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空间几何体的三视图和直观图



小题快做
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体 是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体 是棱锥.( ) (3)侧棱垂直于底面的棱柱是正棱柱。() (4)底面是六五边形的六棱锥是正棱锥。() (5)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱.( ) (6)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆 柱.( )

在不透明

物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影.其 中,光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面.

投射线可自一点发出,也可是一束与投影面成一定角度的 平行线,这样就使投影法分为中心投影和平行投影

光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.其投影 线交于一点(投影中心).

在中心投影中,如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置,则其投影的大小也随之改变.

从图中可以看出,空间 图形经过中心投影后,直线 变成直线,但平行线可能变 成了相交的直线.

中心投影后的图形与原图 形相比,虽然改变很多,但直 观性强,看起来与人的视觉效 果一致,最象原来的物体.所 以在绘画时,经常使用这种方 法,但在立体几何中很少用中 心投影原理来画图.

如果将投影中心移到无穷远处,则所有的投影线都相互平 行,这种投射线为平行线时的投影称为平行投影. 正投影:投 射线垂直于 投影面 斜投影:投 射线倾斜于 投影面

正投影能正确的表达物体的真实形状和大小,作图比较方 便,在作图中应用最广泛. 斜投影在实际中用的比较少,其特点是直观性强,但作图 比较麻烦,也不能反映物体的真实形状,在作图中只是作为一 种辅助图样.

三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果

S

投 射 方 向

物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的,则 为平行投影,如果聚于一点,则为中心投影.

平行光线

? ? ? ? ? ? ?

?

皮影戏表演

手影表演

中心投影:投射线交于一点 投影的分类 斜投影 平行投影 投射线平行 正投影(本节主要学习利用正投影绘制 空间图形的三视图,并能根据所给的三 视图了解该空间图形的基本特征)

猜 猜 他 们 是 什 么 关 系 ?

看 事 物 不 能 只 看 单 方 面

图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的研究可 以了解空间图形的一些性质和特征.
三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但三 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图.一般 采用中心投影或平行投影.

在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但 斜的平行线则会相交,交点称为消点.

中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较复 杂,又不易度量.
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图, 这种画法叫斜二测画法. 投影规律 1.平行性不变,但形状、长度、 夹角会改变; 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变; 3.在太阳光下,平行于地面的 直线在地面上的投影长不变.

例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,对称轴MN 所在直线为Y轴,两轴交于点O.画对应的 X ' , Y ' 轴,两轴相交 于点 O ' ,使 ?X ' OY ' ? 45?
y
F A

M

E D
x

y'
O

O

x'

B

N C

注意:(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置.

1 (2)以O 为中心,在 x 上取 A D ? AD ,在 y 轴上取 M N ? 2 MN ' '为中心,画 B'C ' ? x ' 轴,并等于 BC ,再以 M 为中心,画 以点 N
' '

'

'

'

'

E ' F ' ? x' 轴,并等于 EF
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

注意:水平放置的线段长不变,铅垂放置的线段长变为原 来的一半.

(3)连结 A' B' , C ' D' , E ' F ' , F ' A' , 并擦去辅助线x’轴和y’轴,便获得 ' ' ' ' ' ' 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A B C D E F
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

~请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~

斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点. 画直观图时,把它画成对应的x’轴、y’轴,两轴交于O’,使 ?x'Oy' ? 45? (或135? ) ,它们确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不 变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

关于水平放置的圆的直观图的画法,常用正等测画 法.在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版.

例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方 体的直观图(课堂作业)

联想水平放置的平 面图形的画法,并注意 到高的处理

三视图从细节上刻画了空间几何体的 结构,根据三视图,我们可以得到一个精 确的空间几何体,正是因为这个特点,使 它在生产活动中得到广泛应用(比如零件 图纸、建筑图纸等).直观图是对空间几何 体的整体刻画,我们可以根据直观图的 结构想象实物的形象.

把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面 图形.视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌,因此我们需 要从多个角度进行投影. (1)光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图 叫做几何体的正(主)视图. (2)光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图 叫做几何体侧(左)视图. (3)光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图 叫做几何体的俯视图.

三 视 图

根据长方体的模型,请您画出它们的三视图,并 观察三种图形之间的关系. 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样,俯视图和正 视图的的长度一样,侧视图和俯视图的宽度一样.
高平齐
正视图 正视图 侧 视 图

? 侧视图
高度

长对正?

长度

宽相等
宽度

俯视图

俯视图

如何作出空间几何体的三视图?
(1)分析从几何体的正前方、正左方、正上方 所看到的正投影图; (2)按照“长对正、高平齐、宽相等”作出对 应的三视图; (正视图和俯视图一样长,正视图和侧视图一样 高,俯视图和侧视图一样宽) (3)作图时能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的用虚线表示.

请你画出圆柱的三视图 俯

正视图

侧视图



俯视图

圆柱

请你画出圆锥的三视图(课堂作业)





请你画出圆台的三视图(课 堂作业) 俯



请你画出六棱柱的三视图



正视图

侧视图



俯视图

请你画出六棱锥的三视图





请你画出四棱台的三视图 (课堂作业) 俯



请你画出球的三视图



主视图

左视图



俯视图

三通水管

图1

课堂作业

图画 出 如 图 所 示 的 三 视

如果要做一个水管的三叉接头,工人事先看到的不是图1, 而是图2,然后根据这三个图形制造出水管接头.

练8.画出下面这个组合图形的三视图.

正视图

侧视图

俯视图

遮挡住看不见的线用虚线

例1.由5个相同的小立方块搭成的几何体如图所 示,请画出它的三视图:
主视图
高 平 齐 长对正 宽相等

左视图

俯视图

例2.请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型. 圆锥

圆台

冰淇淋

练9.画出下面马蹄形磁铁的三视图.




练10.从三个方向看下图,试作出其三视图 (课堂作业).

从上面

从侧面

从正面看

例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图

Z ·
O?

y?

· O? · O
正视图

· O? · O
侧视图

y

x?

O

x

·
俯视图

三视图从细节上刻画了空间几何体的 结构,根据三视图,我们可以得到一个精 确的空间几何体,正是因为这个特点,使 它在生产活动中得到广泛应用(比如零件 图纸、建筑图纸等).直观图是对空间几何 体的整体刻画,我们可以根据直观图的 结构想象实物的形象.

1. 已知正三角形 ABC的边长为 a, 那么△ ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为( ) D
A.
3 4

a2

B.

3 8

A2

C.

6 8

a2

D.

6 16

a2

如图,图①、图②所示的分别是实 际图形和直观图.

从图②可知,A′B′=AB=a, O′C′=
1 OC = 2
3 a, 4

所以C′D′=O′C′sin45°=

a,

所以S△A′B′C′= 故选D.

1 A2′B′·C′D′ =1 · a· 6 a= 6 2 8 16

6 8

a2,

2. 某几何体的直观图如图所示 , 该几何体的主(正)视图和左(侧) 视图都正确的是( B )
A. C. B. D.

主视图应有一条实对角线 , 且对角线 应向上到下,左视时,看到一个矩形,且不能有 实对角线,故淘汰A、D,故选B.

中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状

?

三视图

视图 直观图

长对正、高平齐、宽相等 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体

斜二测画法

可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象



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