的前 n 项的和吗? 答 思路一 由 Sn=a1+a2+a3+?+an,

得 Sn=a1+a1q+a2q+?+an-1q =a1+q· (a1+a2+?+an-1) =a1+q· (Sn-an); 从而得(1-q)· Sn=a1-anq. 当 q≠1 时,Sn= a1-anq ;当 q=1 时,Sn=na1. 1-q


思路二 Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1.① 则 qSn=a1q+a1q2+?+a1qn 1+a1qn.②


由①-②得:(1-q)Sn=a1-a1qn. 当 q≠1 时,Sn= a1?1-qn? . 1- q

当 q=1 时,由于 a1=a2=?=an,所以 Sn=na1. na ,q=1 ? ? 1 综上所述,Sn=?a1?1-qn? . ,q≠1 ? 1 - q ? 例 1 (1)已知等比数列{an}中,a1=2,q=3,求 S3; 1 1 1 (2)求等比数列 1, , , ?的前 10 项的和. 2 4 8 解 (1)S3= 2×?1-33? =26; 1-3

1 1×[1-? ?10] 2 1 1 023 (2)∵a1=1,q= ,∴S10= = . 2 1 512 1- 2 反思与感悟 在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,当条 件与结论间的联系不明显时,均可以用 a1 与 q 表示 an 与 Sn,从而列方程组求解,在解方程 组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应 用. 跟踪训练 1 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. 答案 2 2n 1-2


解析 设等比数列的公比为 q,由 a2+a4=20,a3+a5=40.∴20q=40,且 a1q+a1q3=20, 解之得 q=2,且 a1=2.

因此 Sn=

a1?1-qn? n+1 =2 -2. 1-q

探究点二 等比数列前 n 项和的实际应用 例 2 五洲电扇厂去年实现利税 300 万元,计划在以后 5 年中每年比上年利税增长 10%, 问从今年起第 5 年的利税是多少?这 5 年的总利税是多少(结果精确到万元)? 解 每年的利税组成一个首项 a1=300,公比 q=1+10%的等比数列. 从今年起,第 5 年的利税为 a6=a1q5=300×(1+10%)5=300×1.15≈483(万元). a2?q5-1? 1.15-1 这 5 年的总利税为 S= =300×1.1× ≈2 015(万元). q-1 1.1-1 反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目,尤其是一些关键词: “ 每年比上年利税增长

10%”.理解题意后,将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问 题. 跟踪训练 2 一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的 高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗? 解 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度, 4 由题意,得 an+1= an, 5 4 因此,数列{an}是首项 a1=25,公比 q= 的等比数列. 5 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn=a1+a2+?+an= a1?1-qn? 1-q

?4?n? 25×? ?1-?5? ? ?4?n? = =125×? ?1-?5? ?<125. 4 1- 5
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m. 探究点三 错位相减法求和

思考 教材中推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法.这种方法也适用于一个等差数 n 列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和. 如何用错位相减法求数列{ n}前 n 2 项和? n 1 2 3 答 设 Sn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 n-1 n 1 1 2 则有 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1, 2 2 2 2 2 n 1 1 1 1 1 两式相减,得 Sn- Sn= + 2+ 3+?+ n- n+1, 2 2 2 2 2 2

1 1 ?1- n? 2 2 n n 1 1 即 Sn= - n+1=1- n- n+1. 2 1 2 2 2 1- 2 n+2 n 1 ∴Sn=2- n-1- n=2- n . 2 2 2 例 3 求和:Sn=x+2x2+3x3+?+nxn (x≠0). 解 分 x=1 和 x≠1 两种情况. 当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= n?n+1? . 2

当 x≠1 时,Sn=x+2x2+3x3+?+nxn, xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn 1,


∴(1-x)Sn=x+x2+x3+?+xn-nxn

+1 +

x?1-xn? x?1-xn? nxn 1 + = -nxn 1.∴Sn= - . 1-x ?1-x?2 1-x n?n+1? ? ? 2 综上可得 S =? x?1-x ? nx ? ? ?1-x? - 1-x
n n 2

?x=1? . ?x≠1且x≠0?

n+1

反思与感悟 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前 n 项和 时,可采用错位相减法. 跟踪训练 3 求数列 1,3a,5a2,7a3,?,(2n-1)· an 解 (1)当 a=0 时,Sn=1.
-1

的前 n 项和.

(2)当 a=1 时,数列变为 1,3,5,7,?,(2n-1), n[1+?2n-1?] 则 Sn= =n2. 2 (3)当 a≠1 且 a≠0 时, 有 Sn=1+3a+5a2+7a3+?+(2n-1)an 1①


aSn=a+3a2+5a3+7a4+?+(2n-1)an② ①-②得 Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+?+2an 1-(2n-1)an,


(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+a4+?+an 1)


a?1-an 1? =1-(2n-1)a +2· 1-a


n

2?a-an? =1-(2n-1)an+ , 1-a 又 1-a≠0,∴Sn= 1-?2n-1?an 2?a-an? + . 1-a ?1-a?2

1 ? ?n ?a=1? 综上,S =? 1-?2n-1?a 2?a-a ? ? ? 1-a + ?1-a?
2 n n n 2

?a=0? . ?a≠0且a≠1?

1.等比数列 1,x,x2,x3,?的前 n 项和 Sn 为( 1-x A. 1-x
n

)

1-x B. 1-x
n

n-1

1-x ? ? ,x≠1 C.? 1-x ? ?n, x=1 答案 C

1-x ? ? ,x≠1 D.? 1-x ? ?n, x=1

n-1

解析 当 x=1 时,Sn=n;当 x≠1 时,Sn=

1-xn . 1-x )

S4 2.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 等于( a2 A.2 15 C. 2 答案 C 解析 方法一 B.4 17 D. 2

a2 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4= +a2+a2q+a2q2, q

S4 1 15 得 =q+1+q+q2= . a2 2 方法二 S4= a1?1-q4? ,a2=a1q, 1-q

4 S4 1-q 15 ∴ = = . a2 ?1-q?q 2

3.等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它的前 5 项的和是( A.179 C.243 答案 B a5 16 2 2 解析 ∵q4= = =( )4,∴q= , a1 81 3 3 2 81-16× 3 a1-a5q ∴S5= = =211. 2 1-q 1- 3 B.211 D.275

)

4.求和:1×21+2×22+3×23+?+n×2n. 解 设 Sn=1×21+2×22+3×23+?+n×2n 则 2Sn=1×22+2×23+?+(n-1)×2n+n×2n ∴-Sn=21+22+23+?+2n-n×2n
+1 +1

2?1-2n? + + + = -n×2n 1=2n 1-2-n×2n 1 1-2 =(1-n) 2n 1-2,∴Sn=(n-1) 2n 1+2.
+ +

[呈重点、现规律] 1.在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首 项 a1 和公比 q 为基本量,且“知三求二”. 2.前 n 项和公式的应用中,注意前 n 项和公式要分类讨论,即 q≠1 和 q=1 时是不同的公 式形式,不可忽略 q=1 的情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采 用错位相减的方法求和.

一、基础过关 1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于( n[?-1?n-1] A. 2 ?-1?n+1 C. 2 答案 D 解析 Sn= ?-1?[1-?-1?n] ?-1?n-1 = . 2 1-?-1? ) ?-1?n 1+1 B. 2


)

?-1?n-1 D. 2

2. 在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项 a1=3, 前 3 项和为 21, 则 a3+a4+a5 等于( A.33 C.84 答案 C 解析 由 S3=a1(1+q+q2)=21 且 a1=3,得 q2+q-6=0. ∵q>0,∴q=2. ∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22· S3=84. S5 3.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于( S2 A.11 B.5 ) B.72 D.189

C.-8 答案 D

D.-11

解析 由 8a2+a5=0 得 8a1q+a1q4=0,
5 S5 a1?1+2 ? ∴q=-2,则 = =-11. S2 a1?1-22?

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 等于( 1 A. 3 1 C. 9 答案 C B.- 1 3 1 9

)

D.-

解析 设等比数列{an}的公比为 q,由 S3=a2+10a1 得 a1+a2+a3=a2+10a1,即 a3=9a1, 1 q2=9,又 a5=a1q4=9,所以 a1= . 9 5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 答案 3 a1?1-q6? 4· a1?1-q3? 3 解析 S6=4S3? = ?q =3. 1-q 1-q ∴a4=a1· q3=1×3=3. 6.如果数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1,?,是首项为 1,公比为 2 的等比 数列,那么 an=________. 答案 2n-1 a -a =2, ? ?a -a =2 , ,即? ? ? ?a -a =2
2 3 1 2 2 n n-1


解析 an-an-1=a1q

n-1

=2

n-1

n-1

.

相加得 an-a1=2+22+?+2n 1=2n-2, 故 an=a1+2n-2=2n-1. 7. 为保护我国的稀土资源, 国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨, 该矿区计划从 2013 年开始出口,当年出口 a 吨,以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2013 年为第一年,设第 n 年出口量为 an 吨,试求 an 的表达式; (2)因稀土资源不能再生, 国家计划 10 年后终止该矿区的出口, 问 2013 年最多出口多少吨? (保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35. 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项 a1=a,公比 q=1-10%=0.9,∴an
-1

=a· 0.9n

(n≥1).

(2)10 年的出口总量 S10= =10a(1-0.910).

a?1-0.910? 1-0.9

∵S10≤80,∴10a(1-0.910)≤80,即 a≤ ∴a≤12.3.故 2013 年最多出口 12.3 吨. 二、能力提升

8 , 1-0.910

8.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( A.300 米 C.199 米 答案 A 1? 8 39 解析 小球 10 次着地共经过的路程为 100+100+50+?+100×? ?2? =29964≈300(米). 4 9.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于 ( 3 A.-6(1-3 C.3(1-3 答案 C 解析 先根据等比数列的定义判断数列{an}是等比数列,得到首项与公比,再代入等比数列 前 n 项和公式计算. an + 1 1 由 3an+1+an=0,得 =- , an 3 1 故数列{an}是公比 q=- 的等比数列. 3 4 又 a2=- ,可得 a1=4. 3 1 10? 4? ?1-?-3? ? - 所以 S10= =3(1-3 10). 1 ? 1-? ?-3? 10.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为________. 答案 1 3
-10

)

B.299 米 D.166 米

)

)

1 - B. (1-3 10) 9 D.3(1+3
-10

-10

)

)

解析 由已知得 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3).∴a2=3a3, a3 1 ∴{an}的公比 q= = . a2 3 11.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.

解 当 q=1 时,Sn=na1,∴S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9; 当 q≠1 时, a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? + =2× , 1-q 1-q 1-q

得 2-q3-q6=2-2q9,∴2q9-q6-q3=0, 3 1 4 解得 q3=- 或 q3=1(舍去),∴q=- . 2 2 12.如图,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后再作新三 角形的内切圆.如此下去,求前 n 个内切圆的面积和. 解 设第 n 个正三角形的内切圆的半径为 an 从第二个三角形开始, 每一 1 个正三角形的边长是前一个正三角形边长的 , 每一个正三角形内切圆的 2 1 半径也是前一个正三角形内切圆半径的 ,故 2 1 1 3 3 1 a1= atan 30° = a× = a,a2= a1, 2 2 3 6 2 ? 1 an= an-1, 2 数列{an}是首项为 所以 an= 3 1 a,公比为 的等比数列. 6 2

3 1 n-1 ×( ) a. 6 2

设前 n 个内切圆的面积之和为 Sn,则
2 2 Sn=π(a2 1+a2+?+an)

1 12 1 n-1? ? =πa2 1?1+?4?+?4? +?+?4? ? 1 a2 4 a2 1 1-? ?n?π= (1- n)π. = × ? 4 ? 3 12? 9 4 a2 1 答 前 n 个内切圆的面积和是 (1- n)π. 9 4 三、探究与拓展 13.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ?



?a1+d=0, ?a1=1, ? ? (1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得? 解得? . ? ? ?2a1+12d=-10, ?d=-1

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.

? an ? (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn, ? ?

a2 an 即 Sn=a1+ +?+ n-1,① 2 2 Sn a1 a2 an = + +?+ n.② 2 2 4 2 所以,当 n>1 时,①-②得 a2-a1 an-an-1 an Sn =a1+ +?+ n-1 - n 2 2 2 2 2-n 1 1 1 =1-( + +?+ n-1)- n 2 4 2 2 =1-(1- 所以 Sn= 2-n n 1 = n. - )- 2n 2 2n 1

n - .当 n=1 时也成立. 2n 1

? an ? n 综上,数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. 2 ? ?


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