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2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案



北京市西城区2015 年高三二模试卷

数学(理科)

2015.5

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1 至2 页,第Ⅱ卷3 至6 页,共150 分.考试时 长120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题纸一并交回. 1.设集合 A. (-1? 3) B. (1? 3]

2.已知平面向量 实数k =( ) A.4 3.设命题 p :函数 下列命题中真命题是( ) B.-4 C.8 D.-8 为奇函数.则 ,集合 ,则 A B =( )

C. [1? 3) D. (-1? 3] ,则

在R上为增函数;命题q:函数

4.执行如图所示的程序框图,若输入的

,则输出的s属于( )

A.

{1? 2}

B.{ 1? 3}

C.{ 2 ? 3}

D.{ 1? 3? 9}

5.某生产厂商更新设备,已知在未来x 年内,此设备所花费的各种费用总和y(万元)与x

满足函数关系 ( ) A.3 6.数列 A.

,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为

B.4

C.5

D.6 ,则数列 D.84 前21 项的和等于( )

为等差数列,满足 B.21 C.42

7.若“ x >1 ”是“不等式 A.a >3 8.在长方体 B.a < 3

成立”的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是( ) C.a > 4 D.a < 4 ,点M 为AB 1 的中点,点P 为对

角线AC1 上的动点,点Q为底面ABCD上的动点(点P ,Q可以重合) ,则MP +PQ 的最 小值为( )

第Ⅱ卷(非选择题 共110 分)
二、填空题:本小题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9.复数 =____

10.双曲线C :

的离心率为

;渐近线的方程为 ;cos 2? =



11.已知角 ? 的终边经过点(-3,4) ,则cos ? = 12.如图,P 为



O 外一点,PA 是切线, A 为切点,割线PBC 与

O 相交于点B 、C ,

且 PC = 2PA , D 为线段 PC 的中点, AD 的延长线交 PA = ;AD·DE = .

O 于点 E .若PB =

3 4

,则

13.现有6 人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有

种. (用数字作答) 14.如图,正方形ABCD 的边长为2, O 为AD 的中点,射线OP 从OA 出发,绕着点O 顺 时针方向旋转至OD,在旋转的过程中,记 形 ABCD内的区域(阴影部分)的面积S = f ,OP 所经过的在正方 ,那么对于函数f (x)有以下三个结论: (x)





②任意

,都有

③任意 其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题:本大题共6 小题,共80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分13 分) 在锐角△ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为a,b ,c ,已知a = 7 ,b =3, . (Ⅰ) 求角A 的大小; (Ⅱ) 求△ABC 的面积. 16. (本小题满分13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”. (Ⅰ)当a = b = 3时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ,乙型号电视机的“星级 卖场”数量为n ,比较m , n 的大小关系; (Ⅱ)在这10 个卖场中,随机选取2 个卖场,记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场” 的个数,求X 的分布列和数学期望. (Ⅲ)若a =1,记乙型号电视机销售量的方差为s ,根据茎叶图推断b为何值时,s 达 到最小值. (只需写出结论) 17. (本小题满分14 分) 如图 1,在边长为4 的菱形ABCD中, 折起到 ⑴ 求证: ⑵ 求二面角 的位置,使 平面BCDE ; 的余弦值; ,如图 2. 于点E ,将△ADE沿DE
2 2

⑶ 判断在线段EB 上是否存在一点P ,使平面 值;若不存在,说明理由.

?若存在,求出



18. (本小题满分13 分) 已知函数 ,其中a ? R .

⑴ 当

时,求 f (x)的单调区间;

⑵ 当a> 0时,证明:存在实数m > 0,使得对于任意的实数x,都有| f (x)|≤m成立. 19. (本小题满分14 分) 设 分别为椭圆E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的左顶点, a 2 b2

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为 ,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线 直径的圆经过点F 1 ,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

20. (本小题满分13 分) 无穷数列 P : ,满足 ,其中 (Ⅰ) 若数列P :1? 3? 4 ? 7 ? …,写出 (Ⅱ)若 (Ⅲ)已知 =46,求 ,求数列P 前n项的和; 的值. 表示集合 ; ,对于数列P ,记 中最小的数.

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