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2.2三角形中的几何计算



北师大课标必修5·§2.2

2.2三角形中的几何 计算

复习回顾
a b c ? 正弦定理:   ? sin A sin B sin C

余弦定理: 2 2 2 a =b +c -2bccosA

b2= a2+c2-2accosB
c2 =a2+ b2-2abcosC

r />
复习回顾
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C ? 2 R

(其中:R为△ABC的外接圆半径) 三角形面积公式:
S ?ABC 1 1 1 ? bc sin A ? ca sin B ? ab sinC 2 2 2

例题讲解

例1 如图所示,在梯形ABCD中, AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA= 30°,∠ADB=45°.求BD的长.
A 5 B
45°

D 9
30°

C

例题讲解
解 在ΔABC中, AB=5,AC=9,∠BCA=30°.由 正弦定理,得 AB AC
sin?BCA ? sin?ABC

AC sin?BCA 9 sin30? 9 sin?ABC ? ? ? AB 5 10

因为AD∥BC,所以∠BAD=180 °-∠ABC 9 于 是 sin?BAD ? sin?ABC ? 10 9 sin?BAD ? ∠ADB= 同理,在ΔABD中, AB=5, 10 45° 9 2 解得 BD= 2

例题讲解
例2 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器 人由点A开始作匀速直线运动,到达点B时, 发现足球在点D处正以2倍于自己的速度像点 A作匀速直线滚动.如图所示,已知
AB ? 4 2dm, AD ? 17dm, ?BAC ? 45?

若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机 器人最快可在何处截住足球? B
A
45°

D

例题讲解
分析 机器人最快截住足球的地方正是机器人 与足球同时到达的地方,设为C点.利用速度建 立AC与BC之间的 关系,再利用余弦定理便可 建立方程解决问题.
B A
45°

C

D

例题讲解
解 设该机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段 AD上,设BC=x dm,由题意,CD=2x dm B AC=AD-CD=(17-2x) dm 在ΔABC中,由余弦定理得
A
45°

BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A

C

D

即 x 2 ? (4 2 )2 ? (17 ? 2 x)2 ? 2 ? 4 2 ? (17 ? 2 x) cos45? 37 解 得 x1=5 (dm), x2= (dm) 3 所以 AC=17-2 x ? 7 ( dm), 23 或AC=- (dm) (不合题意,舍去) 3

例题讲解
2 ? 2 3x ? 2 ? 0 a b x 、 是方程 例3 锐角三角形中,边 的两根,角 A、B满足2 sin (A ? B) ? 3 ? 0,求角 C 的度数,边 c 的长度及 ? ABC 的面积.

3 ? 2 sin ( A ? B) ? 3 ? 0, ? sin ( A ? B) ? 解: 2 ? ?ABC为锐角三角形

? A ? B ? 120o

?C ? 60o

例题讲解
?边a、b是方程 x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0的两根

? a ? b ? 2 3,ab ? 2

?c ? a ? b ? 2ab cos C 2 ? (a ? b) ? 3ab ? 12 ? 6 ? 6 ? c ? 6
2 2 2

? S ?ABC

1 1 3 3 ? ab sinC ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

例题讲解
例4 如图
离的方法.
A B

设A、B两点都在河的对岸

(不可到达),设计一种测量A、B两点间距

D

δ

γ

β α

C

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出<BCA的大小,借助于 余弦定理可以计算出A、B两点间距离. 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得 CD=a,并且在C、D两点分别测得<BCA=α, <ACD=β, <CDB=γ, <BDA=δ.在△ADC和△BDC中,应用正弦定理 得: a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? 0 sin[180 - (? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? )
a sin ? a sin ? BC ? ? 0 sin[180 - (? ? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? )

计算出AC 和BC 后,再在?ABC中,应用余弦定理计算出 AB两点间的距离AB ? AC 2 ? BC 2 - 2 AC ? BC cos ? .



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