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2015-2016高中数学 1.2.2空间两条直线的位置关系学案 苏教版必修2



1.2.2

空间两条直线的位置关系

在天安门广场上,旗杆所在的直线与长安街所在的直线,它们既不相交,也不平行,它 们具有怎样的位置关系呢?旗杆与天安门广场、 天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢?

1.空间的两条直线有如下三种关系:①相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ②平行直线: 同一平面内, 没有公共点; ③异面直线: 不同在任何一个平面内, 没有公共点. 相 交直线和平行直线统称为共面直线. 2.公理 4.文字语言:平行于同一条直线的两条直线互相平行;符号语言:设 a、b、c 是三条直线,a∥b,c∥b? a∥c. 3.空间中的等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行并且方向相同,那么 这两个角相等. 4.异面直线所成的角:已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,b′ ∥b,我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角).,

一、空间两条直线的位置关系 (1)共面:空间的几个点或几条直线,如果都在同一平面内,我们就说它们共面.共面 的两条直线位置关系又分平行和相交两种. (2)异面直线:把既不相交也不平行的直线叫做异面直线.异面直线判定方法:与一平 面相交于一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线. 空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要依据的, 位置关系

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的表示则是通过相关符号语言实现的,以下几种常用的符号语言同学们要记牢.①点 A 在 直线 b 上,记作 A∈b,点 B 不在直线 b 上,记作 B?b;②点 B 在平面 α 内,记作 B∈α , 点 B 不在平面 α 内,记作 B?α ;③直线 a 在平面 α 内,记作 a? α ,直线 a 不在平面 α 内,记作 a?α . 二、公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.用符号语言表示为:设 a、b、c 是三 条直线,a∥b,c∥b? a∥c. 公理 4 将平面内两条直线平行的传递性推广到了空间中, 是证明线线平行的重要依据之 一.但要注意:并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来. 三、等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同,那么这两个角相等. 等角定理的实质是空间中角的平移, 在应用时我们需要注意以下两个结论的区别: ①如 果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同, 那么这两个角相等; ② 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一组边的方向相同,另一组边的方向相 反,那么这两个角互补.其中“角的两边分别平行”这个条件要特别注意,谨记等角定理的 逆命题不成立. 四、异面直线所成的角 已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a、b′∥b,我们把 a′与 b′所 成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(夹角). 求异面直线所成角的一般步骤是: ①根据定义作出或找出两异面直线所成的角; ②使该 角为某个三角形的内角;③解这个三角形从而求角.其中通过平移法作出其所成角是关键, 解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围. 千万不要把相交直线所成的钝角作为异 面直线所成的角.若求出的是钝角,应取它的补角作为异面直线所成的角.

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基 础 巩 固 知识点一 空间两条直线之间的位置关系 1. 如图, 将无盖正方体纸盒展开, 直线 AB、 CD 在原正方体中的所成角大小是________.

解析:先把平面图形还原为正方体(如下图),然后根据图形就可以看出△ABC 是等边三 角形. 答案:60°

2.一条直线与两条异面直线中的一条直线相交,那么它与另一条直线之间的位置关系 是________. 解析:可用模型演示. 答案:可能平行、可能相交、可能异面

3.下列命题中,其中正确的为________(填序号). ①若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行; ②若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行; ③若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行; ④若两条直线都和第三条直线异面,则这两条直线互相平行; ⑤若两条直线都和第三条直线有公共点,那么这两条直线不可能互相平行. 解析:根据两条直线的位置关系,知只有③正确.
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答案:③

知识点二 平行公理及等角定理的判断与应用 4 .如果一个角两边与另一个角的两边分别平行,并且方向不相同,那么这两个角 ________. 解析:根据等角定理,但条件中方向相同变成了方向不相同,所以两角只能互补. 答案:互补

知识点三 异面直线及其所成角的概念 5.两条异面直线指的是________(填序号). ①空间中不相交的两条直线; ②分别位于两个不同平面内的两条直线; ③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线; ④不同在任何一个平面内的两条直线. 解析:根据异面直线定义来判定.选项①中两条直线可以平行,选项②③可以借助正方 体(如下图),A′B′与 AB 这两条直线平行.

答案:④

6.已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求 AB 与 CD 所成的角的大小. 解析: 分别取 AC、 AD、 BC 的中点 P、 M、 N.连接 PM、 PN, 由三角形的中位线性质知 PN∥AB,

PM∥CD,于是∠MPN(或其补角)就是异面直线 AB 和 CD 所成的角,如右图所示.连接 MN、AN、 DN,设 AB=2,∴PM=PN=1.而 AN=DN= 3,则 MN⊥AD,AM=1,得 MN= 2,∴MN2=MP2
+NP2.∴∠MPN=90°,即异面直线 AB、CD 所成的角是 90°.

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能 力 升 级 综合点一 两直线位置关系的判断与证明 7.正方体的 12 条棱中,所在直线为异面直线的共有______对. 4×12 解析:正方体的每条棱与其他四条棱所在直线异面,故共有 =24(对). 2 答案:24

综合点二 平行公理的应用 8.如下图,木工师傅沿长方体木块 ABCDA1B1C1D1 中棱 BC 和上底面的中心 E 将长方体 木块锯开,问怎样画线?

解析:在面 A1B1C1D1 内过点 E 作 B1C1 的平行线,与 A1B1、C1D1 分别相交于 F、G,连 接 BF、CG 即可.

综合点三 异面直线所成角的判断与求解 9.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AD、AA1 的中点. (1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小.

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解析:(1)如下图,连接 DC1,

∴DC1∥AB1. ∴∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵∠CC1D=45°, ∴AB1 和 CC1 所成的角是 45°. (2)如上图,连接 DA1, ∵EF∥A1D,AB1∥DC1, ∴∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. ∵△A1DC1 是等边三角形, ∴∠A1DC1=60°. 即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60°.

10.如图,若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 2 ,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值是________.

解析:∵BC∥AD,∴∠CBD1 为异面直线 BD1 与 AD 所成角,连 CD1. 则由正四棱柱性质可知∠BCD1=90°.
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又∵BC=CD=2,DD1=4, ∴CD1=2 5. ∴tan∠CBD1=

CD1 = 5, BC

即 BD1 与 AD 所成角的正切值是 5. 答案: 5

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