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甘肃省兰州一中2013届高三9月月考数学(文)试题



兰州一中 2012-2013 学年度高三第一次月考 数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?2,3, 4? , B ? ?2,5? ,则 B ? (CU A) =( A. ?5? )
<

br />2 5? B. ?1,,
? ?

2 3 4 5? C. ?1,,,,
? ?

D. ?

2.已知向量 a ? (3, 2) , b ? (2, n) ,若 a与b 垂直,则 n ? ( A.-3 B.-2 C.2

) D.3

3.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. ( ,1)

2 的零点所在的区间是( x
C. (e ? 1,2)

) D. (2, e) )

1 2

B. (1, e ? 1)

4.函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数( A. [?

? ?

, ] 4 4

B. [

? 3?
4 , 4

]

C. [0,

?
2

]

D. [

?
2

,? ]

5. “非空集合 M 不是 P 的子集”的充要条件是( ) A. ?x ? M , x ? P B. ?x ? P, x ? M C. ?x1 ? M , x1 ? P 又 ?x2 ? M , x2 ? P D. ?x0 ? M , x0 ? P 6. 已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可能为

x ? ? ) 2 3 x ? C.f(x)=2sin( ? ) 2 6
A.f(x)=2cos( 7. 已 知 命 题 p : $ m ? R , sin m

B.f(x)= 2 cos( 4 x ? D.f(x)=2sin( 4 x ?

?
4



?
4



5 2 , 命 题 q : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 恒 成 立 . 若 3
) D. ? 2 ? m ? 2

p ? q 为假命题,则实数 m 的取值范围为(
A. m ? 2 B. m ? ?2 C. m ? ?2或m ? 2

1

8.已知函数 f ( x) ? ?

?a x ( x ? 0) ?(a ? 3) x ? 4a ( x ? 0)

满足对任意 x1 ? x2 ,都有

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 成立,则 a 的取值范围为(
A. (0, ] 9.若函数 y ? ( ) A. m ? ?1
2



1 4

B.(0,1)

C. [ ,1)

1 4

D.(0,3)

1 2

|1? x|

? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(
C. m ? 1



B. ?1 ? m ? 0

D. 0 ? m ? 1 )

10.方程 cos x ? 2cos x ? a ? 0 在 x ? R 上有解,则 a 的取值范围是( A. ?? 1,3?
0.5

B. [?1,3]

C. ?? 1,?? ?

D. (?1,??) )

11.若 a ? 2 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin A. a ? b ? c B. b ? a ? c
3

2π ,则( 5

C. c ? a ? b D. b ? c ? a

12.若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? 围是( A. [ ,1) ) B. ( ,?? )

1 ,0) 内单调递增,则 a 的取值范 2 9 4

1 4

9 4

C. [ ,1)

3 4

D. (1, )

二、填空题(每小题 5,共 20 分)
? 1 3

13.计算: (0.027 )

1 7 ? (? ) ? 2 ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1) 0 = 7 9

1

.

14. 设定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(1-x),若 f(3)=2,则 f(2013) =____. 15.设函数 f (x) 的定义域为 D ,令 M = {k | f ( x) Nk 恒成立, x

D} ,

N = {k | f ( x) 澄k 恒成立, x
4 挝M , 2 N ,则 a 的范围是

D} ,已知 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? a ,其中 x ? [0,2] ,若 3 2
.

16.关于函数 f ( x) ? lg

x2 ? 1 ( x ? 0) ,有下列命题: | x|

①其图象关于 y 轴对称; ②当 x ? 0 时, f (x) 是增函数;当 x ? 0 时, f (x) 是减函数;
2

③ f (x) 的最小值是 lg 2 ; ④ f (x) 在区 间(-1,0)(2,+∞)上是增函数; 、 ⑤ f (x) 无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. (本题满分 10 分) (1)已知 sin x ? cos x ? ,x ? (0,π ) ,求 tan x 的值. (2)已知0 ? ? ? .

?

1 5

3 5 ? ? ? ?, ? ? , ? ? ? ) ? ,求 sin ?和 cos ?的值。 cos sin( 2 5 13

18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值以及在 x=3 处的切线方程; (2)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. 3]
2

19.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 , x ? R. 2

(1) 求函数 f(x)的单调区间和最小正周期; (2) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a, b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin( A ? C ) ? 2sin A, 求

a, b 的值.

3

20.(本小题满分 12 分) 已知集合 A={x∣x -3(a+1)x+2(3a+1)<0},B= ? x (1)当 a=2 时,求 A∩B; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.
2

?

? x-2a ? 0? , 2 ? x-(a ? 1) ?

21.(本小题满分 12 分) 函数 f(x)=loga(x2-4ax+3a2), 0<a<1, 当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)|≤1,试确定 a 的取值范 围.

22. (本小题满分 12 分)
2 已知 f ( x) ? ax ? 2 ln x , x ? (0 , e] , 其中 e 是自然对数的底 .

(1)若 f (x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;

(2)求 f (x ) 的单调区间; (3)设 a ?

1 x , g ( x) ? ?5 ? ln ,存在 x1 , x2 ? (0 , e] ,使得 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 9 成立, a 求 a e2 的取值范围.

4

兰州一中 2012-2013 学年度高三第一次月考 数学试卷(文科)答案

18. (1) a = - 3, b = 4 , 切线
y = 1 2x - 2 7+ c 8

??????3 分 ??????6 分

2 2 (2) c > f (x ) 恒成立, c > f (x )max

2 由(1)知 f (x )max = f (3) = 9 + 8c ,即有 c > 9 + 8c

??????10 分 ??????12 分

得到

c < - 1或c > 9

20.(本小题满分 12 分) 解: (1)当 a=2 时,A=(2,7)B=(4,5)∴ A ? B ? (4,5) ?????3 分 (2)∵B=(2a,a2+1),
1 ①当 a< 时,A=(3a+1,2) 3
5

要使 B ? A 必须

?2a ? 3a ? 1 此时a ? ?1, ? 2 ? a ?1 ? 2

1 ② 当a ? 时A ? ?, 使B ? A的a不存在. 3
? 2a ? 2 1 此时1 ? a ? 3 . ③a> 时,A=(2,3a+1)要使 B ? A ,必须 ? 2 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的范围为[1,3]∪{-1}. ??????12 分 21.解:f(x)=loga(x2-4ax+3a2)= loga(x-3a)(x-a) ∵|f(x)|≤1 恒成立, ∴ ∵ -1≤loga(x-3a)(x-a)≤1 0<a<1.
1 对 x∈[a+2,a+3]恒成立. a

??????2 分

∴a≤(x-3a)(x-a)≤

??????5 分

令 h(x)= (x-3a)(x-a ), 其对称轴 x=2a. 又 2a<2, 2<a+2, ?????8 分

∴当 x∈[a+2,a+3]时,h(x)min=h(a+2),h(x)max=h(a+3).
?a ? h( x) min , ?a ? 4 ? 4 a , ? ? ? ?1 ∴ ?1 ? a ? h( x) max , ? a ? 9 ? 6a, ? ?
?0?a? 9 ? 57 . 12

??????12 分

6

综上所述,当 a ? 当a ?

1 时, f ( x) 的减区间是 (0 , e] , e2

a a 1 时, f ( x) 的减区间是 (0 , ) , 增区间是 ( , e] . a a e2 a 1 时,由(Ⅱ)知 f ( x) 的最小值是 f ( ) ? 1 ? ln a ; 2 a e

??? 7 分

(III)当 a ?

易知 g ( x) 在 (0 , e] 上的最大值是 g (e) ? ?4 ? ln a ; 注意到 (1 ? ln a) ? (?4 ? ln a) ? 5 ? 2ln a ? 0 ,
?(1 ? ln a) ? (?4 ? ln a) ? 9 , 故由题设知 ? 1 ? ?a ? e 2 . ?

解得

1 1 ? a ? e2 .故 a 的取值范围是 ( 2 , e 2 ) . 2 e e

??? 12 分

7



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