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经典均值不等式练习题



均值不等式
均值不等式又名基本不等式、 均值定理、 重要不等式。 是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不等式比较简单, 但是其变化多样、 使用灵活。 尤其要注意它的使用条件 (正、 定、等) 。
1. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ?
2 2

a2 ?

b2 2

(当且仅当

a?b

时取“=”)

2. (1)若 a, b ? R ,则
*

a?b ? ab 2
2

(2)若 a, b ? R ,则 a ? b ?
*

2 ab

(当且仅当

a?b

时取“=” ) (3)若 a, b ? R ,则 ab ? ? ?
*

a ?b? ? ? 2 ?

(当且仅当 a

? b 时取“=” )

3. 均值不等式链:若 a、 b 都是正数,则

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? ,当且仅当 a ? b 2 2

时等号成立。 (注:以上四个式子分别为:调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权(平方)平均 数)

一、 基本技巧
技巧 1:凑项
例 已知 x ?

5 4

,求函数 y ? 4 x ? 2 ?

1 的最大值。 4x ? 5

技巧 2:分离配凑 例 求

y?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

技巧 3:利用函数单调性
例 求函数

y?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

技巧 4:整体代换 例
已知 x ? 0, y

1 9 ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

典型例题
1. 若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是 2. 已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则

?a ? b?2 的最小值
cd

是(

) )

A.0 B.1 C.2 D. 4 2 3. 若不等式 x +ax+4≥0 对一切 x∈ (0, 1] 恒成立, 则 a 的取值范围为( A. ?0,?? ? B. ??4,?? ? C. ??5,?? ? D. ??4,4?
a b

4. 若直线 2ax+by-2=0 (a,b∈R+)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,则 2 + 1 的最小值是 ( A.1 ) B.5 C.4
2

D.3+2
. . )

2

5. 已知 x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则 x+2y 的最小值是 6. 已知 x, y ? R ? ,且满足

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4
a b

7. 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A 8 B 4 C1

1 1 ? 的最小值为( a b 1 D 4
) D.6

8. 若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 ( A.

24 5

B.

28 5

C.5

9. 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 出所有正确命题的编号). ① ab ? 1 ; ②

(写

a? b? 2 ;

2 2 ③ a ?b ? 2 ;

3 3 ④ a ?b ? 3 ;



1 1 ? ?2 a b
2

10.设 a>b>0 ,则 a ? (A)1 (B)2

1 1 ? 的最小值是( ab a ? a ? b ?
(C)3 (D)4



11.下列命题中正确的是 1 A、 y ? x ? 的最小值是 2 x 4 C、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 值是 2 ? 4 3 12. 若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值是______

的最小值是 2 x2 ? 2 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小 x

B、 y ?

x2 ? 3