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河北省唐山市2015年高考数学二模试卷(理科)【解析】



2015 年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求) 1.设集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x ﹣2x>0},则 A∩B=( A.{3} B.{2,3} C.{﹣1,3} D.{0,1,2} 2.在复平面内,复数 z 与 A.2+i B.2﹣i C.﹣2+i 的对应点关于虚轴对称,则 z=( D.﹣2﹣i )
2





3.在等差数列{an}中,a7=8,前 7 项和 S7=42,则其公差是( A.﹣ B. C.﹣ D.

4.执行如图的程序框图,若输入的 a=209,b=76,则输出的 a 是(



A.19

B.3

C.57

D.76

5.设 a=log3π,b=logπ3,c=cos3,则( ) A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c

6.函数 y=4sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)部分图象如图,其中点 A(

,0) ,B(



0) ,则(



A.ω= ,φ=﹣

B.ω=1,φ=﹣

C.ω= ,φ=﹣

D.ω=1,φ=﹣

7.设实数 x,y 满足约束条件

,则 z=

的取值范围是(



A.[ ,1]

B.[ , ]

C.[ , ]

D.[ , ]

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

9.一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得 2 分、1 分、0 分,已知甲球队 已赛 4 场,积 4 分,在这 4 场比赛中,甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有( ) A.7 种 B.13 种 C.18 种 D.19 种 10.在△ABC 中,AB=2BC,以 A,B 为焦点,经过 C 的椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2, 则( ) A. ﹣ =1 B. ﹣ =2

C.



=1 D.



=2

11.已知函数 f(x)=﹣

,g(x)=xcosx﹣sinx,当 x∈[﹣3π,3π]时,方程 f(x)=g

(x)根的个数是( ) A.8 B.6 C.4 D.2

12.已知圆 C:x +y =1,点 M(t,2) ,若 C 上存在两点 A,B 满足 是( ) A.[﹣2,2] B.[﹣3,3] C.[﹣

2

2

=

,则 t 的取值范围



] D.[﹣5,5]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知| |= ,| |=2,若( + )⊥ ,则 与 的夹角是 .

14.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,an=4Sn﹣3,则 S4=

. ,

15.在三棱锥 P﹣ABC 中,△ABC 与△PBC 都是等边三角形,侧面 PBC⊥底面 ABC,AB=2 则该三棱锥的外接球的表面积为 . 16.曲线 + =1 与两坐标轴所围成图形的面积是 .

三、解答题(本大题共 70 分,其中 17-21 题为必考题,22-24 题为选考题,解答应写出文 字说明、证明 过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,2(a ﹣b )=2accosB+bc. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)D 为边 BC 上一点,BD=3DC,∠DAB= ,求 tanC.
2 2

18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,侧面 PAD 是等边三角形,平面 PAD ⊥平面 ABCD,M,N 分别是棱 PC,AB 的中点, 且 MN⊥CD. (Ⅰ)求证:AD⊥CD; (Ⅱ)若 AB=AD,求直线 MN 与平面 PBD 所成角的正弦值.

19. 某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造, 对所辖企业是否支持 改造进行问卷调查,结果如下表: 支持 中型企业 小型企业 合计 不支持 80[来源:学科网] 240 320 合计 40 200 240 120 440 560

(Ⅰ) 能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为 “是否支持节能降耗技术改造” 与 “企 业规模”有关?

(Ⅱ)从上述 320 家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出 12 家,然后从 这 12 家中选出 9 家进行奖励,分别奖励中、小企业每家 50 万元、10 万元,记 9 家企业所 获奖金总数为 X 万元,求 X 的分布列和期望. 附: K= P(K ≥k0) k0
2 2 2

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

20.已知抛物线 E:x =4y,m、n 是过点 A(a,﹣1)且倾斜角互补的两条直线,其中 m 与 E 有唯一公共点 B,n 与 E 相交于不同的两点 C,D. (Ⅰ)求 m 的斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数λ,使得|AC|? |AD|=λ|AB| ?若存在,求λ的值;若不存在,说明理 由.
2

21.设函数 f(x)=x+ +alnx,g(x)=x+ +( ﹣x)lnx,其中 a∈R. (Ⅰ)证明:g(x)=g( ) ,并求 g(x)的最大值; (Ⅱ)记 f(x)的最小值为 h(a) ,证明:函数 y=h(a)有两个互为相反数的零点.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分【选修 4-1: 几何证明选讲】 22.如图,AB 为圆 O 的直径,PB,PC 分别与圆 O 相切于 B,C 两点,延长 BA,PC 相交于点 D. (Ⅰ)证明:AC∥OP; (Ⅱ)若 CD=2,PB=3,求 AB.

【选修 4-4:极坐标与参数方程】 23.在极坐标系中,曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,l:ρcos(θ﹣ 有一个公共点. )= ,C 与 l 有且仅

(Ⅰ)求 a; (Ⅱ)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设 f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为 m. (Ⅰ)求 m; (Ⅱ)若 a,b,c∈(0 ,+∞) ,a +2b +c =m,求 ab+bc 的最大值.
2 2 2

2015 年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求) 1.设集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x ﹣2x>0},则 A∩B=( ) A.{3} B.{2,3} C.{﹣1,3} D.{0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 B 中不等式变形得:x(x﹣2)>0, 解得:x<0 或 x>2,即 B={x|x<0 或 x>2}, ∵A={﹣1,0,1,2,3}, ∴A∩B={﹣1,3}, 故选:C.[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 点 评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.在复平面内,复数 z 与 A.2+i 考点: 专题: 分析: 的对应点关于虚轴对称,则 z=( )
2

B.2﹣i C.﹣2+i D.﹣2﹣i 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. = 的对应点关于虚轴对称, ,

解答: 解:∵ 又复数 z 与

则 z=2﹣i. 故选:B. 点评: 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,考查了复数代数形式的乘除运算,是 基础题. 3.在等差数列{an}中,a7=8,前 7 项和 S7=42,则其公差是( A.﹣ B. C.﹣ D. )

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由通项公式和求和公式可得 a1 和 d 的方程组,解方程组可得. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a7=8,前 7 项和 S7=42, ∴a1+6d=8,7a1 + d=42,

解得 a1=4,d= 故选:D 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 4.执行如图的程序框图,若输入的 a=209,b=76,则输出的 a 是( )

A.19 B.3 C.57 D.76 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 a, b, c 的值, 当 b=0 时满足条件 b=0, 退出循环,输出 a 的值为 19. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 a=209,b=76 c=57 a=76,b=57,不满足条件 b=0,c=19,a=57,b=19 不满足条件 b=0,c=0,a=19,b=0 满足条件 b=0,退出循环,输出 a 的值为 19. 故选:A. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是:①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模,本题属于基 础知识的考查. 5.设 a=log3π,b=logπ3,c=cos3,则( ) A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出.

解答: 解:∵a=log3π>1,0<b=logπ3<1,c=cos3<0, ∴a>b>c.[来源:学科网] 故选:D. 点评: 本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性,属于基础题.

6.函数 y=4sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)部分图象如图,其中点 A(

,0) ,B(



0) ,则(



[来源:学科网 ZXXK] B.ω=1,φ=﹣ C.ω= ,φ=﹣ D.ω=1,φ=﹣

A.ω= ,φ=﹣

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 结合图象,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式. 解答: 解:由函数的图象可得 = 再根据五点法作图可得 ? = ﹣ ,∴ω= . ,

+φ=0,求得φ=﹣

故选:C. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五 点法作图求出φ的值,属于基础题.

7.设实数 x,y 满足约束条件

,则 z=

的取值范围是(



A.[ ,1] 考点: 专题: 分析: 即可. 解答: z=

B.[ , ]

C.[ , ]

D.[ , ]

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

的几何意义为区域内的点到定点 D(﹣1,0)的斜率,

由图象知 AD 的斜率最大,BD 的斜率最小,



,解得

,即 A( , ) ,此时 z=

= ,



,解得

,即 B(

) ,此时 z=

= ,

故 z=

的取值范围是[ , ],

故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决 本题的关键. 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体. 解答: 解:该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如右图, 三棱柱的底面是等腰直角三角形, 其面积 S= ×1×2=1,高为 1; 故其体积 V1=1×1=1; 三棱锥的底面是等腰直角三角形, 其面积 S= ×1×2=1,高为 1;

故其体积 V2= ×1×1= ; 故该几何体的体积 V=V1+V2= ; 故选:A.

点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力. 9.一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得 2 分、1 分、0 分,已知甲球队 已赛 4 场,积 4 分,在这 4 场比赛中,甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有( ) A.7 种 B.13 种 C.18 种 D.19 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 由题意 4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1,即可得出结论. 解答: 解:由题意 4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1, 所以球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有 + +1=19 种,

故选:D. 点评: 本题考查计数原理的运用,考查学生的计算能力,比较基础. 10.在△ABC 中,AB=2BC,以 A,B 为焦点,经过 C 的椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2, 则( ) A. ﹣ =1 B. ﹣ =2

C.



=1 D.



=2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 以 AB 所在直线为 x 轴,其中点为原点,建立坐标系,再通过椭圆及双曲线的基本概 念即可得到答案. 解答: 解:以 AB 所在直线为 x 轴,其中点为原点,建立坐标系, 则 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(1+cosθ,sinθ) ,

所以 AC= 对于椭圆而言,2c=2,2a=AC+BC= 所以 = = ;

= +1,



对于双曲线而言,2c=2,2a=AC﹣BC= 所以 = = ;

﹣1,





=



=1,

故选:A. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的概念,建立坐标系是解决本题的关键,属于中档题.

11.已知函数 f(x)=﹣

,g(x)=xcosx﹣sinx,当 x∈[﹣3π,3π]时,方程 f(x)=g

(x)根的个数是( ) A.8 B.6 C.4 D.2 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 先对两个函数分析可知,函数 f(x)与 g(x)都是奇函数,且 f(x)是反比 例函 数,g(x)在[0,π]上是减函数,在[π,2π]上是增函数,在[2π,3π]上是减函数,且 g(0)=0,g(π)=﹣π;g(2π)=2π;g(3π)=﹣3π;从而作出函数的图象,由图象 求方程的根的个数即可. 解答: 解:由题意知, 函数 f(x)=﹣ 在[﹣3π,3π]是奇函数且是反比例函数,

g(x)=xcosx﹣sinx 在[﹣3π,3π]是奇函数; g′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx; 故 g(x)在[0,π]上是减函数,在[π,2π]上是增函数,在[2π,3π]上是减函数, 且 g(0)=0,g(π)=﹣π;g(2π)=2π;g(3π)=﹣3π; 故作函数 f(x)与 g(x)在[﹣3π,3π]上的图象如下,

结合图象可知,有 6 个交点; 故选:B. 点评: 本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用,同时考查了函数的零点与方 程的根的关系应用,属于中档题.

12.已知圆 C:x +y =1,点 M(t,2) ,若 C 上存在两点 A,B 满足 是( ) A.[﹣2,2] B.[﹣3,3] C.[﹣ 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 平面向量及应用.

2

2

=

,则 t 的取值范围



] D.[﹣5,5]

分析: 通过确定 A 是 MB 的中点,利用圆 x +y =1 的直径是 2,可得 MA≤2,即点 M 到原点 距离小于等于 3,从而可得结论. 解答: 解:如图,连结 OM 交圆于点 D. ∵ =
2

2

2

,∴A 是 MB 的中点,
2

∵圆 x +y =1 的直径是 2, ∴MA=AB≤2, 又∵MD≤MA,OD=1, ∴OM≤3, 即点 M 到原点距离小于等于 3, ∴t +4≤9,
2

∴ ≤t≤ 故选:C.



点评: 本题考查向量知识的运用,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知| |= ,| |=2,若( + )⊥ ,则 与 的夹角是 150° .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知条件即可得到 的运算即可得到 3 与 的夹角. 解答: 解:∵ ∴ ∴ = ; ;[来源:Zxxk.Com] ; ,所以根据 , 所以求出 cos< >= 进行数量积 , 从而便求出

∴ 与 的夹角为 150°. 故答案为:150°. 点评: 考查两非零向量垂直的充要条件,以及数量积的计算公式,向量夹角的范围.

14.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,an=4Sn﹣3,则 S4=



考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: an=4Sn﹣3,当 n=1 时,a1=4a1﹣3,解得 a1.当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1=4Sn﹣3,化为 ,利用等比数列的通项公式即可得出.

解答: 解 :∵an=4Sn﹣3, ∴当 n=1 时,a1=4a1﹣3,解得 a1=1. 当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1=4Sn﹣3, 化为 ∴数列 ∴ = , 是等比数列,首项为 ,公比为﹣ , . = .

令 n=4,则 S4= + 故答案为: .

点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了变形能力,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 15.在三棱锥 P﹣ABC 中,△ABC 与△PBC 都是等边三角形,侧面 PBC⊥底面 ABC,AB=2 则该三棱锥的外接球的表面积为 20π . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,等边三角形的高为 3,设球心到底面的距离为 x,则 r =2 +x =1 +(3﹣x) , 求出 x,可得 r,即可求出该三棱锥的外接球的表面积. 解答: 解:由题意,等边三角形的高为 3,设球心到底面的距离为 x,则 r =2 +x =1 +(3 2 ﹣x) , 所以 x=1, 所以该三棱锥的外接球的表面积为 4πr =20π. 故答案为:20π. 点评: 本题考查求三棱锥的外接球的表面积,考查学生的计算能力,确定球的半径是关键.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



16.曲线

+

=1 与两坐标轴所围成图形的面积是



考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 首先由题意,画出图象,然后利用定积分表示面积 解答: 解:曲线 + =1,即 y=(1﹣ ) 即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分
2

其面积为 故答案为:

(1﹣

) dx=

2

(1﹣2

+x)dx=(

+x)|

= ;

点评: 本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积;关键是正确利用定积分表示面积,然后 计算. 三、解答题(本大题共 70 分,其中 17-21 题为必考题,22-24 题为选考题,解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分 )在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,2(a ﹣b )=2accosB+bc. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)D 为边 BC 上一点,BD=3DC,∠DAB= ,求 tanC.
2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ)由余弦定理可得 2accosB=a +c ﹣b ,代入已知等式整理得 cosA=﹣ ,即可 求得 A. (Ⅱ) 由已知可求∠DAC= 由 B= , 由正弦定理有 = , 又 BD=3CD, 可得 3sinB=2sinC,
2 2 2

﹣C 化简即可得解.
2 2 2 2 2 2 2 2

解答: 解: (Ⅰ)因为 2accosB=a +c ﹣b ,所以 2(a ﹣b )=a +c ﹣b +bc.…(2 分) 整理得 a =b +c +bc,所以 cosA=﹣ ,即 A= (Ⅱ)因为∠DAB= 在△ACD 中,有
2 2 2

.…(4 分) .…(6 分)

,所以 AD=BD? sinB,∠DAC= = ,又因为 BD=3CD,

所以 3sinB=2sinC,…(9 分)

由 B=

﹣C 得

cosC﹣ sinC=2sinC,…(11 分) .…(12 分)

整理得 tanC=

点评: 本题主要考查了余弦定理,正弦定理,同角三角函数关系式,三角函数恒等变换的 应用,综合性较强,属于基本知识的考查. 18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,侧面 PAD 是等边三角形,平面 PAD ⊥平面 ABCD,M,N 分别是棱 PC,AB 的中点,且 MN⊥CD. (Ⅰ)求证:AD⊥CD; (Ⅱ)若 AB=AD,求直线 MN 与平面 PBD 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用.[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 分析: (Ⅰ)取 PD 边中点 E,连接 AE,EM,根据 MN⊥CD 容易得到 CD⊥AE,而根据已知条 件可以说明 PO⊥平面 ABCD,从而得到 CD⊥PO,这样 CD 就垂直于平面 PAD 内两条相交直线, 由线面垂直的判定定理从而得到 AD⊥CD; (Ⅱ)取 BC 中点 F,连接 OF,由(Ⅰ)便可知道 OA,OF,OP 三条直线两两垂直,从而可分 别以这三条直线为 x,y,z 轴,可设 AB=2,这样即可求得图形中一些点的坐标.从而求出 向量 的坐标,这时候设平面 PBD 的法向量为 ,根据 即

可求出 的坐标,若设 MN 和平面 PBD 所成角为θ,从而根据 sinθ = 解答: 解: (Ⅰ)证明:如图, 即可求得答案.

取 PD 中点 E,连 AE,EM,则 EM∥AN,且 EM=AN;

∴四边形 ANME 是平行四边形,MN∥AE; ∵MN⊥CD,∴AE⊥CD,即 CD⊥AE; 取 AD 中点 O,连 PO,△PAD 是等边三角形,则 PO⊥AD; 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD; ∴PO⊥平面 ABCD,PO⊥CD,即 CD⊥PO; 故 CD⊥平面 PAD,AD? 平面 PAD; ∴CD⊥AD,即 AD⊥CD; (Ⅱ)由 AB=AD,AD⊥CD,得? ABCD 是正方形; 取 BC 边的中点 F,连接 OF,则分别以 OA,OF,OP 所在直线为 x,y,z 轴建立如图所示空间 直角坐标系; 设 AB=2,则 A(1,0,0) ,B(1,2,0) ,D(﹣1,0,0) ,P(0,0, =(2,2,0) , 设平面 PBD 的法向量 =(1,0, ) ; ,则: ) ,E(﹣ ,0, ) ;









,取 z=1,∴



=

=( ,0,﹣

) ;

设直线 MN 与平面 PBD 所成的角为θ,则: sinθ=|cos< , >|= = .

点评: 考查面面垂直的性质定理,线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用 向量解决直线和平面所成角的问题, 能求空间点的坐标, 注意线面角和直线和平面法向量所 成角的关系,以及向量夹角余弦的坐标公式. 19. 某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造, 对所辖企业是否支持 改造进行问卷调查,结果如下表: 支持 不支持 合计 中型企业 80 40 120 小型企业 240 200 440 合计 320 240 560 (Ⅰ) 能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为 “是否支持节能降耗技术改造” 与 “企 业规模”有关? (Ⅱ)从上述 320 家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出 12 家,然后从 这 12 家中选出 9 家进行奖励,分别奖励中、小企业每家 50 万元、10 万元,记 9 家企业所 获奖金总数为 X 万元,求 X 的分布列和期望.

附: K= P(K ≥k0) 0.050 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意知根据表中所给的数据,利用公式可求 K 的值,从临界值表中可以知 2 道 K >5.024,根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是 0.025,得 到结论; (Ⅱ)按分层抽样得到的 12 家中,中小企业分别为 3 家和 9 家.X 的可能取值为 90,130, 170,210,求出相应的概率,即可求出 X 的分布列和期望. 解答: 解: (Ⅰ)K =
2 2 2 2

≈5.657,

因为 5.657>5.024, 所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为 “是否支持节能降耗技术改造” 与 “企业规模” 有关.…(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知“支持”的企业中,中小企业家数之比为 1:3,按分层抽样得到的 12 家中,中小企业分别为 3 家和 9 家. 设 9 家获得奖励的企业中,中小企业分别为 m 家和 n 家,则(m,n)可能为(0,9) , (1,8) , (2,7) , (3,6) .与之对应, X 的可能取值为 90,130,170,210.…(6 分) P(X=90)= P(X=170)= ,P(X=130)= ,P(X=210)= , ,…(10 分)

分布列表如下: X 90 130 170 210 P 期望 EX=90× +130× +170× +210× =180.…(12 分)

点评:[来源:Z。xx。k.Com] 本题考查独立性检验的应用,考查 X 的分布列和期望,考查学 生的计算能力,属于中档题. 20.已知抛物线 E:x =4y,m、n 是过点 A(a,﹣1)且倾斜角互补的两条直线,其中 m 与 E 有唯一公共点 B,n 与 E 相交于不同的两点 C,D. (Ⅰ)求 m 的斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数λ,使得|AC|? |AD|=λ|AB| ?若存在,求λ的值;若不存在,说明理 由. 考点: 抛物线的简单性质.
2 2

专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设直线 m:y+1=k(x﹣a) ,n:y+1=﹣k(x﹣a) ,代入抛物线方程,运用判别 式等于 0 和大于 0,解不等式即可得到 k 的范围; (Ⅱ)假设存在常数λ,使得|AC|? |AD|=λ|AB| ,设 B(x0,y0) ,C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 代入直线方程,由条件结合二次方程的韦达定理,再由判别式为 0,即可判断. 解答: 解: (Ⅰ)设直线 m:y+1=k(x﹣a) ,n:y+1=﹣k(x﹣a) , 分别代入 x =4y,得 2 2 x ﹣4kx+4ka+4=0(1) ,x +4kx﹣4ka+4=0(2) , 2 由△1=0 得 k ﹣ka﹣1=0, 2 由△2>0 得 k +ka﹣1>0, 2 2 故有 2k ﹣2>0,得 k >1,即 k<﹣1,或 k>1. 2 (Ⅱ)假设存在常数λ,使得|AC|? |AD|=λ|AB| , 设 B(x0,y0) ,C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 2 则(y1+1) (y2+1)=λ(y0+1) . 将 y1+1=﹣k(x1﹣a) ,y2+1=﹣k(x2﹣a) ,y0+1=k(x0﹣a)代入上式,得 2 (x1﹣a) (x2﹣a)=λ(x0﹣a) , 2 2 即 x1x2﹣a(x1+x2)+a =λ(x0﹣a) . 由(2)得 x1+x2=﹣4k,x1x2=﹣4ka+4, 由(1)得 x0=2k,代入上式,得 2 2 2 4+a =λ(4k ﹣4ka+a ) . 2 2 又△1=0 得 k ﹣ka﹣1=0,即 4k ﹣4ka=4, 2 2 因此 4+a =λ(4+a ) ,λ=1. 2 故存在常数λ=1,使得|AC|? |AD|=λ|AB| . 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查直线和抛物线方程联立,运用判别式和韦 达定理,考查运算化简的能力,属于中档题.
2 2

21.设函数 f(x)=x+ +alnx,g(x)=x+ +( ﹣x)lnx,其中 a∈R. (Ⅰ)证明:g(x)=g( ) ,并求 g(x)的最大值; (Ⅱ)记 f(x)的最小值为 h(a) ,证明:函数 y=h(a)有两个互为相反数的零点. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调 性. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用已知函数 g(x)的解析式,分别计算 g( ) ,g(x) ,可得两者相等; 再利用 g′(x)求得最大值; (Ⅱ)利用 f′(x)可得 f(x)的最小值 h(a)=t+ +( ﹣t)lnt=g(t) ,由(Ⅰ)可 知 g( )<0,g(1)>0,利用函数零点的判定定理即得结论.

解答: 解: (Ⅰ)∵g( )= +x+(x﹣ )ln =x+ +( ﹣x)lnx,

∴g(x)=g( ) ,则 g′(x)=﹣(1+

)lnx,

当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减. 所以 g(x)的最大值为 g(1)= (Ⅱ)∵f(x)=x+ +alnx, =2.

∴f′(x)=1﹣

+ =
2


2

令 f′(x)=0,即 x +ax﹣1=0,则△=a +4>0, 不妨取 t= >0,由此得:t +at﹣1=0 或写为:a= ﹣t.
2

当 x∈(0,t)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(t,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 从而 f(x)的最小值为 f(t)=t+ +alnt=t+ +( ﹣t)lnt,

即 h(a)=t+ +( ﹣t)lnt=g(t) (或 h(a)= 由(Ⅰ)可知 g( )=g(e )=
2 2

+aln

) .

﹣e <0,g(1)=2>0,

分别存在唯一的 c∈(0,1)和 d∈(1,+∞) ,使得 g(c)=g(d)=0,且 cd=1, 因为 a= ﹣t(t>0)是 t 的减函数,所以 y=h(a)有两个零点 a1= ﹣d 和 a2= ﹣c, 又 ﹣d+ ﹣c= ﹣(c+d)=0,所以 y=h(a)有两个零点且互为相反数.

点评: 本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理,考查转化与化归思想、运算 求解能力、数据处理能力和推理论证能力. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分【选修 4-1: 几何证明选讲】 22.如图,AB 为圆 O 的直径,PB,PC 分别与圆 O 相切于 B,C 两点,延长 BA,PC 相交于点 D. (Ⅰ)证明:AC∥OP; (Ⅱ)若 CD=2,PB=3,求 AB.

考点: 与圆有关的比例线段;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)利用切割线定理,可得 PB=PC,且 PO 平分∠BPC,可得 PO⊥BC,又 AC⊥BC, 可得 AC∥OP; (Ⅱ)由切割线定理得 DC =DA? DB,即可求出 AB. 解答: (Ⅰ)证明:因 PB,PC 分别与圆 O 相切于 B,C 两点, 所以 PB=PC,且 PO 平分∠BPC, 所以 PO⊥BC,又 AC⊥BC,即 AC∥OP.…(4 分) (Ⅱ)解:由 PB=PC 得 PD=PB+CD=5, 在 Rt△PBD 中,可得 BD=4. 则由切割线定理得 DC =DA? DB, 得 DA=1,因此 AB=3.…(10 分) 点评: 本题考查切割线定理,考查学生分析解决问题的能力,正确运用切割线定理是关键. 【选修 4-4:极坐标与参数方程】 2 3.在极坐标系中,曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,l:ρcos(θ﹣ 有一个公共点. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值. )= ,C 与 l 有且仅
2 2

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I)把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即 可得出 a; (II) 不妨设 A 的极角为θ, B 的极角为θ+ (θ+ , 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos (θ+ ) =2 cos

) ,利用三角函数的单调性即可得出.
2 2 2

解答: 解: (Ⅰ)曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,变形ρ =2ρacosθ,化为 x +y =2ax,即(x 2 2 2 ﹣a) +y =a . ∴曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆;

由 l:ρcos(θ﹣

)= ,展开为 y﹣3=0. =a,解得 a=1. ,



∴l 的直角坐标方程为 x+ 由直线 l 与圆 C 相切可得

(Ⅱ)不妨设 A 的极角为θ,B 的极角为θ+ 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+ =3cosθ﹣ 当θ=﹣ sinθ=2 cos(θ+ ) ) , .

时,|OA|+|OB|取得最大值 2

点评: 本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、 直线与圆相切的性质、 极坐标方程的应用、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设 f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为 m. (Ⅰ)求 m; (Ⅱ)若 a,b,c∈(0,+∞) ,a +2b +c =m,求 ab+bc 的最大值. 考点: 绝对值不等式的解法;基本不等式. 专题: 计算题;分类讨论;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)运用零点分区间,讨论 x 的范围,去绝对值,由一次函数的单调性可得最大 值; (Ⅱ)由 a +2b +c =(a +b )+(b +c ) ,运用重要不等式,可得最大值. 解答: 解: (Ⅰ)当 x≤﹣1 时,f(x)=3+x≤2;[来源:学科网 ZXXK][来源:学。科。网 Z。 X。X。K] 当﹣1<x<1 时,f(x)=﹣1﹣3x<2; 当 x≥1 时,f(x )=﹣x﹣3≤﹣4. 故当 x=﹣1 时,f(x)取得最大值 m=2. (Ⅱ)a +2b +c =(a +b )+(b +c )≥2ab+2bc=2(ab+bc) , 当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

此时,ab+bc 取得最大值 =1. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法和运用,主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式 的解法,属于中档题.



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