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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式



§4.2

同角三角函数的基本关

系式及诱导公式

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.同角三角函数基本关系式
平方关系 商数关系 倒数关系
2α+cos2α=1 sin __________________

sin α tan α= cos α tan α· cot α=1

2.诱导公式 九组诱导公式列表如下:
函数 角 2kπ+ α π+ α -α π- α 2π- α π -α 2 π +α 2 3π -α 2 3π +α 2 正弦 余弦 cos α -cos α _________ cos α - cos α cos α 正切 tan α tan α - tan α -tan α __________ - tan α cot α

sin α _______ - sin α _________ -sin α sin α -sin α _________
cos α cos α - cos α

sin α ________
- sin α

- cot α ______
cot α - cot α

-sin α _________
sin α

-cos α _________

思考探究 1.同角三角函数基本关系式体现了怎样的转化关系?
提示:平方关系 sin2α+cos2α= 1 体现了同角的正弦、余弦之间 的转化,如 sin α= ± 1- cos2α, cos α= ± 1- sin2α. 商数关系体现了切与弦之间的转化,倒数关系体现了正、余切 之间的转化.

思考探究 2.结合诱导公式,判断角α+nπ(n∈Z)与角α的三角函数值的 关系是什么?
提示:由公式可以看出,α 与 α 加上 π 的偶数倍的所有三角函 数值相等;α 与 α 加上 π 的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数; α 与 α 加上 π 的整数倍的正切值相等,即 ? ?- sin α当 n为奇数 sin(α+ nπ)=? , ? ?sin α 当 n为偶数
? ?- cos α当 n为奇数 cos(α+ nπ)=? , ?cos α 当 n为偶数 ?

tan(α+ nπ)= tan α, n∈Z.

课前热身 1. (教材改编)若 tan α= 2,则下列各组正确的是(

)

? ? A.? 6 ? ?sin α= 3

3 cos α= 3

? ? B.? 6 ? ?sin α= 3

3 cos α=- 3

? ? C.? 2 sin α =- ? ? 2
答案:A

2 cos α=- 2

? ? D.? 6 sin α =- ? ? 3
3 cos α= 3

2. 1- sin2585° =( 2 A.- 2 3 C.- 2

) 2 B. 2 3 D. 2

答案:B

3. tan 600° 的值是( 3 3 3 3

)

A.-

B.

C.- 3

D. 3

答案:D

π 2π 4.若 sin( -α)=a,则 cos( -α)=______. 6 3

答案:-a
π? 1 ? 5.如果 cos α= ,且 α 是第四象限的角,那么 cos α+ 2 = 5 ? ? __________.

2 6 答案: 5

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 同角三角函数关系式及应用

对于同一个角的不同三角函数值之间的相互转化都可以考 虑基本关系式,主要是已知一个角的某一个三角函数值,求 这个角的其他五种三角函数值.

例1

1 (1)已知 sin α= ,且 α 为第二象限角, 3

求 tan α, cot α, sec α; 1 (2)已知 sin α= ,求 tan α; 3 (3)已知 sin α=m(m≠0,m≠ ± 1),求 tan α.

【思路分析】

1 (1) 由 sin α= , α为第二象限角 3

→ 求 cos α值 → 求 tan α的值 (2) 根据 sin α的值判断角 α所在的象限 → 分类求 cos α的值 → 求 tan α的值 (3) 由 sin α= m求 cos α的值 → 讨论 α所在象限 → 分别求 tan α的值

1 【解】 (1)sin α= , α 为第二象限角, 3 12 2 2 ∴ cos α=- 1-? ? =- , 3 3 sin α 2 1 ∴ tan α= =- , cot α= =-2 2, 4 cos α tan α 1 3 2 sec α= =- . 4 cos α 1 (2)∵ sin α= >0,∴ α 为第一或第二象限角. 3 2 2 2 2 当 α 为第一象限角时,cos α= 1- sin α= ,∴ tan α= ; 3 4 2 当 α 为第二象限角时,由(1)知 tan α=- . 4

(3)∵ sin α= m(m≠ 0, m≠ ± 1), ∴ cos α= ± 1- sin2α= ± 1- m2(当 α 为一、四象限角时取正 号,当 α 为二、三象限角时取负号), 所以当 α 为第一、四象限角时,tan α= m 1- m m 1- m
2 2



当 α 为第二、三象限角时, tan α=-

.

【思维总结】 对于这类问题是否要讨论,主要取决于平方关 系中的开方计算,如 sin α= ± 1-cos2α,要根据 sin α 的正 负.cos α= ± 1- sin2α,要根据 cos α 的正负.

考点 2

诱导公式及应用

k 诱导公式主要是形如角“ kπ±α(k ∈ Z)”或“ π±α(k ∈ Z)”的 2 各种三角函数值的变形.

3π sin? π-α?cos? 2π-α? tan?- α+ ? 2 例2 已知 f(α)= . cot?-α-π? sin?- π- α? (1)化简 f(α); 31 (2)若 α=- π,求 f(α)的值. 3

【思路分析】

先利用诱导公式逐项把已知式化简为最简形式,

再利用同角三角函数基本关系或诱导公式求值.

【解】

sin αcos αcot α (1)f(α)= =- cos α. ?-cot α? sin α

31π 31π 31π (2)f(- )=- cos(- )=- cos( ) 3 3 3 π π 1 =-cos(5× 2π+ )=- cos =- . 3 3 2

【思维总结】 化简变形时,通常先用诱导公式将三角函数式
的角统一后,再用同角三角函数关系式,这样可以避免公式交 错使用时导致的混乱.

跟踪训练
3π 1 1.在本例中,若 α 是第三象限角,且 cos(α- )= , 2 5 求 f(α)的值.
3π 解:∵ cos(α- )=- sin α, 2 1 12 2 ∴ sin α=- , cos α=- 1-?- ? =- 6. 5 5 5 2 ∴ f(α)= 6. 5

考点3 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 在三角函数的变换求值中,已知sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α(或cos α-sin α)中的一个,可利用方程的思想求出另

外两个的值.
其常用结论有:(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α.

例3 已知-π<x<0,sin x+cos x=1. 2 5
(1)求 sin x-cos x 的值; (2)求 tan x 的值.

【思路分析】 可与sin2x+cos2x=1联系,求出2sin xcos x的 值,再求出(sin x-cos x)2的值,就求出sin x-cos x的值,从 而求出sin x、cos x的值,求出tan x的值.

1 (1)由 sin x+cos x= 平方得, 5 1 24 1+2sin xcos x= ,∴2sin xcos x=- , 25 25 49 2 (sin x- cos x) = 1-2sin xcos x= , 25 π 7 又∵- < x< 0,∴ sin x- cos x< 0,即 sin x- cos x=- . 2 5 1 sin x+ cos x= , 5 (2)由 (1)得 7 sin x- cos x=- , 5 【解】

? ? ?

3 - 5 3 4 sin x 3 ∴ sin x=- , cos x= .∴ tan x= = =- . 5 5 4 4 cos x 5

2 2 sin x + cos x=1 ? ? 【思维总结】 本题也可以直接利用? 1 sin x + cos x = ? 5 ?

求 sin x

与 cos x 的值.但要根据条件进行舍根.

跟踪训练
2.在本例中,若x的范围变为“x为三角形的内角”其余条件不 变,求tan x的值.
1 24 解:由 sin x+ cos x= ,∴2sin xcos x=- <0. 5 25 π ∵ x 为三角形内角,∴ sin x>0.∴ cos x<0,∴ x∈ ( , π). 2 ∴ sin x- cos x>0. 24 49 2 ∵ (sin x- cos x) = 1- 2sin xcos x= 1+ = . 25 25 1 4 sin x+ cos x= sin x= 5 5 7 ∴ sin x- cos x= .由 得 . 5 7 3 sin x- cos x= cos x=- 5 5

? ? ?

? ? ?

sin x 4 ∴ tan x= =- . 3 cos x

考点4 三角恒等式的证明 此类问题就是利用三角函数化简的方式,结合三角公式推导出 关于三角函数形式的等式成立,一般采用从等式的一边开始直 接推证它等于另一边或采取左右归一法.

例4

2? cos α-sin α? cos α sin α 证明: - = . 1+sin α 1+cos α 1+sin α+cos α

【思路分析】 可从三个方面考虑:
(1)由左到右,以右式为“果”,因为左边是两个分式,而右边为一 个分式,故将左式通分,分子因式分解产生因子(cos α-sin α)与1

+sin α+cos α,而缺少“2”这个因子,故分子分母同乘以2,并设法
使分母产生因子1+sin α+cos α,以便约分. (2)仍由左到右,因为右式分母有因子1+sin α+cos α,故将左

式分母分子同乘以1+sin α+cos α.

(3)证明关键在于化左、右两边为同分母,而 1+ sin α+ cos α 是 1- sin α cos α 最 简单的形 式,联想 到课本中 等式: = , cos α 1+ sin α 1- cos α sin α = 和等比性质, 断定由此可以将左端两式的分 sin α 1+ cos α 母化为 1+ sin α+ cos α.

【证明】

cos α+ cos2α- sin α- sin2α 法一:左边= ?1+ sin α?? 1+ cos α?

? cos α- sin α??1+ sin α+ cos α? = 1+ sin α+ cos α+ sin α · cos α 2? cos α- sin α?? 1+ sin α+ cos α? = ?1+ sin α+ cos α? 2 2? cos α- sin α? = =右边. 1+ sin α+ cos α ∴原式成立.

1+ sin α+ cos α cos α sin α 法二:左边= ( - ) 1+ sin α+ cos α 1+ sin α 1+ cos α 1 cos2α sin2α = (cos α+ - sin α- ) 1+ sin α+ cos α 1+ sin α 1+ cos α 1- sin2α 1- cos2α 1 = (cos α- sin α+ - ) 1+ sin α+ cos α 1+ sin α 1+ cos α 2? cos α- sin α? = =右边, 1+ sin α+ cos α ∴原式成立.

1- sin α cos α+ 1- sin α cos α 法三:∵ = = ① cos α 1+ sin α 1+ sin α+ cos α 1- cos α sin α+ 1- cos α sin α = = ② sin α 1+ cos α 1+ sin α+ cos α cos α sin α ①-②得 - 1+ sin α 1+ cos α cos α+ 1- sin α sin α+ 1- cos α = - 1+ sin α+ cos α 1+ sin α+ cos α 2? cos α- sin α? = . 1+ sin α+ cos α

【思维总结】

运用三个基本关系式进行化简、求值、证明时,

主要是灵活运用公式,消除差异,其思维模式归纳为三点:

①发现差异:观察角、函数、关系结构的差异;
②寻求联系:运用相关公式,找出转化差异的联系;

③合理转化:选择恰当的公式,实现差异的转化.

方法感悟
方法技巧
1.同角三角函数的另外五个关系式 1+ tan2α= sec2α; 1+ cot2α= csc2α; cos α cot α= ; sin α cos α · sec α= 1; sin α · csc α= 1.

2.角 k· 90° ± α(k∈ Z)的三角函数的诱导公式归纳为:“奇变偶 不变,符号看象限”.其含义为:当 k 是奇数时,函数名称发 生变化;当 k 为偶数时,函数名称保持不变;“符号看象限” 即根据 k· 90° ± α 所在象限原三角函数值的符号确定正、负. 3.求已知角的三角函数值其转化角的一般步骤为 任意负角的 三角函数
主化锐 负化正

任意正角的 三角函数

正化主

0° 到360° 的角 的三角函数

锐角的三角函数

4.证明三角恒等式的主要思路有: (1)左右互推法:由较繁的 一边向简单一边化简;(2)左右归一法:使两端化异为同,把左 右式都化为第三个式子;(3)转化化归法:先将要证明的结论恒 等变形,再证明.

失误防范
1.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判 断符号. k 2.利用诱导公式时要分清 kπ+α(k∈Z),还是 π+ α(k∈ Z)的 2 形式,以确定结果是否改变函数名称.

考向瞭望把脉高考
命题预测
同角三角函数的基本关系式及诱导公式是三角变形的基本公式, 同时也是高考命题的热点之一,以选择题、填空题的形式出现, 试题通常以化简、求值为主,考查公式的运用,恒等变形的基 本技能、及基本运算能力,难度较低,如2011年的高考中,辽 宁卷,江苏卷,浙江卷都对该部分内容进行了单独考查外,还 有的与和、差、倍角公式相结合进行考查. 在2012年的高考中,山东卷考查了诱导公式. 预测2014年的高考,仍是以基本知识和计算进行考查.

典例透析
π? 1 2 ? 例 (2011· 高考福建卷 )若 α∈ 0,2 ,且 sin α+ cos 2α= , ? ? 4 则 tan α 的值等于( A. 2 2 ) B. 3 3

C. 2

D. 3

π? 1 2 ? 【解析】 ∵ α∈ 0,2 ,且 sin α+ cos 2α= , ? ? 4 1 1 2 ∴ sin α+ cos α- sin α= ,∴ cos α= , 4 4 1 1 ∴ cos α= 或- (舍去), 2 2
2 2 2

π ∴ α= ,∴tan α= 3. 3

【答案】

D

【名师点评】 本题考查了二倍角公式、同角三角函数关系,
由值求值等知识,同时又考查了学生的转化能力和简单的计算 能力,难易适中,属于中档题.

知能演练轻松闯关

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