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极坐标与参数方程知识点总结与经典例题分析



极坐标与参数方程
一、 知识总结 1、 极坐标 ★极坐标与直角坐标的转化

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? ( x ? 0) x ?

★圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) : ⑴? ?

a ⑵ ? ? 2a cos? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )

⑷ ? ? 2a sin ? ⑸ ? ? ?2a sin ?

★直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴ ? ? ? 0 ⑵ ? cos? ? a ⑶ ? cos ? ? ?a ⑷ ? sin ? ? a ⑸ ? sin ? ? ?a ⑹ ? cos(? ? ? ) ? a 2、参数方程 ★圆的参数方程圆心为 (a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,

? x ? a ? r cos ? 它的参数方程为: ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
★椭圆的参数方程以坐标原点 O 为中心,椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1,
2 2

? x ? a cos ? 其参数方程为 ? (?为参数) 。 ? y ? b sin ?
★直线的参数方程经过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? (? ?

?
2

) 的直线 l 的普通方程是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ),

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) 。 参数方程为 ? ? y ? y0 ? t sin ?
注 : 直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方 程 为

? x ? x0 ? tcos? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段 ? y ? y ? t sin ? 0 ? ?????? ? M0 M 的数量,当点 M 在 M 0 上方, t >0;当点 M 在 M 0 下方, t <0;当点 M 与 M 0 重合时, t =0。
其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量, 又称为点 P 与点 M 间的有向距离.根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 . 设 A 、 B 是 直 线 上 任 意 两 点 , 它 们 对 应 的 参 数 分 别 为 tA 和 tB , 则 AB = t B ?t A = ○
(t B ? t A )2 ? 4t A ? t B .

2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ○ 二、 典型例题 ★坐标变换

t A ? tB . 2

? x ? 4 cos? ? 1、平面直角坐标系中,将曲线 ? y ? sin ? ( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变为原来的
一半,然后整个图象向右平移 1 个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 .以 坐标原点为极点,x 的非负半轴为极轴, 建立的极坐标中的曲线 C 2 的方程为 ? ? 4 sin ? , 求 C1 和 C 2 公 共弦的长度.

? ? x ? 3t ? 1, ? x ? 2cos ?, 26.已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? (t 为参数) . ? y ? 2sin ? ? ? y ? 3t
(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍,分别得到曲线 C1?,C2? .写出 C1?,C2? 的参数 方程. C1? 与 C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由.

★极坐标的相关题型
x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) 1、已知曲线 C1 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? ? y ? 5 ? 5sin t ,

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

2 2、 ( 2012 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程

★参数方程与普通方程相结合——线性型参数
4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 (t为参数) 1、 、求直线 ? 被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长。 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

? ? 2、在极坐标系中,以点 C (2, ) 为圆心,半径为 3 的圆 C 与直线 l : ? ? ( ? ? R ) 交于 A, B 两点.(1) 2 3
求圆 C 及直线 l 的普通方程.(2)求弦长 AB .

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 l 3、在直角坐标系 xOy 中,直线 的参数方程为 ? ( t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2

xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为ρ =2 5 sinθ .
(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5 ),求 PA ? PB 与 PA ? PB .

4、已知直线 l 的参数方程是 ? ?

?

2 t ,圆 2 (t是参数) ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ? x?

C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) .
4

?

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

5、 在直角坐标系 xOy 中, 过点

P(

3 3 , ) 2 2 2 2 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x ? y ? 1相交于不同的两点

M , N .(Ⅰ) 写出直线 l 的参数方程;

(Ⅱ) 求

1 1 ? PM PN

的取值范围.

★参数方程与普通方程相结合——三角型参数

? x ? 3cos ? 1、已知曲线 C : ? ,直线 l : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 12 . ? y ? 2sin ?
⑴将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程;⑵设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 距离的最小值.

? 2 2、设点 M , N 分别是曲线 ? ? 2sin ? ? 0 和 ? sin(? ? ) ? 上的动点, 4 2
求动点 M , N 间的最小距离.

13.已知 A 是曲线 ρ=3cosθ 上任意一点,求点 A 到直线 ρcosθ =1 距离的最大值和最小值。

? x ? 4cos ? 11.在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ? (?为参数) .以坐标原点为极点, x 轴的正半 ? y ? 3sin ?
轴为极轴的极坐标系中.曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 5 2 . 4 (1)分别把曲线 C1与C2 化成普通方程和直角坐标方程;并说明它们分别表示什么曲线. (2)在曲线 C1 上求一点 Q ,使点 Q 到曲线 C2 的距离最小,并求出最小距离.

?

22.设椭圆 E 的普通方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(1)设 y ? sin ? ,? 为参数,求椭圆 E 的参数方程;(2)点 P ? x, y ? 是椭圆 E 上的动点,求 x ? 3 y 的取值范围.

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 2 cos ? , 33.已知曲线 C 1 : ? (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? ?3 ? sin t , ? y ? 4sin ? ,
(Ⅰ)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (II)若 C 1 上的点 P 对应的参数为
t?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : 2 x ? y ? 7 ? 0 (t 为参数)距离的最大值。 2



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