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四川省攀枝花市第十五中学校2015-2016学年高一数学上学期期中试题


攀枝花市十五中高 2018 届高一上半期考试数学试题
总分 150 分 考试时间 120 分钟 一、选择题: (每小题只有一个正确答案,多选或少选不得分。每小题 5 分,共 60 分) 2 1.已知集合 A={-2,0,2},B={ x|x -x-2=0},则 A∩B=( ) A.? C.{0} 2.已知函数 f ( x) ? ? A. 4 B.{2} D.{-2}

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 , f ( f ( )) =(

1 9

) D. ?

B.

1 4

C.-4

1 4
)

3. 在下列各组函数中, f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是( A. f ( x) =1, g ( x) = x
0

B. y ? x 与 y ?

x2

C. y ? x 2 与 y ? ( x ? 1) 2
2

D. f ( x) =∣ x ∣, g ( x) = x 2 ) B.(-∞,1] D.(-∞,-1] ) (C) (1, 2) (D) (3, 4)

4.函数 y=-x +2x-3(x<0)的单调增区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,0) 5、方程 2
x ?1

? x ? 5 ? 0 的解所在的区间是(
(B) (2,3) )
4 3

(A) (0,1)

6.下列各式中成立的一项是(

n A. ( )7 ? n7 m 7 m

1

B. ( ?3) ?
12

?3

4 C.

x ? y ? ( x ? y)
3 3

3 4

D.

3

9 ?3 3

7.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (2) ? ( ) A.6
a b

B. -6

C.10

D.-10

8.设 2 ? 5 ? m ,且

A. 10 D. 100 9.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为( ).

1 1 ? ? 2 ,则 m ? ( ) a b B. ? 10 C. 10

1

10、下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为( ) A. y ? ln

1 | x|

B. y ? x3

C. y ? 2| x|

D. y ? )

2x ?1 x

11.已知 f (x) = lgx,则 y = |f (1 – x)|的图象是下图中的(

12、设 a ? ln 2 , b ? log3 2 , c ? 5 (A) a ? b ? c

?

1 2

,则有(

) (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a

(B) c ? a ? b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷横线上) 13.幂函数 f ( x ) 的图象经过点 (3, 3) ,则 f ( x ) 的解析式是___________ 14、函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 的零点个数是_________. 15、 已知函数 f ( x) ?

2 kx ? 4kx ? k ? 3
2

的定义域为 R , 则 k 的取值范围是__ ___________

1 , 2 1 1 1 3 且 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) ? 0 .给出以 下结论:① f (0) ? ? ;② f ( ?1) ? ? ; 2 2 2 2 1 ③ f ( x ) )为 R 上减函数;④ f ( x ) ? 为奇函数;⑤ f ( x) ? 1 为偶函数. 2
16、已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,对任意实数 x, y 满足 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 其中正确结论的序号是

2

三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分)
1

(1)已知 a 2 ? a

?

1 2

? 3 ,求下列各式的值.

(1)a ? a ?1?
7 9
0

(2)a 2 ? a?2 ;
?1

(2)计算 (2 ) ? (0.1) ? lg

1 1 ? lg 2 ? ( ) ?1?log7 5 的值. 50 7

18、 (本题满分 12 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1, a ? R} . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求 A ? (? U B) ; (Ⅱ)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

19、 (本题满分 10 分) 已知函数 f (x) ? a ? 4 ? a ? 2
x x ?1

? 2 在区间[-2,2]上的最大值为 3,求实数 a 的值.

3

20、 (本题满分 12 分) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,

1 2 ? ?400 x ? x ,0 ? x ? 400 已知总收益满足函数: R ( x) ? ? ,其中 x 是仪器的月产量 2 ? ?80000, x ? 400
(1)将利润 f ( x) 表示为月产量 x 的函数 (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+ 利润)

21、 (本题满分 12 分) 已知奇函数 f ( x ) ? ax ?

b ?1 ) ? c 的图象经过点 A(1,1) , B(2, . x

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求证:函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函数; (3)若 | t ? 1 |? f ( x ) +2 对 x ? [?2, ? 1] ? [1, 2] 恒成立,求实数 t 的范围.

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (Ⅰ)求实数 k 的值; (Ⅱ)证明:对任意的实数 b ,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ? 共点; (Ⅲ)设 g ( x) ? log 4 (a ? 2 ?
x

3 x ? b 最多只有一个公 2

4 a) ,若 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 3

的取值范围.

4

攀枝花市十五中高 2018 届高一上半期考试数学试题 答案 一、选择题: 1----12 题 二、填空题: 13. f ( x) ? 15. ?0,1? BBDCB DDADA AC

x ( x ? 0)
16.

14.

2

①②④

三.解答题: 17、(本小题满分 10 分) 解: (1)解: )将 a ? a 得a?a 即a?a
?1 ?1

1 2

?

1 2

? 3 两边平方,

? 2 ? 9.
……3 分
2 ?2

? 7.

(2)将上式平方,有 a ? a

? 2 ? 49.
……5 分

? a 2 ? a ?2 ? 47.
(2)原式= 1 ? 10 ? 2 ?

7 52 ? (? 10.4) 5 5

……10 分

18、(本小题满分 12 分) B ? {x | log2 ( x ? a) ? 1, a ? R} ? {x | a ? x ? a ? 2} 分

……2

? x? , 4 }? ( Ⅰ ) 当 a ? 2 时 , B ?{ x | 2 U B ? {x | x ? 2 或 x ? 4} ,

A ? (? U B) ? {x | ?1 ? x ? 2};

……7 分

(Ⅱ)由 A ? B ? A ,得 B ? A ,所以 ?

?a ? ?1 ? ?1 ? a ? 1. ?a ? 2 ? 3

……12 分

2 1 9. 解:令 t ? 2 ,则 g (t ) ? at ? 2at ? 2 (
x

1 ? t ?4) 4
……3 分

当 a ? 0 时, g (t ) ? 2 ? 3 ,舍去 a=0;

5

当 a ? 0 时, g (t ) ? a(t ? 1) 2 ? 2 ? a ; 当 a>0 时, g (t ) max ? g (4) ? 8a ? 2 ? 3 ,∴ a ? 当 a<0 时, g (t ) max ? 2 ? a ? 3 ,∴ a ? ?1 . 综上, a ?

1 . 8

……6 分 ……9 分

1 或 a ? ?1 . ……10 分 8 20. 解(1)当 0 ? x ? 400 时, 1 1 f ( x) ? 400 x ? x 2 ? 100 x ? 20000 = ? x 2 ? 300 x ? 20000 ; 2 2 当 x ? 400 时

(2)证明:设任意 x1,x2 ∈(0,+∞) ,且 x1<x2. ∴ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? (? x 1 ?

2 2 2 2 ) ? (? x 2 ? ) ? ( x 2 ? x 1 ) ? ? x1 x2 x1 x 2
6

? (x 2 ? x1 ) ?

2( x 2 ? x 1 ) x1x 2

?

( x 2 ? x 1 )(x 1 x 2 ? 2) . x1x 2

由 x1,x2∈(0,+∞) ,得 x1x2>0,x1x2+2>0. 由 x1<x2,得 x 2 ? x1 ? 0 . ∴ f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? 0 ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) . ∴函数 f ( x ) ? ? x ?

2 在(0,+∞)上为减函数. x

……8 分

(3)由 f(x)为奇函数,知 f(x)在( ? ?, 0 )也为减函数. 当 x ? [?2, ? 1] 时, f (x) min ? f (?1) ? ?1 当 x ? [1, 2] 时, f (x) min ? f (2) ? ?1 综上, f ( x ) min ? ?1 ,从而 | t ? 1 |? 1 ∴0 ? t ? 2. ……12 分

22、 (本小题满分 14 分)

? 解 :( Ⅰ ) 由 函 数 f ( x ) 是 偶 函 数 可 知 f (? x)

f( x ) 成 立 , 所 以 恒

k x )? 0 对一切 x? R 恒成立,故 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ? 1) ? kx , 所 以 有 (1? 2
1 1 k ? ? .从而 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? x . 2 2
(Ⅱ)由题意可知,只要证明 y ? f ( x) ? 可. 证明:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,那么 ……4 分

3 x ? log 4 (4 x ? 1) ? x 在定义域 R 上是单调函数即 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? [log 4 (4 x1 ? 1) ? x1 ] ? [log 4 (4 x2 ? 1) ? x2 ] ? log 4

4 x1 ? 1 ? x1 ? x2 , 4 x2 ? 1

因为 x1 ? x2 ,所以 0 ? 4 1 ? 4 2 , x1 ? x2 ? 0 , 0 ?
x x

4 x1 ? 1 4 x1 ? 1 log ? 0 ,所以 ? 1 , 4 x2 4 ?1 4 x2 ? 1

7

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) ?

3 x 在定义域 R 上是单调函数. 2 3 对 任 意 的 实 数 b , 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 直 线 y ? ? x ? b 最 多 只 有 一 个 公 共 2
……9 分

点.

( Ⅲ ) 函 数 f ( x) 与 g ( x) 的 图 象 有 且 只 有 一 个 公 共 点 , 即 方 程

1 4 x ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有 且 只 有 一 个 实 根 , 化 简 得 方 程 2 3 1 4 2 x ? x ? a ? 2 x ? a 有且只有一个实根. 2 3 4 2 x 令t ? 2 (t ? 0) ,则方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正实根. 3 3 (1) 当 a ? 1 时,解得 t ? ? ,不合题意; 4 3 (2) 当 a ? 1 时,由 ? ? 0 ,得 a ? 或 a ? ?3 ; 4 3 1 而当 a ? 时,解得 t ? ?2 不合题意;当 a ? ?3 时,解得 t ? ,满足题意. 4 2 综上所述,实数 a 的取值范围是 a ? ?3 . ……14 分 log 4 (4 x ? 1) ?

8


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