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同角三角函数的基本关系(知一求二)


——知一求二问题

sin ?、 cos ?、 tan ?
称为平方关系

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

称为商数关系

这三个知道其中一个,求另外两个的问题称为“知一求二” 问题

sin ?、 cos ?、 tan ?

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?
方程(组)思想

例1、已知 sin ? ?

4 ,且?是第二象限角,求角 ?的余弦值和正切值 5

解:

由sin2 ? ? cos2 ? ? 1得

先定象限,后定值

4 3 cos ? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 5 5

因 为?是 第 二 象 限 角 , cos? ? 0, 所 以

cos? ? ?
tan? ?

3 5

sin? 4 5 4 ? ( ) ? (? ) ? ? cos? 5 3 3

4 变式1 、已知 sin ? ? ,求 cos ? , tan ?的值 5 自我反思: 解: 由sin2 ? ? cos2 ? ? 1得
? sin ? ? 0 ? 角?是第一或第二象限角 当 ? 是第一象限角时, cos ? ? 0
? cos? ?


3 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5
2

解:由sin? ?

4 5 3 5

得 cos? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 得 tan? ? ?

sin? 4 ?? cos? 3 所得结果的符号由角所在象限决定

9 3 ? 25 5

先定象限,后定值
sin ? 4 5 4 ? ? ? cos ? 5 3 3

tan ? ?

?

cos ? 是第二象限角时,
9 3 ?? 25 5

?0
tan ? ? sin ? 4 5 4 ? ? (? ) ? ? cos ? 5 3 3

? cos? ? ?

变式2、已知tan? ? ? 3,求sin ? , cos?的值
解:? tan? ? sin?
cos?

sin ? 3 sin 2 ? ? ?? 3 4 cos ? 解得: { ?{ 2 1 cos2 ? ? sin ? ? cos2 ? ?1

? tan? ? 0 ? ?为 第 二 或 第 四 象 限 角 先定象限,后定值
当?为第二象限角时 3 3 ? , cos? ? ? 4 2 当?为第四象限角时 sin? ? sin? ? ? 3 3 ?? , cos? ? 4 2 1 1 ?? 4 2 1 1 ? 4 2

4

小结:(1)注意方程思想的运用; (2)分类讨论的数学思想.


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