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安徽省江淮名校2015届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案



安徽省江淮名校 2015 届高三第二次联考

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间:120 分钟。考生务必将答案答在答题卷上,在试卷上作答无效。考试结束后只交答题卷。

第 I 卷 (选择题共 50 分)
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共

50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? x | x |? 2, x ? R , B ? x A. (0,2) 2.复数 B.[0,2] ) C.第三象限 D.第四象限

?

?

?

x ? 2, x ? z ,则 A B =( )
C.{0,2} D.{0,l,2}.

?

i 在复平面内对应的点位于( 2i ? 1
B.第二象限

A.第一象限

3 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin ? x( x ? R, ? ? 0) 的 最 小 正 周 期 为

? ,为了得到函数

? 个单位长度 8 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

g ( x) ? sin(? x ? ) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象( 4

?



? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

4.已知等差数列{an}的前 n 项之和是 Sn,则-am<a1<-am+l 是 Sm>0,Sm+1<0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不毖要 A.

?
2

? 2

B. 2

C. )

? 2

D. ? ? 2

6.若非零向量 a, b ,满足 | a ? b |?| b | ,则( 5.

?? (2cos
4 4

?

2

x ? tan x)dx 2
B.|2 a |<|2 a + b | D.|2 b |<| a + 2b |

A.|2 a |>|2 a + b | C.|2 b |>| a + 2b |
x

7.已知函数 f ( x) ? a ? x ? b ,的零点 x0 ? (n, n ? 1)(n ? Z ) ,其中常数 a,b 满足 2a =3,3b =2, 则 n 的值是( )
-1-

A.-2 B.-l C.0 D.1 2 8.已知数列{an}的前 n 项之和是 Sn,且 4Sn=(an+1) ,则下列说法正确的是 A.数列{an}为等差数列 B.数列{an}为等差或等比数列 C.数列{an}为等比数列 D.数列{an}可能既不是等差数列也不是等比 数列 9.平面向量 a, b 满足|3 a, b |≤4,则向量 a, b 的最小值为 A.

4 3

B.-

4 3

C.

10.已知 G 点为△ABC 的重心,且 AG ? BG ,若 A.1 B.

2 3

1 1 2? ? ? ,则实数 ? 的值为 tan A tan B tan C 2 2 C. D. 5 7

3 4

D.-

3 4

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置, )
2 11.命题”存在 x0>一 1, x0 +x0 -2014>0”的否定是

12 . 如 图 , 在 第 一 象 限 内 , 矩 形 ABCD 的 三 个 顶 点 A , B , C 分 别 在 函 数

? 3? y=lo g 2 x, y ? x , y ? ? ? 2 ? ? ,的图像上,且矩形的边分别平行两坐标轴, ? ? 2
1 2

x

若 A 点的纵坐标是 2,则 D 点的坐标是 。 13.已知正项等比数列{an}满足 a2015=2a2013+a2014,若存在两项 am、an 使得

am an ? 4a1 则

n ? 4m 的最小值为 nm

. 。

14. 若正实数 a 使得不等式|2x - a|+|3x- 2a|≥a2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的范围是

15.已知集合 M= ?( x, y) | y ? f ( x)? ,对于任意实数对 ( x1 , y1 ) ? M ,存在实数对(x1,y2)? M 使得 x1x2 +y1y2 =0 成立,则称集命 M 是: “孪生对点集”-给出下列五个集合-; ① M ? ?( x, y ) y ?

? ?

1? ? x?

② M ? {( x, y) | y ? ex ? 2} ④ M ? {( x, y) | y ? x ?1}
2

③ M ? {( x, y) | y ? sin x} ⑤ M ? {( x, y) | y ? 1nx}

其中不是“孪生对点集”的序号是 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 )

-2-

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值 1 。设

f ( x) ?

g ( x) 。 x

(1)求 a、b 的值; (2)若不等式 f (2x ) ? k.2x ? 0在x ?[?1,1] 上有解,求实数 k 的取值范围。 17. (本小题满分 l2 分) 已知{an}的前 n 项和 S n ? ?

1 2 n ? kn ? 1 (其中 k ? N * ) ,且 Sn 的最大值为 9。 2

(1)确定常数 k 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?

? 9 ? 2an ? ? 的前 n 项和 Tn 。 n ? 2 ?

18. (本小题满分 12 分) 利用已学知识证明: (1) sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



(2)已知△ABC 的外接圆的半径为 2,内角 A,B,C 满足

sin 2 A ? sin( A ? B ? C ) ? sin(C ? A ? B) ?
19. (本小题满分 12 分)

1 ,求△ABC 的面积。 2

合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域 ABCD,AB=100 米,BC=50 3 米,为了便于同学们 平时休闲散步,学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到学校整 体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且 OE⊥OF,如图所示. (1)设∠BOE= ? ,试将△OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 800 元,试问如何设计才能使 铺路的总费用最低?并求出最低总费用.

-3-

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax ?1(a ? 0, e 为自然对数的底数) (1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明: 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 1n(n ? 1)(n ? N * ) n

21. (本小题满分 14 分)

1 2 n an ? an ? 1(n ? N * ) 且 a1=3。 2 2 (1)求 a2 ,a3,a4 的值及数列{an}的通项 an;
已知数列{an}满足 an ?1 ? ( 2 ) 设 数 列 {bn } 满 足 bn ?

2an ? 1 , Sn 为 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 , 求 证 : an (an ? 1)(an ? 2)

7 13 ? Sn ? 。 60 24

-4-

参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 B 10 --

注意:单选第 10 题正确答案为 1/4,答案中没有此项,所以考生选任何一项均可得分。 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. ?x ? ?1, x 2 ? x ? 2014? 0 ; 12. ( ,

1 9 ); 2 16

13.

3 1 1 ; 14. [? , ] ; 15. ① 2 3 3

⑤. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. 16.【解析】 : (1) g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是增 函数, 故?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ?b ? 0 ? g (3) ? 4

...........................4 分

(2)由已知可得 f ( x) ? x ?
2

1 1 ? 2 ,所以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为 2 x ? x ? 2 ? k ? 2 x , x 2

1 ? 1 ? 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , 2 ?2 ?
令t ?

1 ?1 ? 2 ,则 k ? t ? 2t ? 1 ,因 x ? [?1 , 1] ,故 t ? ? , 2? , x 2 ?2 ?
2

记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?

?1 ? , 2 ,故 h(t ) max ? 1, ?2 ? ?

所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . .................................12 分 17.【解析】 :(1)当 n ? k ? N * 时, S n ? ?

1 2 1 n ? kn ? 1 取最大值,即 9 ? ? k 2 ? k 2 ? 1 , 2 2

即 k ? 4 ,.............................2 分
-5-

1 S n ? ? n 2 ? 4n ? 1 , 2 9 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? , 2
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ?n ?
, n ?1 ?9 2 a ? ? 9 综上: n ? ?n ? 2 ,n?2

9 , 2

............................6 分

9 ? 2a n ? ? 0,n ?1 ? ? 2 n ,n? 2 (2) 2n ? ? 2n
Tn ? 4 ? 1 1 1 ? 6 ? 3 ? ... ? 2n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 4 ? 3 ? 6 ? 4 ? ... ? 2(n ? 1) ? n ? 2n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? 4 ? 2 ? 2( 3 ? 4 ? ... ? n ) ? 2n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 n?2 Tn ? 6 ? n ? 2 .............................................................12 分 2

18.解: (1)

sin ? ? sin ? ? sin(

? ??
2

?

? ??
2

) ? sin(

? ??
2

? 1 2

? ??
2

) ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

..........4 分

(2)? sin 2 A ? sin(? ? 2 B ) ? sin( 2C ? ? ) ?

? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ?

1 2 A ? 2B 2 A ? 2B 1 cos ? 2 sin C cos C ? 由(1)可得 2 sin 2 2 2 2 1 2 sin C[cos( A ? B) ? cos( A ? B)] ? 4 sin C sin A sin B ? 2 1 ? sin A sin B sin C ? ............................................10 分 8

? 已知△ABC 的外接圆的半径为 2

? S ?ABC ? 2R 2 sin Asin B sin C ? 1 ........................................12 分
19.解:⑴在Rt△BOE中, OE ?

50 50 ,在Rt△AOF中, OF ? cos ? sin ?

? ?? 50 6 在 Rt△OEF 中, EF ? ,当点 F 在点 D 时,角 ? 最小, sin ? cos ?

……2 分

-6-

当点 E 在点 C 时,角 ? 最大,

??

?

3 ,所以 l ? 50(sin ? ? cos ? ? 1) , ………4 分 sin ? cos ?

[ , ] 定义域为 6 3

? ?

……………………………6 分

t ? sin ? ? cos ? , ? ? [ , ] 6 3 ,所以 ⑵设

? ?

3 ?1 ?t ? 2 2

……………………8 分

l?

50(t ? 1) 100 ? ? [100( 2 ? 1),100( 3 ? 1)] ……………………………10 分 t 2 ?1 t ?1 2

??
所以当

?
4 时, l ? 100( 2 ? 1) ,总费用最低为 80000( 2 ? 1) 元 ……12 分 min
x

? 20.解:(1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a
x ? 由f 得 x?lna. () x? e ?? a0

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 . ........................................4 分
l n a

(2) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1),设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴

g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0.
................................................8 分

因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1
x

(3)由(2)得 e ? x ? 1 ,即 ln(x ? 1) ? x ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立,令 x ? 则,

1 1 1 1? k 1 ? ln(1 ? ) 即 ? ln( ) ,所以 ? ln(1 ? k ) ? ln k (k ? 1,2,...,n) k k k k k
-7-

1 (k ? N ? ) k

累加得 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ? ln( n ? 1)( n ? N ? ) .........................................13 分 2 3 n

21.解(1) a1 ? 3, a2 ? 4, a3 ? 5, a4 ? 6 ,猜想 an ? n ? 2, n ? N ? .......................3 分 下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1 , a1 ? 3, 猜想成立。 假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时,猜想成立,即 ak ? k ? 2, 则当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ?

1 2 1 1 1 ak ? ka k ? 1 ? (k ? 2) 2 ? k (k ? 2) ? 1 ? k ? 3 ? (k ? 1) ? 2 ,即当 n ? k ? 1 时, 2 2 2 2
得, an ? n ? 2, n ? N ? ...................................7 分

猜想成立,由 (2) bn ?

2n ? 5 1 1 ? ? (n ? 2)(n ? 3)(n ? 4) (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 n?2 n?4 n?3 n?4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? )+ Sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn = ( ? ? ? ? ... ? 2 3 5 4 6 n ?1 n ? 3 n ? 2 n ? 4 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ... ? ) 4 5 5 6 n?3 n?4 ?
=

1 7 1 1 1 1 13 1 3 ( ? ? )? ? ? ? ? 2 12 n ? 3 n ? 4 4 n ? 4 24 2(n ? 3) 2(n ? 4)
7 13 ? Sn ? ...............................................14 分 60 24

所以

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-8-



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