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陕西省西安市昆仑中学2014届高三一轮复习讲义数学(理科)第14课时:指数式与对数式



课题:指数式与对数式
考纲要求: 1. 理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质; 2. 理解对数的概念,掌握对数的运算性质. 教材复习
1. n 次方根的定义及性质: n 为奇数时, n an ? , n 为偶数时, n an ? . 1 2. 分数指数幂与根式的互化: n am ? , ( a ? 0 , m, n ? N * ,且 n ? 1 ? n am 零的正分数指数幂为 0 , 0 的负分数指数幂没有意义.

3. 指数的运算性质: a r a s ?

, ? ab ? ?
r

(其中 a, b ? 0 , r , s ? R )

4. 指数式与对数式的互化: ab ? N ?

? al o gN ?
a

, loga a N ?

.

5. 对数的运算法则:如果 a ? 0, a ? 1, N ? 0, M ? 0 有

log a (MN ) ?

; ;

log a

M ? N



loga M n ?

loga n M ?

6. 换底公式及换底性质:

?1?

log a N ?

( a ? 0 , a ? 1 , m ? 0 , m ? 1, N ? 0 )

王新敞
奎屯

新疆

? 2 ? loga b ? ?1? a f ( x ) ? b ? ? 2? a f ( x) ? a g ( x) ? ? 3? a f ( x ) ? b g ( x ) ? ? 4 ? loga

, ? 3? loga b ? logb c ?
; loga f ( x) ? b ?



? 4 ? loga

n

bm ?

7. 指数方程和对数方程主要有以下几种类型:
(定义法) (同底法)

; loga f ( x) ? loga g ( x) ? (两边取对数法) (换底法)

f ( x) ? logb g ( x) ? loga f ( x) ?
2

x ? 5? A log2 a x ? B loga x ? C ? 0( A ? a ?

x ? Ba x ? C ? 0 ) (设 t ? loga x 或 t ? a ) (换元法)

基本知识方法 1. 重视指数式与对数式的互化; 2. 根式运算时,常转化为分数指数幂,再按幂的运算法则运算; 3. 不同底的对数运算问题,应化为同底对数式进行运算; 4. 运用指数、对数的运算公式解题时,要注意公式成立的前提. 5. 指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.

典例分析:
题型一:指数式的化简与求值

问题 1.计算: ?1?

( 2013 浙江)已知 x, y 为正实数,则

A. 2lg x ?lg y ? 2lg x ? 2lgy C. 2lg x lg y ? 2lg x ? 2lgy

B. 2lg? x? y ? ? 2lg x 2lgy D. 2lg? x
y?

? 2lg x 2lgy

? 2?

a ? 4 b 2 ? 3 ab 2 (a ? 0, b ? 0) ;

? 3?

?1? ? ? ? ?4?

?

1 2

?
? 0.1?

4ab ?1
?2

?

3

?a b ?

1 3 ?3 2



? 4 ? ( 08 重庆)若 x ? 0 ,则 (2 x 4 ? 32 )(2 x 4 ? 32 ) ? 4 x

1

3

1

3

?

1 2

1 ? ? 2 x ? x ? ?? ? ?



? 5? 已知 x

1 2

?x

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值.

?3

题型二:对数式的化简与求值 ?1? ( 2013 陕西文)设 a, b, c 均为不等于1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 A. loga b logc b ? logc a B. loga b logc a ? logc b C. loga ?bc ? ? loga b loga c D. loga ?b ? c ? ? loga b ? loga c

? 2?

( 2010 四川) 2log5 10 ? log5 0.25 ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

? 3? ( 07 湖南文)若 a ? 0 , a 3 ? ? 4?
log 3 8 log 27 4 ?
A. 3

2

4 ,则 log 2 a ? 9 3

B. 4

C. 6

D. 9

? 5? (lg 2)2 ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ;

4 a?3 ? 6 ? 已知 loga x ? m, loga y ? n ,求 log a ? ?

? ?

x 4 y

? ?; ? ?

题型三:解指数、对数方程
a b 问题 3. ( 2010 辽宁文)设 2 ? 5 ? m ,且

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
D. 100

A. 10

B. 10

C. 20

问题 4. ?1? ( 2013 上海春)方程 2x ? 8 的解是

? 2 ? ( 2012 上海)方程 4x ? 2x?1 ? 3 ? 0 的解是

? 3? ( 02 上海)方程 log3 ?1 ? 2 ? 3x ? ? 2 x ? 1 的解 x ?

? 4 ? ( 06 辽宁文)方程 log2 ( x ?1) ? 2 ? log2 ( x ? 1) 的解为

题型四:指数、对数综合问题 问题 5.设 x ? 1 , y ? 1,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x2 ? 4 y 2 的最小值.

课后作业:
1. 设 a ? 0 ,则 a ? 3 a 2 ? a ?

A. 12 a11

B. 12 a7

C . 6 a5

D. 6 a7

2. ( 2011 蚌埠模拟)若 a ? 1 , b ? 0 ,且 ab ? a?b ? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值为 A.

6

B. 2 或 ?2

C. ?2

D. 2

3. 若

? a ? b?
a?b

2

? 3 ? a ? b ? ? 2b ,则有
3

A.

B.

a?b

C.

a?b

D.

a?b

1 2 4. 设 x ? ? ,则 4 ?1 ? 2 x ? ? 2 A. 1 ? 2x B. ?1 ? 2x

C.

1 ? 2x

D.

2 x ?1

5. 已知 f ( x3 ) ? log2 x ,则 f (8) ? 6. 5
log5 3

A. 1

B. 2

C. 8

D. 12 D. 3 ? 3

?2

log

2

3

的值为

A. 2

B. 2 3

C. 3 ? 9

7. 化简 lg 2 ? lg 5 ? log3 1 的结果是

A. 10

B. 2

C. 1

D.

1 2

8. 化简 log3 4 ? log4 5 ? log5 8 ? log8 9 的结果是

A. 1

B.

3 2

C. 2

D. 3

9. 已知 2lg ? x ? 2 y ? ? lg x ? lg y ,则

x 1 的值为 A. 1 B. 4 C. 1 或 4 D. 或 4 4 y

10. 设 5lg x ? 25 ,则 x 的值是

A. 0.01

B. 10

C. 100

D. 1000

11. 若 32 x ? 9 ? 10 ? 3x ,那么 x 2 ? 1的值为

A. 1

B. 2 C. 5 D. 1 或 5

12. 如果方程 lg2 x ? ? lg7 ? lg5? ? lg x ? lg7 ? lg5 ? 0 的两根为 ? 、 ? ,则 ?? 的值是
A. lg 7 ? lg 5 B. lg 35 C. 35 D.
1 35

?1 ?1 13. 设 x ? (log1 ) ? (log1 ) ,则 x 属于区间 2 5

1 3

1 3

A. ? ?2, ?1?

B. ?1, 2 ?

C. ? ?3 ,? 2 ?

D.

? 2,3?

14. 若 x log3 2 ? 1 ,则 4 x ? 4? x ?

15. 方程 10x ?lg 2 ? 2000 的根为 x ?

16. 若 log 3 2 ? a , log12 3 ?

17. 已知: x

?

2 3

? 4 ,则 x ?

;若 log 2 x ?

1 ,则 x ? 3

? 81 ? 3 ? 2 ? 3 18. 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ?9?

2 3

?

1

1

1 1 19. 若 3x ? 12 y ? 8 ,则 ? ? x y
20. 已知 a 2 ? a
1 ? 1 2

? 3 ,求下列各式的值: ?1? a ? a ?1

? 2 ? a2 ? a?2

21. 求值或化简: ?1? log2

7 1 ? log2 12 ? log2 42 ? 1= 48 2

( 2) lg

2 4 2 ? lg 8 3 ? lg 7 5 ? 7

22. 方程 lg x 2 ? 2 ? lg x ? lg 3的解是

?

?

1

23. 求 253

log5 27 ? 2log5 2

的值.

24. 若 x log 3 4 ? 1 ,求

23 x ? 2?3 x 的值; 2 x ? 2? x

25. 设 log18 9 ? a,18b ? 5, ,求 log36 45 .

走向高考:
1. ( 2009 湖南文) log2 2 的值为

A. ? 2

B.

2

C. ?

1 2

D.

1 2

2. ( 2012 安徽 文) ? log2 9? ? log3 4? ?

A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

1 3. ( 2010 上海)若 x0 是方程 ( ) x ? x 3 的解,则 x0 属于区间 2

1

?2 ? A. ? ,1? ?3 ?

?1 2? B. ? , ? . ?2 3?

?1 1? C. ? , ? ?3 2?

? 1? D. ? 0, ? ? 3?

4. ( 2012 北京)已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 , f (a 2 ) ? f (b2 ) ?

5. ( 07 上海文)方程 3 x ?1 ?

1 的解是 9

6. ( 04 全国Ⅲ文)解方程 4 x ? 2 x ? 2 ? 12 ? 0

7. ( 07 上海)方程 9 x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是

8. ( 2013 上海)方程

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为 3 ?1 3
x

9. ( 04 北京)方程 lg ? 4 x ? 2 ? ? lg 2 x ? lg 3 的解是

10. ( 06 上海文)方程 log3 ( x2 ?10) ? 1 ? log3 x 的解是

?1? 11. ( 07 上海春)若 x1 、 x2 为方程 2 ? ? ? ?2?
x

1 ? ?1 x

的两个实数解,则 x1 ? x2 ?



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