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高考数学中档解答题强化训练教师卷4


中档解答题强化训练(四)
1.若函数 f ( x) ? sin 2 ax ? 3sin ax cos ax(a ? 0) 的图象与直线 y ? m 相切,相邻切点之 间的距离为

? 。 2 (Ⅰ)求 m 的值;
(Ⅱ)若点 A( x0 , y0 ) 是 y ? f ( x) 图象的对称中心,且 x0 ? [0,

?
2

] ,求点 A 的坐标。

解:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2 ax ? 3sin ax cos ax

?

1 ? cos 2ax 3 ? 1 ? sin 2ax ? ? sin(2ax ? ) ? , 2 2 6 2

……………3 分

由题意知, m 为 f ( x ) 的最大值或最小值,所以 m ? ? (Ⅱ)由题设知,函数 f ( x ) 的周期为

?
2

1 3 或m ? 2 2

……………6 分

,? a ? 2

………………8 分

? 1 ? ? ? f ( x) ? ? sin(4 x ? ) ? 令 sin(4 x ? ) ? 0 ,得 4 x ? ? k? (k ? Z) 6 2 6 6 k? ? k? ? ? ?x ? ? (k ? Z) ,由 0 ? ? ? (k ? Z) ,得 k ? 1 或 k ? 2 4 24 4 24 2 5? 1 11? 1 , ) 或( , ) ………………………12 分 因此点 A 的坐标为 ( 24 2 24 2
2.已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? t, cos x) , n ? (1,2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n .

? 1 (Ⅰ)若 cos( 2 x ? ) ? ,且 m ? n ,求实数 t 的值; 3 2
(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? 3, b ? 1 ,且 ?ABC 的面积 为
3 ,实数 t ? 1 ,求边长 a 的值. 2

解: (Ⅰ)由题意得 m ? n ? ( 3 sin 2 x ? t ) ? 2 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) ? t ? 1 ? 0 …………3 分 6

?

? ? 所以 t ? ?2 sin( 2 x ? ) ? 1 ? ?2 cos( 2 x ? ) ? 1 ? ?2 …………………6 分 6 3 ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? t ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 6 6 ? 由题意得 f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 2 ? 3 6 ? 1 所以 sin( 2 A ? ) ? …………………8 分 6 2

? ? 13? ? 5? 因为 0 ? A ? ?, ? 2 A ? ? ,所以 2 A ? ? 6 6 6 6 6 ? 解得 A ? 3
因为 ?ABC 的面积为
3 1 3 ,所以 bc sin A ? , bc ? 2 即 c ? 2 …………10 分 2 2 2

由余弦定理得 a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?

1 ? 3 …………12 分 2

3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 (a ?1)Sn ? a(an ?1)(a ? 0)(n ? N* ) 。 (Ⅰ)求证数列 {an } 是等比数列,并求 an ; (Ⅱ)已知集合 A ? {x | x2 ? a ? (a ? 1) x}, 问是否存在实数 a ,使得对于任意的 n ? N * , 都有 Sn ? A ?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由。 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, ? (a ?1)S1 ? a(a1 ?1),? a1 ? a(a ? 0) …………………1 分

n ? 2 时,由 (a ?1)Sn ? a(an ?1)(a ? 0), 得 (a ?1)Sn?1 ? a(an?1 ?1)

?(a ?1)an ? a(an ? an?1 ) ,变形得:

an ? a(n ? 2) ………………………4 分 an?1

故 {an } 是以 a1 ? a 为首项,公比为 a 的等比数列,?an ? an …………………6 分 (Ⅱ)(1)当 a ? 1 时, A ? {1}, Sn ? n, 只有 n ? 1 时 Sn ? A,

? a ? 1 不适合题意

………………………………7 分

(2) a ? 1 时, A ? {x | 1 ? x ? a}, S2 ? a ? a2 ? a,? S2 ? A, 即当 a ? 1 时,不存在满足条件的实数 a ……………………………………9 分 (3)当 0 ? a ? 1 时, A ? {x | a ? x ? 1} 而 Sn ? a ? a ? ? ? a ?
2 n

a a (1 ? a n ) ? [a, ) 1? a 1? a
1 解得 0 ? a ? …………………11 分 a ? 1, 2 1? a
…………………………12 分

0 ? a ? 1,

因此对任意的 n ? N , 要使 Sn ? A, 只需
*

综上得实数 a 的范围是 (0, ]

1 2

3 2 4.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4(a ? R), f ' ( x) 是 f (x) 的导函数。

(1)当 a=2 时,对于任意的 m ? [?1,1], n ? [?1,1], 求f (m) ? f ' (n) 的最小值; (2)若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0, 求 a 的取值范围。 解: (1)由题意知 f ( x) ? ? x 3 ? 2x 2 ? 4, f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4 x. 令 f ' ( x ) ? 0, 得x ? 0或 . 当 x 在[-1,1]上变化时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表: x -1 -7 -1 (-1,0) ↓ 0 0 -4 (0,1) + ↑ 1 1 -3

4 3

f ' ( x)
f (x)

?对于m ? [?1,1], f (m) 的最小值为 f (0) ? ?4,

? f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4x 的对称轴为 x ?

2 , 且抛物线开口向下 2

?对于n ? [?1,1], f ' (n) 的最小值为 f ' (?1) ? ?7.
? f (m) ? f ' (n) 的最小值为-11。
(2)? f ' ( x) ? ?3 x( x ? …………6 分

2a ) 3

①若 a ? 0,当x ? 0时, f ' ( x) ? 0

? f ( x)在?0,??? 上单调递减,
又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ? 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0.
②若 a ? 0, 则当0 ? x ? 当x ?

2a 时, f ' ( x) ? 0, 3

2a 时, f ' ( x) ? 0. 3

从而 f ( x)在? 0, ? 上单调递增,在 ? ,?? ? 上单调递减, ? 3? ?3 ?

?

2?

? 2a

?

?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 2 )?? ? ? 4. 3 27 9

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0,即a 3 ? 27, 解得a ? 3. 27
…………12 分

综上,a 的取值范围是 (3,??).


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