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高中数学选修2-2综合测试题(附答案)



高二数学选修 2-2 综合测试题
一、选择题: 1、 i 是虚数单位。已知复数 Z ?

f(x)g′(x)>0,且 g (?3) ? 0 ,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(
A. (-3,0)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0,3)



1 ? 3i ? (1 ? i ) 4 ,则复数 Z 对应点落在( ) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3) 3?i A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 ? 1 ? 8、已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3,数列 ? 2、在古希腊,毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,?这些数叫做三角形数, ? ? f ( n) ? 因为这些数对应的点可以排成一个正三 角形

的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为(
A.



2008 2009 2010 2011 B. C. D. 2009 2010 2011 2012 3 2 2 1 3 6 10 15 9、设函数 f(x)=kx +3(k-1)x ?k +1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围是 则第 n 个三角形数为( ) ( ) n( n ? 1) n ( n ? 1 ) 1 1 1 1 A. n B. C. n 2 ? 1 D. A. k ? B. 0 ? k ? C. 0 ? k ? D. k ? 2 2 3 3 3 3 3 3、求由曲线 y ? ? x ,直线 y ? ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积错误 的为( ) 10、函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导,其图象如图所示,记 y ? f ( x) 的导函数为 .. 2

A. ? (2 ? x ? x )dx
0

4

B. ?

4

0

xdx

C. ? (2 ? y ? y 2 )dy D. ? (4 ? y 2 )dy
?2 ?2

2

0

y ? f ?( x) ,则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为





4、 设复数 z 的共轭复数是 z ,且 z ? 1,又 A(?1, 0) 与 B(0,1) 为定点,则函数 f ( z ) ? ( z ? 1)
( z ? i) ︱取最大值时在复平面上以 z ,A,B 三点为顶点的图形是

? 1 ? A. ? ? ,1? ? 3 ?

? 2,3?

? 4 8? B. ? ?1, 2? ? , ? ? 3 3?

A,等边三角形 角形

B,直角三角形

C,等腰直角三角形
'

D,等腰三

? 3 1? C. ? ? , ? ? 2 2?

?1, 2?

? 3 ? D. ? ? , ?1? ? 2 ?

?1 4? , ? ?2 3? ?

?8 ? ,3 ? ? ?3 ?

5、函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x ? R , f ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为
(A)(-1,1) (B)(-1,+∞) (c)(-∞,-l) (D)(-∞,+∞)

11、 已知函数 f ( x) ? 小值是 A.
2 3

1 3 x ? ax 2 ? bx ? 1(a、b ? R) 在区间 [-1,3]上是减函数,则 a ? b 的最 3

B.

6、用数学归纳法证明 34n?1 ? 52n?1 (n ? N) 能被 8 整除时,当 n ? k ? 1 时,对于 34( k ?1)?1 ? 52( k ?1)?1 可变形为
· 34 k ?1 ? 52 · 52 k C. 34 k ?1 ? 52 k ?1 D. 25(34k ?1 ? 52k ?1 ) · 34k ?1 ? 25(34k ?1 ? 52k ?1 ) B. 34 A. 56

3 2

C.2

D. 3

12、函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 3, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m在x ? [?2,5] 上有 3 个零点,则 m 的取值范围为( A. (-24,8) ) B. (-24,1] C.[1,8] D.[1,8)

7、设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f ′(x)g(x)+

高二数学选修 2-2 综合测试题(答题卡)
一、选择题(60 分) 。 题号 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题: (70 分) 17. 复平面内点 A 对应的复数是 1,过点 A 作虚轴的平行线 l,设 l 上的点对应的复数为 z,求 所对应的
点的轨迹.

1 z

二、填空题:(20 分) 13、 直线 l 过点 (?1,3) ,且与曲线 y ? 程为 ;
1 在点 (1, ?1) 处的切线相互垂直, ,则直线 l 的方 x?2

14、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0),C (c,0) ,点 ,这里 a, b, c, p 均为非零实数,设直线 BP, CP 分 P (0, p) 在线段 AO 上的一点(异于端点)
1 1? ? 1 1? 别与边 AC, AB 交于点 E , F , 某同学已正确求得直线 OE 的方程为 ? , ? ? ?x ? ? ? ? ? ?y ? 0 ?b c? ? p a? 请你完成直线 OF 的方程: ( )。

15、设 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数),则 是 ______________.

a b c ? / ? / 的值 f (a) f (b) f (c)
/

18、已知函数 f ( x ) ?

16、将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3
个数为

1 ? m ? ln x , m?R . x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? ax ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,求 a 的取值范围.
y F B O A P E x C 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ??????

14 题

16 题

21.设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) .
? ? 19.设 f ( x) ? ? x ? ? x ? ? ?ax ? ? ? (1)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ?

(1)令 F ( x) ? xf ?( x) ,求 F ( x) 在 (0, ? ∞) 内的极值; (2)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

(2)当 a=1 时,求 f ( x) 在 [?, ?] 上的最值.

3 22.设函数 f ( x) ? x 3 ? . x (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2) 当 x ? [?2,? ]时, 对任意实数k ? [?1,1], f ( x) ? ?2 ? (k ? 4)? ? 2k 恒成立, 求实数 λ 20.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 2 a 的取值范围. x(单位:元/千克)满足关系式 y ? ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销 x ?3 售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值 (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所 获得的利润最大.

故当 x ? e m 时, f ( x ) 有极大值,且极大值为 f ( em ) ? e? m . (Ⅱ)欲使 ln x ? ax ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,只需 数 学 试 题 答 案 一、选择题 CBCCB ADDDA 二、填空题 13.
x? y?4?0
ln x 在 ( 0 , ? ? ) 上的最大值小于 a . x
ln x ? a 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,等价于只需 x

CD

设g(x)?
1 e

ln x 1 (x?0) ,由(Ⅰ)知, g ( x ) 在 x ? e 处取得最大值 . x e 1 e

所以 a ? ,即 a 的取值范围为 ( , ? ? ) .

?1 1? ? 1 1? 14. ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ?c q? ? p a?

15. 0

16.

n2 ? n ? 6 2

三、解答题 17、 分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点 A 的坐标为(1,0),l 过点 A 且平行于
虚轴,所以直线 l 上的点对应的复数 z 的实部为 1,可设为 z=1+bi(b∈R),然后再求

1 所对应的点的 z

集合. 解:如下图.因为点 A 对应的复数为 1,直线 l 过点 A 且平行于虚轴,所以可设直线 l 上的点对应 的复数为 z=1+bi(b∈R).
y l

1 1 19.解: (1)由 f ?( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?( x ? ) 2 ? ? 2a 2 4 2 2 2 当 x ? [ , ??)时, f ?( x)的最大值为f ?( ) ? ? 2a; 3 3 9 2 1 令 ? 2a ? 0, 得a ? ? 9 9 1 2 所以,当 a ? ? 时, f ( x)在( , ??) 上存在单调递增区间 9 3 ? ? (2)当 a=1 时, f ( x) ? ? x ? ? x ? ? ? x ? ?
f '( x) ? ? x +x+2,令 f '( x) ? ? x +x+2=0 得 x1=-1,x2=2
2 2

O

x A ( 1 , 0 )

因此

1? bi 1 b 1 1 1 1 b ? ? ? i .设 =x+yi(x、y∈R),于是 x+yi= i. ? ? 2 2 2 2 1 ? b 1 ? b 1 ? b z z 1 ? bi 1 ? b 1 ? b2
f?( x)? m ? ln x x2 .

因为 f ( x)在(1, 2) 上单调递增,在 (2, 4) 上单调递减. 所以在[1,4]上的 f ( x) 在[1,4]上的最大值为 f (2) ?
13 16 , f (4) ? ? 6 3 16 最小值为 f (4) ? ? 3 10 . 3

18.解(Ⅰ)由导数运算法则知, 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? e m .

因为 f (1) ?

当 x ? ( 0 , em ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( em , ? ? ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减.

所以, F ( x) 在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a . (2)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ? ∞) 内单调增加. 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 . 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 22.解:(1)定义域: (-∞,0)∪(0,+∞)
f ?( x) ? 3 x 2 ? 3 令 f′(x)>0,则 x<-1 或 x>1, x2 ,

21.(1)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2 ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:
2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

∴f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞) 令 f′(x)<0,则-1<x<1, ∴f(x)的减区间为(-1,0),(0,1) 3 (2)令 f ?( x) ? 3 x 2 ? 2 =0,得 x=±1 x 1 ∵x∈[-2,-1]时,f(x)为增函数;x∈[-1,- ]时,f(x)为减函数. 2 ∴x=-1 时,f(x)max=f(-1)=-4 ∴由题意得 λ 2+(k-4) λ -2k>-4 对任意 k∈[-1,1]恒成立 即 k∈[-1,1]时(λ -2)k+λ 2-4λ +4>0 恒成立.令 g(k)=( λ -2)k+λ 2-4λ +4,
?(?1)(? ? 2) ? ?2 ? 4? ? 4 ? 0 g (?1) ? 0 即可, ∴ ? 只需 ? ? ? 2 ? ? g (1) ? 0 ?(? ? 2) ? 1 ? ? ? 4? ? 4 ? 0

x
F ?( x)
F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

解得 λ <1 或 λ >3 即为所求
的最小值是 A. 1 ( ) B.

?


?


2

C. 2

D.

5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。 ) 13.设复数 z 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i ,则 z 的虚部是 。 试按照原实验目的作统计分析判断小麦种子灭菌与黑穗病是否具有相关关系。

14.从 1 ? 1,1 ? 4 ? ?(1 ? 2),1 ? 4 ? 9 ? 1 ? 2 ? 3,1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ?(1 ? 2 ? 3 ? 4),?, 概括出 第 n 个式子为 __________ _ 。 15.指出三段论“自然数中没有最大的数(大前提) , 2 是自然数(小前提) ,所以 2 不 是最大的数(结论) ”中的错误是 __________ _ 。 16.已知

(1 ? i ) 3 ? a ? 3i ,则 a ? __________ 。 1? i

19.(12 分)复数 z 满足| z |=1,且 z ? 2 z ?
2

1 ? 0 。求 z z

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17.(10 分)已知关于 x 的方程 x 2 ? (2i ? 1) x ? 3m ? i ? 0 有实数根,求实数 m 的值。

,ac ? bd ? 1, 求证:a、b、c、d 20. (12 分) 已知 a、b、c、d ? R , 且a ?b ? c ? d ?1
中至少有一个是负数。

18.(12 分)考查小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察,得到数据如 下表所示: 种子灭菌 黑穗病 无黑穗病 合计 种子未灭菌 合计

21.(12 分)某校高一.2 班学生每周用于数学学习的时间 x (单位: h )与数学成绩 y (单 位:分)之间有如下数据:

x
y

24 92

15 79

23 97

19 89

16 64

11 47

20 83

16 68

17 71

13 59

26 50 76

184 200 384

210 250 460

某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时,试预测该生数学成绩。

17. 解:设方程的实根为 x0 ,则 x0 ? (2i ? 1) x0 ? 3m ? i ? 0 , 因为 x0、m ? R ,所以方程变形为 ( x0 ? x0 ? 3m) ? (2x0 ? 1)i ? 0 ,
2

2

22.(12 分)若 1 ? 3 ? 5 ? ? ? n ? 10000 ,试设计一个程序框图,寻找满足条件的最小整 数。

1 ? x ? ? 0 ? ? ? ? x ? x0 ? 3m ? 0 2 由复数相等得 ? 0 ,解得 ? , 1 ? ?2 x 0 ? 1 ? 0 ?m ? ? 12 ?
2

故m ?

1 。 12
2

18.解: k ?

460? (26 ? 200 ? 184? 50) 2 ? 4.8 ? 3.841, 210? 250? 76 ? 384

? 有 95 ℅的把握认为小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病有关。

19.解:由题意可知: z ? cos ? ? i sin ? 则 z ? cos ? ? sin ? ? 2i sin ? cos?
2 2 2

高中新课标数学选修(1-2)综合测试题答案
一、选择题 1.D;2.A;3.B;4.B;5.B;6.C;7.A;8.B;9.B;10.C;11.B;12.A。 二、填空题 13.3; 14. 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? (?1) 15.小前提错误; 16. ? 2 ? 3i 。 三、解答题
n ?1

2z ? 2 c o s ? ? 2i s i n ? 1 ? cos ? ? is i n ? z 1 2 ∴ z ? 2 z ? ? (cos 2? ? 3 cos ? ) ? (2 sin ? cos ? ? sin ? )i ? 0 z
∴?

?cos 2? ? 3 cos? ? 0 ?2 sin ? cos? ? sin ? ? 0

若 sin ? ? 0 则 cos 2? ? 1 ,由 cos 2? ? 3 cos ? ? 0 得 cos ? ? ?1 , z ? ?1

n 2 ? (?1) n ?1

n(n ? 1) ; 2

若 cos ? ? ?

1 1 1 3 ,则 cos 2? ? ? cos 2? ? 3 cos ? ? 0 得 z ? ? ? i 2 2 2 2

∴ z ? ?1 或 z ? ?

1 3 ? i 2 2

20.证明:假设 a、b、c、d 都是非负数 因为 a ? b ? c ? d ? 1 , 所以 (a ? b)(c ? d ) ? 1 , 又 (a ? b)(c ? d ) ? ac ? bd ? ad ? bc ? ac ? bd , 所以 ac ? bd ? 1 , 这与已知 ac ? bd ? 1 矛盾。 所以 a、b、c、d 中至少有一个是负数。 21.解: 因为学习时间与学习成绩间具有相关关系。 可以列出下表并用科学计算器进行计算。

i

1 24 92 2208

2 15 79 1185

3 23 97 2231

4 19 89 1691

5 16 64 1024

6 11 47 517

7 20 83 1660

8 16 68 1088

9 17 71 1207

10 13 59 767

xi yi
xi yi

22.解: 开始

x ? 17.4

y ? 74.9

? xi ? 3182
2 i ?1

10

? yi ? 58375
2 i ?1
i i

10

?x y
i ?1 i

10

i

? 13578

sum ? 0

?? 于是可得 b

?x y
i ?1 10

10

? 10x y ? 10x
2

?x
i ?1

2 i

545.4 ? ? 3.53 , 154.4

i ?1


sum ? 10000


? ? y ? b x ? 74.9 ? 3.53?17.4 ? 13.5 , a
? ? 3.53x ? 13.5 , 因此可求得回归直线方程 y ? ? 3.53? 18 ? 13.5 ? 77.04 ? 77 , 当 x ? 18 时, y
故该同学预计可得 77 分左右。

sum ? sum ? i

i ? i ?1

i ? i ?1
结束


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