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5.2《任意角的三角比》教案



5.2 任意角的三角比

一、情景引入
回顾:在初中我们学习了锐角的 三角比,它是在直角三角形的条件下,通过角 ? 的对边、邻边与斜边之间 两两的比值来定义的.

sin ? ?

MP OP
MP OM

OM cos ? ? OP
cot ? ? OM MP

/>O

P

?

M

tan ? ?

二、学习新课 1、概念形成 ?任意角的三角比定义

角? 的终边 y
P( x, y) ?

o

x

设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取一点 P( x, y) (除原点) ,
则 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y 2 ? 0 ,
y sin ? ? r

? 的正弦

记作:

? 的正割
x r

记作:

sec ? ?

? 的余弦
? 的正切

记作:
记作:

cos ? ?
tan ? ?

? 的余割

记作:

r x r csc? ? y

y x

? 的余切

记作:

cot? ?

x y

提问:
①对于确定的角 ? ,这六个三角比值的大小与 P 点在角 ? 终边上的位置是否有关?
可以得出对于确定的 角 ? ,这六个三角比值的大小与 P 点在角 ? 的终边上的位置无关.

②根据这六个三角比的定义,是否对于任意的一个角 ? ,它的六个三角比都存在呢?
(1) 当角 ? 的终边在纵轴上时,即 ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0 ,所以

tan ? 、 sec ? 无意义

(2) 当角 ? 的终边在横轴上时,即 ? ? k? ( k ? Z ) 时,终边上任意一点 P 的纵坐标 y 都为 0,所以 cot ? 、

csc ? 无意义

sin ?
从而有: cos ?

R R

cot ?

tan ?

? ? k? ?

?
2

sec ?
(k ? Z )

? ? k? (k ? Z ) ? ? ? k? ? (k ? Z )
2 ? ? k? (k ? Z )

csc ?

③三角比符号

sin? ? 0 ? ?在三,四象限 ?sin ? ? 0 ? ?在一,二象限; ? cos? ? 0 ? ?在二,三象限 ?cos? ? 0 ? ?在一,四象限; ?tan? ? 0(cot? ? 0) ? ?在一,三象限; tan? ? 0(cot? ? 0) ? ?在二,四象限 ?
三角比单位圆图像
y ? sin ?单位圆图像
y ? cos?单位圆图像

y ? tan?单位圆图像

1

0

-? ??

+ 0 -

+

-

+ 1 0

+

+ 0 -

0 -

-1

-

+

0 -1

?? -?

2.例题解析:
例 1:①已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求 ? 的六个三角函数值.

y ?3 3 13 答: sin ? ? ? ?? r 13 13

r 13 sec? ? ? x 2

x 2 2 13 cos? ? ? ? r 13 13
tan ? ? y 3 ?? x 2

csc? ?

r 13 ?? y 3

x 2 cot? ? ? ? y 3

②已知角 ? 终边上一点 P (3t,4t) (t ? 0) ,求 ? 的 6 个三角比值

?t ? 0 ? r ? 5t 解: ? ?t ? 0 ? r ? ?5t
y 4 x 3 y 4 x 3 1 5 1 5 ? t ? 0 ? sin ? ? ? ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? , cot ? ? ? ; csc ? ? ? ; sec ? ? ? ? r 5 r 5 x 3 y 4 sin ? 4 cos? 3 ? ? ?t ? 0 ? sin ? ? ? 4 ; cos? ? ? 3 ; tan? ? 4 ; cot? ? 3 ; csc? ? ? 5 ; sec? ? ? 5 ? 5 5 3 4 4 3 ?

例 2 :求下列各角的六个三角比值

(1)

?

(2)

3? 2

( 3)

5? 4

答:(1) sin ? ? 0 , cos? ? ? 1, tan? ? 0,

cot ? 不存在, sec ? ? ?1 , csc? 不存在

3? 3? 3? ? ?1, cos ? 0 , tan (2) sin 不存在, 2 2 2 3? 3? 3? ? 0 , sec ? ?1 不存在, csc 2 2 2

cot

(3) sin

5? 2 5? 2 5? ?? , cos ?? , tan ?1 , 4 2 4 2 4

5? 5? 5? cot ? 1 , sec ? ? 2 , csc ?? 2 4 4 4

例 3:设角 ? 终边在直线 y ? ?3x 上,求 ? 的 6 个三角比值

解:(1) ? 在第二象限,取点 P(1,-3) r ?
?3 1

10
y

1 sin ? ? ; cos? ? ; tan? ? ?3; cot? ? ? ; 3 10 10 csc? ? ? 10 ; sec? ? 10 3

X

X

(2) ? 在第四象限,取点 P(-1,3) r ?
sin ? ? csc? ? 3 10 ; cos? ? ?1

10
Y=-3x

1 ; tan? ? ?3; cot? ? ? ; 3 10

10 ; sec? ? ? 10 3

例 4. 根据下列条件确定角 ? 属于那个象限: (1) sin ? cos ? ? 0

?sin ? ? 0, cos? ? 0 ? ?在第一象限 解: ? ?sin ? ? 0, cos? ? 0 ? ?在第三象限

sin ? ?0 (2)已知 tan ?
?sin ? ? 0, tan? ? 0 ? ?在第一象限 解: ? ?sin ? ? 0, tan? ? 0 ? ?在第四象限

sin ? cos? tan? cot? 例 5. 若 f (? ) ? ,则 f (? ) 的取值集合( B ) ? ? ? sin ? cos? tan? cot?
A.{-2,4} B.{-2,0,4} C.{-2,0,2} D.{-4,0,4}

B

例 6. P(? 3, m) 是角 ? 终边上一点,且 sin ? ?
解: sin ? ?

2 m ,求没的值. 4

m 3 ? m2

?

2 m ( m> 0) ? m ? 5, m ? ? 5, m ? 0 4



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