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1.1两个基本计数原理1


1.1 两个基本计数原理 1

问题一:从甲地到乙地,可以乘火车, 也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车 有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法?

解:因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2 种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所 以共有 3+2=5 种不同的走法。

分类计数原理 完成一件事,有n类方 式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在 第2类方式中有m2种不同的方法,…,在第 n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这 件事共有:

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。

问题二:从甲地到乙地,要从甲地选乘火 车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中,火车有3班,汽车有2班。那么两天中, 从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

这个问题与前一个问题有什么区别?

在前一个问题中,采用乘火车或汽车中的 任何一种方式,都可以从甲地到乙地;而在这 个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤,才能从甲地到乙地.

解:因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法, 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地, 共有 3×2=6 种不同的走法。
分步计数原理 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步 有m2 种不同的方法,…,做第n步时有mn种不 同的方法。那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法。 分步计数原理又称为乘法原理。

分类计数原理(加法原理)中,“完成一件 事,有n类方式”,即每种方式都可以独立地 完成这件事。进行分类时,要求各类方式彼此 之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一 种方法,都能独立完成这件事。只有满足这个 条件,才能直接用加法原理,否则不可以。 分步计数原理(乘法原理)中,“完成一件 事,需要分成n个步骤”,是说每个步骤都不足 以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个 步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有 步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立, 即相对于前一步的每一种方法,下一步有m种不 同的方法,那么完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理。

应用这两个原理的关键是看完成这件 事情是“分类”还是“分步”。 例1、某班共有男生28名、女生20名, 从该班选出学生代表参加校学代会。 (1)若学校分配给该班1名代表,有多少种 不同的选法? (2) 若学校分配给该班2名代表,且男女生代表 各1名,有多少种不同的选法?

例2、在下面两个图中,使电路接通的 不同方法各有多少种? A

B

A

B (2)

(1)

例3、为了确保电子信箱的安全,在注册 时,通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中, (1) 密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一 个数字,这样的密码共有多少个?(2)密码 为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个, 或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的 密码共有多少个? (3)密码 为4到6位,每位均为0到9这10个数字中的一 个。这样的密码共有多少个?

例4、(1)4名同学选报跑步、跳高、跳 远三个项目,每人报一项,共有多少种报名 方法?
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三 个项目的冠军,共有多少种可能的结果? 例5、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼 梯,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?

例6、有n个元素的集合的子集共有多少
个?


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