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三角函数线应用举例



一.求三角函数的定义域
例 1.求下列函数的定义域: 分析: 首先作出单位圆, 然后根据各问题的约束 条件利用三角函数线画出角 x 满足条件的终边范围. 解: (1)如图 1, 图1 (2)如图 2, x=

例 3.比较下列各组数的大小:

分析:我们可以考虑利用三角函数线,根据正弦线、余弦线、正切线来比较它们 的大小.

/>
1 2

图2

解: (1)如下图所示,在单位圆中作出 ∵OM1<OM2,

的余弦线 OM2 和 OM1,

点评: 三角函数线的主要作用是解三角不等式,比较大小及求函数定义域.

二.解三角不等式
例 2.已知|cosθ |≤|sinθ |,求 θ 的取值范围. 分析: 我们可以在单位圆中作出正弦线和余弦线绝对值相等的角,再找出满足 |cosθ |≤|sinθ |的 θ 角范围. 解:如图 3 所示,根据|cosθ |=|sinθ |,即 θ 角正弦线的绝对值和 θ 角余弦线的绝 对值相等,则 θ 角的终边落在 y=x 和 y=-x 上,满足|cosθ |≤|sinθ |的 θ 角的终边落在 阴影部分,

(2)如下图所示,sin =MP,tan =AT, ∵MP<AT, ∴sin <tan .

点评:本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角 θ 的范围,再写出角 θ 的集合.

点评: 本题主要考查正弦线、余弦线、正切线的应用比较大小的.

三. 比较大小

四.证明三角不等式

例 4.利用三角函数线证明:|sinα |+|cosα |≥1. 分析:找出角α 的正余弦线,数形结合易证. 证明:当角α 的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,而余弦线(正弦线) 的长等于 r(r=1) . 所以|sinα |+|cosα |=1. 当角α 的终边落在一个象限时,如图所示,利用三角形两边之和大于第三边有: |sinα |+|cosα | =|MP|十|OM|>1. 综上有|sinα |+|cosα |≥1. 点评:本题利用三角函数定义,把三角问题转化为代数问题而获解决,这种方法,值得 重视.对于 sinθ +cosθ >1,也可以利用三角函数线来证明,此外该结论还可推广,若θ 为 任意角,则有|sinθ |+| cosθ |≥1.

π π 4、若 <θ < ,则下列不等式中成立的是 4 2 A.sinθ >cosθ >tanθ C. tanθ >sinθ >cosθ 5、函数 y ?





B.cosθ >tanθ >sinθ D.sinθ >tanθ >cosθ (

sin x | cos x | tan x 的值域是 ? ? | sin x | cos x | tan x |
C.{-1}

) A.{1} B.{1,3} 6、依据三角函数线,作出如下四个判断: ①sin

D.{-1,3} 3π 5

π 7π π π π 3π =sin ;②cos(- )=cos ;③tan >tan 6 6 4 4 8 8 ( ) D.4 个

;④sin

>sin

4π .其中判断正确的有 5 A.1 个 B.2 个 C.3 个

[三角函数线基础练习一]
? 1、 sin 2205 ?

2π π 7、若- ≤θ ≤ ,利用三角函数线,可得 sinθ 的取值范围是 3 6 8、若∣cosα ∣<∣sinα ∣,则 ? ? 9、利用三角函数线,写出满足下列条件的角 x 的集合. .



1 A. 2

1 B. ? 2

2 C. 2

2 D. ? 2

⑴ sinx ≥

1 1 1 2 ;⑵ cosx ≤ ;⑶ tanx≥-1 ; (4) sin x ? ? 且 cos x ? . 2 2 2 2

2、角α (0<α <2π )的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异.那么α 的值为( ) π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 D. 3π 7π 或 4 4 1 .利用三角函数线,得到α 的取值范围是( ) 2

3、若 0<α <2π ,且 sinα < π π A. (- , ) 3 3

3 2

, cosα >

π 5π π 5π B. (0, ) C. ( ,2π ) D. (0, )∪( ,2π ) 3 3 3 3

基础练习一参考答案
CDDCDB

A.在 x 轴上

1? ? ?? 1, 2 ? ; ? ?

3? ?? ? ? k? ?, k ? Z 。 ? ? k? , 4 ?4 ?

B.在 y 轴上 C.在直线 y=x 上 D.在直线 y=x 或 y=-x 上 [答案] B [解析] ∵sinα =1 或 sinα =-1,∴角 α 的终边在 y 轴上.

3? ? ? ? (1) ? ? 2k? , ? 2k? ??k ? Z ? ; ? 4 ? 4 ?
(2)

5? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ??k ? Z ? ; ? 3 ?3 ? ? ? ? ? ? k? , ? ? ??k ? Z ? ; ? ? 4 ?

3.利用正弦线比较 sin1,sin1.2,sin1.5 的大小关系是( A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 [答案] C [解析] 数形结合可知,C 正确.

)

(3)

(4) ? ?

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ??k ? Z ? 。 3 ? 6 ?

[三角函数线基础练习二]
1.下列命题中为真命题的是( )

?π π ? 4.已知 θ ∈? , ?,在单位圆中角 θ 的正弦线、余弦线、正切线分别是 a、b、c,则它 ?4 2?
们的大小关系是( A.a>b>c C.c>b>a [答案] B [解析] 如图,AT>MP>OM,即 c>a>b. ) B.c>a>b D.b>c>a

A.三角形的内角必是第一象限角或第二象限角 B.角 α 的终边在 x 轴上时,角 α 的正弦线、正切线分别变成一个点 C.终边在第二象限的角是钝角 D.终边相同的角必然相等 [答案] B π [解析] 三角形的内角有可能是 ,属非象限角; 2 终边在第二象限的角不一定是钝角;终边相同的角不一定相等,故 A、C、D 都不正确. 2.已知角 α 的正弦线是单位长度的有向线段,那么角 α 的终边( )

2 5.若 α 是三角形的内角,且 sinα +cosα = ,则这个三角形是( 3 A.等边三角形 B.直角三角形

)

C.锐角三角形 D.钝角三角形 [答案] D π [解析] 当 0<α ≤ 时,由单位圆中的三角函数线知,sinα +cosα ≥1,而 sinα + 2 2 cosα = ,∴α 必为钝角. 3 2π 2π 2π 6.a=sin ,b=cos ,c=tan ,则( 7 7 7 A.a<b<c C.b<c<a [答案] D B.a<c<b D.b<a<c ) 如图(2),OP、OQ 分别为角 α 、β 的终边,MP>NQ,∴AC<AB,即 tanα <tanβ ,故 B 错; 如图(3), 角α , β 的终边分别为 OP、 OQ, MP>NQ 即 sinα >sinβ , ∴ON>OM, 即 cosβ >cosα , 故 C 错,∴选 D.

[解析] ∴选 D.



π 2π π 2π 2π 2π 2π < < ,作出角 的三角函数线如图可知, cos <sin <tan , 4 7 2 7 7 7 7

8.若 α ∈[0,2π ),且 cosα ≥

3 ,则 α 的取值范围是______. 2

7.已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( A.若 α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若 α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若 α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若 α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ [答案] D

)

π 11π [答案] [0, ]∪[ ,2π ) 6 6 π 11π 3 [解析] 如图,OM 为[0,2π )内的角 和 的余弦线,欲使 cosα ≥ ,角 α 的余弦 6 6 2 π 11π ≥OM,当 OM 伸长时,OP 与 OQ 扫过部分为扇形 POQ,∴0≤α ≤ 或 ≤α <2π . 6 6

[解析] 如图(1),α 、β 的终边分别为 OP、OQ,sinα =MP>NQ=sinβ ,此时 OM<ON, ∴cosα <cosβ ,故 A 错;

π 3π 由(1)知 0<α < 或 π <α < ,(3) 2 2 由(2)知 sinα >cosα , 作出三角函数线知,在[0,2π ]内满足 sinα >cosα 的

?π 5π ? α ∈? , ?,(4) 4 ? ?4 ?3π ,3π ?,则 sinθ 的取值范围是________. 2 ? ? 4 ? ? ?
2? ? 2? 5π ? ?π π ? ? 由(3)、(4)得 α ∈? , ?∪?π , ?. 4 ? ?4 2? ? [点评] 形: 要准确应用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情

9.若 θ ∈?

[答案] ?-1,

3π 2 3π [解析] 如图可知 sin = ,sin =-1, 4 2 2

∴-1<sinθ <

2 . 2

10.已知点 P(tanα ,sinα -cosα )在第一象限,且 0≤α ≤2π ,则角 α 的取值范围是 ______________________. 5π ? ?π π ? ? [答案] ? , ?∪?π , ? 4 ? ?4 2? ? [解析] ∵点 P 在第一象限,
? ?tanα >0, ∴? ?sinα -cosα >0, ?

11 . 利 用 单 位 圆 写 出 满 足 sinα < __________________________.

2 , 且 α ∈(0 , π ) 的 角 α 2

的集合是

(1) (2)

? π ? ?3π ? [答案] ?0, ?∪? ,π ? 4 4 ? ? ? ?
[解析] 作出正弦线如图.

4π 的终边与单位圆的交点为 P′,其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线交点为 T′, 5 4π 4π 作 P′M′⊥x 轴,垂足为 M′,则 sin =M′P′,tan =AT′, 5 5 由图可见,MP>M′P′>0,AT<AT′<0, 2π 4π ∴(1)sin >sin . 3 5 2 MP=NQ= , 2 2 当 sinα < 时,角 α 对应的正弦线 MP、NQ 缩短, 2 π 3π ∴0<α < 或 <α <π . 4 4 12.利用三角函数线比较下列各组数的大小 : 2π 4π (2)tan <tan . 3 5 13.求下列函数的定义域: (1)y= 2cosx-1; (2)y=lg(3-4sin x). [解析] 如图(1). 1 ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥ . 2 π ? π ? ∴函数定义域为?- +2kπ , +2kπ ?(k∈Z). 3 ? 3 ?
2

2π 4π (1)sin 与 sin ; 3 5 2π 4π (2)tan 与 tan . 3 5 2π [解析] 如图所示,角 的终边与单位圆的交点为 P,其反向延长线与单位圆的过点 A 3 2π 2π 的切线的交点为 T,作 PM⊥x 轴,垂足为 M,sin =MP,tan =AT; 3 3

(2)如图(2). 3 3 3 2 2 ∵3-4sin x>0,∴sin x< ,∴- <sinx< . 4 2 2 π ? π ? ?2π ∴函数定义域为?- +2kπ , +2kπ ? ∪ ? +2kπ 3 ? 3 ? ? 3 , 4π +2kπ ? ?(k∈Z),即 3 ?

?-π +kπ ,π +kπ ?(k∈Z). ? 3 ? 3 ? ?

14.利用单位圆中的三角函数线解不等式(组): (1)3tanα + 3>0;

π 3π ? ? 区域(Ⅰ)与(Ⅱ)公共部分为不等式组的解,即不等式组解集为?2kπ + ,2kπ + ?, 3 4 ? ?

?2sinx- 2>0 (2)? ?2cosx≤1

k∈Z.
. 15.已知角 α 的终边落在直线 y=2x 上,求 sinα ,cosα ,tanα 的值. [解析] (1)当角 α 的终边在第一象限时,在角 α 的终边上取点 A(1,2), 由 r=|OA|= 1 +2 = 5得, sinα = 2 5 = 2 5 1 5 ,cosα = = ,tanα =2. 5 5 5
2 2

3 [解析] (1)要使 3tanα + 3>0,即 tanα >- . 3 π π 由正切线知 kπ - <α <kπ + ,k∈Z. 6 2 π π? ? ∴不等式的解集为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 6 2? ?

(2)当角 α 的终边在第三象限时,在角 α 的终边上取点 B(-1,-2), 由 r=|OB|= (-1) +(-2) = 5得, -2 2 5 -1 5 sinα = =- ,cosα = =- ,tanα =2. 5 5 5 5
2 2

2 ? ?sinx> 2 (2)不等式组即为? 1 cosx≤ ? ? 2 区域(Ⅰ)为 sinx> 2 , 2

1 区域(Ⅱ)为 cosx≤ . 2



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