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南开中学高2017届15-16学年(上)半期试题——数学文



重庆南开中学高 2017 级高二(上)半期考试

数 学 试 题(文科)
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1、抛物线 y 2 ? x 的准线方程为 A、 x ?

1 4

B、 x ? ?


1 4

C、 y ?

1 4

D、 y ? ?

1 4

2、若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 ? 2a ?1? x ? y ? 0 平行,则实数 a 的值为 A、 ?

1 2

B、

1 3

C、1

D、 ?

1 或1 2

3、命题“ ?x ? 0, 2x ? 0 ”的否定是 A、 ?x ? 0, 2x ? 0 C、 ?x ? 0, 2x ? 0 4、双曲线 5x2 ? 4 y 2 ? 60 ? 0 的焦点坐标为 A、 ?3 3, 0 B、 ?x ? 0, 2x ? 0 D、 ?x ? 0, 2x ? 0

?

?

B、 ? 3, 0

?

?
?
2

C、 0, ?3 3 ,则它的否命题为

?

?

D、 0, ? 3

?

?

5、已知原命题:若 sin x ? 1 ,则 x ? A、若 sin x ? 1 ,则 x ? C、若 sin x ? 1 ,则 x ?

? ?
2 2

B、存在 sin x ? 1 ,使 x ? D、若 x ?

?
2

?
2

,则 sin x ? 1

6、若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列,则它的离心率为 A、

5 ?1 2

B、 2

C、

5 ?1 2

D、 3

x2 y 2 ? ? 1 交于 A 、 B 两点, F 为椭圆的一个焦点,则 ?ABF 的面积的最大 7、过原点的直线与椭圆 9 5
值是 A、 2 5 B、5 C、 3 5 D、9

8、过点 ? 0,1? 的直线 l 与双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 有且只有一个公共点,这样的直线共有 4
1

A、1 条

B、2 条

C、3 条

D、4 条

? 9、已知椭圆的长轴为 A1 A2 , B 为短轴一端点,若 ?A 1BA 2 ? 120 ,则椭圆的离心率为

A、

1 2

B、

3 3

C、

6 3

D、

3 2

N, 10、 已知点 A ?1,0 ? , 抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点为 F , 射线 FA 与抛物线 C 及其准线分别交于点 M 、


FM MN
1 4

?
1 2
2

A、

B、

C、

2 2

D、1

2 11、过点 A? 4,0? 的直线与圆 ? x ? 1? ? y ? 4 交于 B 、 C 两点,则弦 BC 的中点的轨迹是

A、圆的一部分

B、椭圆的一部分

C、双曲线的一支

D、抛物线

12、已知 P 是以 F 为左焦点的双曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 右支上一定点,点 A 满足 AP ? AF ? 0 ,则点 A 到 原点的最近距离为 A、1 B、 2 C、 3 共 90 分) D、2

??? ? ??? ?

第 II 卷(非选择题 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13、已知集合 A ? ?1, a? , B ? ?1,2,3? ,则“ a ? 3 ”是“ A ? B ”的____________条件。 14、抛物线 y 2 ? 2 x 上的点 A 到其焦点的距离为 1,则点 A 到 y 轴的距离为____________。
2 15、过点 ? 0,1? 的直线 l 被圆 ? x ? 1? ? y ? 4 所截得的弦长最短时,直线 l 的斜率为____________。 2

16、已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,由 F2 向双曲线 C 的一条 a 2 b2
2

C 的渐近线方程为____________。 渐近线作垂线,垂足为 H ,若 ?F 1HF 2 的面积为 b ,则双曲线
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)
2 已知 p :直线 y ? ? 2m ? 1? x ? m ? 2 的图象不经过第二象限, q :方程 x ?

y2 ? 1 表示焦点在 x 轴 1? m

上的椭圆,若命题 ? ?p ? ? q 为假,求实数 m 的取值范围。
2

18、 (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 。
2 2

(I)求过点 M ? 3,1? 的圆 C 的切线方程; (II)若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与圆 C 交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 3 ,求实数 a 的值。

19、 (本小题满分 12 分) 已知离心率为

x2 y 2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 上一点 P 到其两焦点的距离之和为 2 2 。 a b 2
1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,求弦 AB 的中点坐标。 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设过椭圆 C 的右焦点且斜率为

20、 (本小题满分 12 分) 已知点 A ? 0,1? ,点 P 在双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 上。 2

(I)当 PA 最小时,求点 P 的坐标; (II)过 A 点的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 M 、 N 两点, O 为坐标原点,若 ?OMN 的 面积为 2 3 ,求直线 l 的方程。

3

21、 (本小题满分 12 分) 如题(21)图所示,椭圆 E :

x2 y 2 x2 y 2 F ? ? 1 a ? 0, b ? 0 ? ? 1 的渐近线分 的右焦点为 ,双曲线 ? ? a 2 b2 a 2 b2

别为 l1和l2 ,过点 F 作直线 l ? l2 于点 C ,直线 l与l1 交于点 P 、与椭圆 E 从上到下依次交于点 A, B 。 已知直线 l1 的倾斜角为 30 ,双曲线的焦距为 8. (I)求椭圆 E 的方程; (II)设 PA ? ?1 AF , PB ? ?2 BF ,证明: ?1 ? ?2 为常数。
?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

22、 (本小题满分 10 分) 过点 ? m,0? 的动直线 l 与抛物线 C : y 2 ? 2 px 为直角三角形( O 为坐标原点) 。 (I)求抛物线 C 的方程; (II)设抛物线 C 的焦点为 F ,是否存在正数 m ,使得当直线 l 转动时,总有 FA ? FB ? 0 ?若存在, 求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

?OAB 当 m ? 4 且 l ? x 轴时, ? p ? 0? 交于 A 、B 两点,

??? ? ??? ?

4

5

6



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