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人教A版高中数学必修2-第一章-1.1空间几何体的结构



问题提出

1.在平面几何中,我们认识了三角形, 正方形,矩形,菱形,梯形,圆,扇形 等平面图形.那么对空间中各种各样的几 何体,我们如何认识它们的结构特征? 2.对空间中不同形状、大小的几何体 我们如何理解它们的联系和区别?

知识探究(一):空间几何体的类型

思考1:在我们周围存在着各种各样的物 体,它们都占据

着空间的一部分.如果我 们只考虑这些物体的形状和大小,而不 考虑其他因素,那么由这些抽象出来的 空间图形就叫做空间几何体.你能列举那 些空间几何体的实例? 思考2:观察下列图片,你知道这图片在 几何中分别叫什么名称吗?

思考3:如果将这些几何体进行适当分类,你认为 可以分成那几种类型? 思考4:图(2)(5)(7)
(9)(13)(14)(15) (16)有何共同特点?这些几 何体可以统一叫什么名称? 组成几何体的每个面都是平 面图形,并且都是平面多边 多面体 形。 思考5:图(1)(3)(4) (6)(8)(10)(11)(12) 有何共同特点?这些几何体可 以统一叫什么名称? 组成几何体的面不全是平面 图形。 旋转体

一、多面体

思考6:一般地,怎样定义多面体? 围成多面体的各个多边形,相邻 两个多边形的公共边,以及这些 公共边的公共顶点分别叫什么名 称?

C ?B ?

若干个平面多边形围成的几何体,叫多面体. ?相邻两个面的公共边叫多面体的棱; ?棱和棱的公共点叫多面体的顶点;

面CCC′B ′

顶点 A

?围成多面体 的各个多边形 叫多面体的面;

二、旋转体
思考7:一般地,怎样定义旋转体?

由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体。


定直线叫做 旋转体的轴。

图片回放

图1.1-1中(1)(3) (4)(6)(8) (10)(11)(12) 这些物体都具有旋转 体的形状。

知识探究(二):棱柱的结构特征 问题1:我们把下面的多面体取名为棱 柱,你能说一说棱柱的结构有那些特征 吗?据此你能给棱柱下一个定义吗?

有两个面互相平行,其余各 面都是四边形,并且每相邻两个 四边形的公共边都互相平行,这 些面围成的多面体叫做棱柱。 两个互相平行的面叫做棱柱 的底面,简称底;其余各面叫做 棱柱的侧面。

?

?

两个面的公共边叫做棱柱的棱。相邻侧面的 公共边叫做棱柱的侧棱。 两底面之间的距离,即从一个底面上任意一 点向另一个底面作垂线,这点与垂足之间的距离 叫做棱柱的高。 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

问题2:你能指出下面棱柱的底面、侧面、 侧棱、顶点吗?
顶点
侧面

底面

侧棱

棱柱的表示:ABCDEF-A′B′C′D′E ′F ′

棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边 形、 …… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、 四棱柱、五棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

棱柱的分类

1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。

3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

问题3

理解棱柱的定义

①过BC的截面截去长方体的 一角,截去的几何体是不是棱柱, 余下的几何体是不是棱柱? 答:都是棱柱. ②观察长方体,共有多少对 平行平面?能作为棱柱的底面的 有几对? 答:三对平行平面;这三对 都可以作为棱柱的底面.

③观察右边的棱柱,共 有多少对平行平面?能作为 棱柱的底面的有几对?

答:四对平行平面;只有一对可以作 为棱柱的底面.
④棱柱的任何两个平行平面都可以作 为棱柱的底面吗?

答:不是.

⑤棱柱两个互相平行的面 以外的面都是平行四边形吗?

E′ F′ A′ B′

D′

C′

答:是.
⑥为什么定义中要说“其余各 E 面都是四边形,并且相邻两个四边 F 形的公共边都互相平行,”而不简 A 单的只说“其余各面是平行四边形 呢”? 答:满足“有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的几何体” 这样说法的还有右图情况,如图所 示.所以定义中不能简单描述成 “其余各面都是平行四边形”.
D
C B

思考:下列多面体都是棱柱吗?如何在 名称上区分这些棱柱?如何用符号表示?
D1 C1 A1 C D1 A B A1 D A C1 B1 C A1 B1

C1 B1 A1 A

C B

E1

D E

D1 B1

C1

B A

D B

C

思考:一个三棱柱可以分割成几个三 棱锥?
C1 A1 B1 C1 A1 B1

C

B C

B

A

A

思考:一个棱柱至少有 3 个侧面?一个N棱 柱分别有 2 个底面和 N 个侧面?有 N 条侧 棱?有 2N 个顶点?

1.下图中不可能围成正方体的是 (B )

A

B

C

D

2.在棱柱中………………..( D )
A . 只有两个面平行;

B . 所有的棱都相等;
C . 所有的面都是平行四边形;

D . 两底面平行,并且各侧棱也平行。

知识探究(二): 棱锥的结构特征

思考1:我们把下面的多面体取名为棱 锥,你能说一说棱锥的结构有那些特征 吗?据此你能给棱锥下一个定义吗?

有一个面是多边形,其余各面都是有 一个公共顶点的三角形,由这些面围 成的多面体叫做棱锥。

思考2:参照棱柱的说法,棱锥的底面、
侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?

多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各 个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点 叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的 侧棱;从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的 距离叫棱锥的高。

S

顶点 侧棱



D

侧面

E
A

O
B

C

底面

棱锥的表示

棱锥用表示顶点和底面各点的字母表示。 如图表示为棱锥S-ABCD.

棱锥的分类

三棱锥
(四面体)

四棱锥

五棱锥

正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边 形,并且顶点在底面的射影是底 面的中心,这样的棱锥是正棱锥. 正棱锥的基本性质 E

S

D
O C

各侧棱相等,各侧面是全等的 等腰三角形,各等腰 三角形底边 上的高相等(它叫做正棱锥的斜 高)。

A

B

思考:有一个面是多边形。其余各面 都是三角形的多面体一定是棱锥吗? 不一定

不 是 棱 锥

知识探究(三):棱台的结构特征

用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,底面与截面之间的部分叫作 棱台。
S A1 D1 D B1 C1 C A1 D1 D B1 C1

C
B

A

B

A

棱台的有关概念
上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上 底面,其余各面叫做棱台的侧面,相邻侧面的公 共边叫做棱台的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫 做棱台的顶点.

1、正棱台的探究 用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。 正棱台的侧面是全等的等腰梯形, 它的高叫作正棱台的斜高。

斜高

正棱锥

正四棱台

2.棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱 台,分别叫做三棱台,四棱台,五棱台…

3.棱台的表示法: 棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表 示,如右图,棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
D

B1

C1
C

A

B

思考:判断下列几何体是不是棱台?并说 明为什么。

(1)不是棱台,因为 此几何体的侧棱不相交 于一点,不是由棱锥截 得的。

(2)不是棱台,因 为它不是由平行棱 锥的底面的平面截 得的几何体。

知识探究(四):圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为 旋转轴 底面 旋转轴,其余三边旋转形 圆柱 成的面所围成的旋转体叫 O′ A′ 做圆柱.
(1)旋转轴叫做圆柱的轴。 (2) 垂直于轴的边旋转而 成的圆面叫做圆柱的底面。 (3)平行于轴的边旋转而成 A 的曲面叫做圆柱的侧面。 (4)无论旋转到什么位置,不 母线 垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。
O

侧面

圆柱的表示

圆柱用表示 它的轴的字 母表示。

如图所示的圆柱表示为圆柱OO/

知识探究(五)圆锥的结构特征 思考1:将一个直角三角形以它的一条直 角边为轴旋转一周,那么其余两边旋转 形成的面所围成的旋转体是一个什么样 的空间图形?你能画出其直观图吗?

思考2:以直角三角形的一条直角边所在 直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体叫做圆锥,那么如何定 义圆锥的轴、底面、侧面、母线?

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转 轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何 体叫做圆锥. 圆锥 垂直于轴的边旋转而 顶点 成的圆面叫做圆锥的 S 底面,旋转轴叫做圆 轴 母 锥的轴,斜边旋转而 线 侧 成的曲面叫做圆锥的 面 侧面,斜边在旋转中 A O 的任何位置叫做圆锥 底面 B 侧面的母线.

顶点

轴 母线
底面

侧面

母线

旋转轴叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转 而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面,斜边在旋转中 的任何位置叫做圆锥侧面的母线.

思考3:经过圆锥任意两条母线的截面是 什么图形?

等腰三角形

思考4:经过圆锥的轴的截面称为轴截面, 你能说出圆锥及其圆锥的轴截面有哪些 基本特征吗?

探究:圆锥的性质

(1)底面是圆;
(2)轴截面是等腰三角形。

(3)母线相交于顶点;
(4)平行于底面的截面是与底面平行且半 径不相等的圆;

(5)侧面展开图是以母线长为半径的扇形;

知识探究(六)圆台的结构特征
1、 用一个平行 于圆锥底面的平面 去截圆锥,底面与 截面之间的部分是 圆台. 圆锥
圆柱、圆锥可 以看作是由矩形或 三角形绕其一边旋 转而成,圆台是否 也可看成是某图形 绕轴旋转而成?

圆台
O1 O O1 O

2、圆台的表示:用表示它的轴的字 母表示,如圆台OO1
3、圆台与棱台统称为台体。
O1
上底面


侧面

母线

O

下底面

知识探究(七):球的结构特征

思考1:现实生活中有哪些物体是球状几 何体?
NBA

思考2:从旋转的角度分析,球是由什么 图形绕哪条直线旋转而成的?

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆 面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简 称球.

思考3:半圆的圆心、半径、直径,在球 体中分别叫做球的球心、球的半径、球 的直径,球的外表面叫做球面.那么球的 半径还可怎样理解?
半径

球面上的点到 球心的距离
直径

O

球心

思考4:用一个平面去截一个球,截面是 什么图形?
用一个截面去截 一个球,截面是圆 面。
O

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。

球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。

思考5:设球的半径为R,截面圆半径为r, 球心与截面圆圆心的距离为d,则R、r、 d三者之间的关系如何?

R ?r ?d
2 2

2

R

O d

P

r Oˊ

例 已知球的半径为10cm,一个截 面圆的面积是36? cm2,则球心到截面圆 圆心的距离是 8cm .

R P

O d

r Oˊ

几何体的分类

柱体

锥体

台体



多面体

旋转体

简单几何体的结构特征

柱体

锥体
棱锥 圆锥

台体 棱台 圆台



棱柱 圆柱

多面体

旋转体

一、简单组合体的定义
由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体。

二、简单组合体的构成的两种基本形式 1、由简单几何体拼接而成。

2、由简单几何体截去或挖去一部分而成。

简单组合体的结构特征
日常生活中我们常用到的日用品,比如:消毒液、 暖瓶、洗洁精瓶等的主要几何结构特征是什么? 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体.认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系.
圆柱 圆台

圆柱

简单组合体的结构特征
走在街上会看到一些物体,它们的主要几何结构特 征是什么?

简单组合体的结构特征
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特 征呢?、、

简单组合体的结构特征
蒙古大草原上遍布蒙古包,那么蒙古包的主要几 何结构特征是什么?

简单组合体的结构特征
居民的住宅又有什么主要几何结构特征?

简单组合体的结构特征
下图是著名的中央电视塔和天坛,你能说说它们的 主要几何结构特征吗?
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而 成的吗?

生活与数学
数学在生活中无处不在,培养在生活中不断的用 数学的眼光看问题,会逐渐激发学数学的兴趣,增强 数学地分析问题、解决问题的能力.



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