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高二数学导数及其应用单元测试题



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鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》 鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试
小题, 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分) 选择题:
1.设函数 f(x)在 x 0 处可导

,则 lim . 在 处可导,

?x → 0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 等于 ?x
C..



C



A. .

f ' ( x0 )

B. .

f ' (? x 0 )

f ' ( x0 )

D..

f ' (? x 0 )

2.若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4) 处的切 . )处的切 的导数为 ′ ,则函数图像在点( , ( ) ) 线的倾斜角为( 线的倾斜角为( C A.90° . °
3

) C.锐角 . D.钝角 .

B.0° . °

3.函数 y=x -3x 在[-1,2]上的最小值为 ( B ) . 2]上的最小值为

、-2 、-4 A、 2 B、-2 C、 0 D、-4 2 4.设函数 f ( x ) 的导函数为 f ′ ( x ) ,且 f ( x ) = x + 2 x ? f ′ (1) ,则 f ′ ( 0 ) 等于 (B ) . A、 0 B、 ?4 C、 ?2 D、 2 3 2 5.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( D ) f(x)= (a+6)x+ 有极大值和极小值, 的取值范围为( . 、-1<a<2 B、- 、-3<a<6 C、a<- D、a<- A、-1<a<2 B、-3<a<6 C、a<-1 或 a>2 D、a<-3 或 a>6 3(k- 在区间( 上是减函数, f(x)= 6、设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2 ? k 2 +1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围 是 ( D ) A、 k <

f(x)在定义域内可导 y=f(x)的图象如下图所示 在定义域内可导, 的图象如下图所示, 7、设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f ′(x) 可能为 (D )
y y x y x y y

1 3

B、 0 < k ≤

1 3

C、 0 ≤ k ≤

1 3

D、 k ≤

1 3

O A

O B

O C

x

O D

x

O

x

,且 若满足( 8、对于 R 上可导的任意函数 f(x) 且 f ' (1) = 0 若满足(x-1) f ′(x) 0,则必有 , > ( C ) )+f 2f( )+f 2f( A、f(0)+f(2)<2f(1) B、f(0)+f(2)≥2f(1) )+f 2f( )+f 2f( C、f(0)+f(2)>2f(1) D、f(0)+f(2)≥2f(1) 9、已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c 的导数为 f ′( x ) , f ′(0) > 0 ,对于任意实数 x ,有

f ( x ) ≥ 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为(C 的最小值为 ) f ′(0)
B.

3 2 10、 是定义在区间[- 上的奇函数 其图象如图所示: 上的奇函数, 10、f( x )是定义在区间 -c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b, 是定义在区间 ( ( , 的叙述正确的是( 则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是(B ( )
C. 2 D. A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称 . 的图象关于原点对称. 则函数 ( 的实根. B.若 a=-1,- . ,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根 - ,- 则方程 (
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5 2

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C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根 . 有两个实根. ≠ 则方程 ( D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根 . 有三个实根. ≥ 则方程 ( 小题, 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 填空题( 11.求 f ( x ) = sin 3 求

1 的导数 x

y′ = ?

3 1 1 sin 2 cos 2 x x x


12.曲线 S:y=3x-x3 的过点 A(2,-2)的切线的方程是 y=-9x+16 或 y=-2 . y=3xy=y=-

2 上的点, 13. 设 P 为曲线 C: y = x + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围 :

为 ? 0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为

? π? ? 4?

? 1? ?-1,2 ? ? ?

.

为周期的可导偶函数, 14. 设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数, 14. 则曲线 y = f ( x ) 在 x = 5 0 的切线的斜率为 15. 已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,P - 、 两点, 是坐标原点, 是抛物线的弧 面积最大时, 上求一点 P,当△PAB 面积最大时,P 点坐标为 , P(4,- -



4) . 解答题( 小题, ,共 三、解答题(共 6 小题, 共 75 分) ,

16、 ( 定义: 16、 本题满分 12 分)对于三次函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ,定义: 的导数, 设 f ′′( x) 是函数 y = f ( x) 的导函数 y = f ′( x ) 的导数,若 f ′′( x ) = 0 有实数解 x0 ,则
称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的 拐点” 现已知 f ( x) = x ? 3x + 2 x ? 2 ,请解答 “拐点” 。
3 2

下列问题: 下列问题: 拐点” 的坐标; (1)求函数 f ( x ) 的“拐点”A 的坐标; ) 的图象关于“拐点” 对称; (2)求证 f ( x ) 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关 ) “拐点”的一个结论(此结论不要求证明). 拐点”的一个结论(此结论不要求证明)

16、 解析 解析]( ) 16、[解析 (1) f ′( x) = 3 x 2 ? 6 x + 2 , f ′′( x ) = 6 x ? 6 .令 f ′′( x ) = 6 x ? 6 = 0 得 令

x = 1 , f (1) = 13 ? 3 + 2 ? 2 = ?2 .∴ 拐点 A(1, ?2)
3 2 ( 2 ) 设 P ( x0 , y0 ) 是 y = f ( x ) 图 象 上 任 意 一 点 , 则 y0 = x0 ? 3 x0 + 2 x0 ? 2 , 因 为

P ( x0 , y0 ) 关于 A(1, ?2) 的对称点为 P′(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) ,把 P′ 代入 y = f ( x ) 得
3 2 左边 = ?4 ? y0 = ? x0 + 3 x0 ? 2 x0 ? 2 , 3 2 3 2 右边 = (2 ? x0 ) ? 3(2 ? x0 ) + 2(2 ? x0 ) ? 2 = ? x0 + 3 x0 ? 2 x0 ? 2

右边= ∴ 右边=右边∴ P′(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) 在 y = f ( x ) 图象上∴ y = f ( x ) 关于 A 对称
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猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。 猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。

上的可导函数, 17. 已知函数 f (x ) 是 (0,+∞) 上的可导函数, xf ′( x ) > f ( x ) 在 x > 0 若 17. (本题满分 12 分) 时恒成立. 时恒成立 (1)求证:函数 g ( x ) = )求证:

f ( x) 上是增函数; 在 (0,+∞) 上是增函数; x

(2)求证:当 x1 > 0, x 2 > 0 时,有 f ( x1 + x2 ) > f ( x1 ) + f ( x2 ) . )求证:

f ( x) xf ′( x) ? f ( x) , 因为 xf ′( x) > f ( x) , 得 g ′( x) = x x2 f ( x) 时恒成立, 上是增函数. 所以 g ′( x) > 0 在 x > 0 时恒成立,所以函数 g ( x) = 在 (0,+∞) 上是增函数 x f ( x) 上是增函数, (2)由(1)知函数 g ( x) = ) ) 在 (0,+∞) 上是增函数,所以当 x1 > 0, x 2 > 0 时, x
17. 17. (1)由 g ( x) = ) 有

f ( x1 + x 2 ) f ( x1 ) f ( x1 + x 2 ) f ( x 2 ) > , > 成立, 成立, x1 + x 2 x1 x1 + x 2 x2 x1 x2 f ( x1 + x 2 ), f ( x 2 ) < f ( x1 + x 2 ) x1 + x 2 x1 + x 2

从而 f ( x1 ) <

两式相加得 f ( x1 + x 2 ) > f ( x1 ) + f ( x 2 ) 18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) = x ln x . 的最小值; (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; 的取值范围. (Ⅱ)若对所有 x ≥ 1 都有 f ( x) ≥ ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

18. 解析: f ( x) 的定义域为(0,+∞), ………… 分 解析: …………1

f ( x) 的导数 f ′( x) = 1 + ln x . ………………3 ……………… 分 1 1 令 f ′( x) > 0 ,解得 x > ;令 f ′( x) < 0 ,解得 0 < x < . e e ? 1? ?1 ? 单调递减, 单调递增. ………………5 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+∞ ? 单调递增. ……………… 分 ? e? ?e ? 1 1 所以, 所以,当 x = 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ………………………… 6 分 e e 解法一: (Ⅱ)解法一:令 g ( x) = f ( x) ? (ax ? 1) ,则 g ′( x) = f ′( x) ? a = 1 ? a + ln x , ……………………8 …………………… 分 ① 若 a ≤ 1 ,当 x > 1 时, g ′( x) = 1 ? a + ln x > 1 ? a ≥ 0 , 上为增函数, 故 g ( x) 在 (1,+∞) 上为增函数, 所以, 所以, x ≥ 1 时, g ( x) ≥ g (1) = 1 ? a ≥ 0 ,即 f ( x) ≥ ax ? 1 .…………………… 10 分 a ?1 ② 若 a > 1 ,方程 g ′( x) = 0 的根为 x0 = e ,
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此时, 在该区间为减函数. 此时,若 x ∈ (1,x0 ) ,则 g ′( x) < 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以 x ∈ (1,x0 ) 时, g ( x) < g (1) = 1 ? a < 0 , 相矛盾. ……………………13 即 f ( x) < ax ? 1 ,与题设 f ( x) ≥ ax ? 1 相矛盾. …………………… 分 1] ……………………………………14 综上, 综上,满足条件的 a 的取值范围是 (?∞, . …………………………………… 分 解法二:依题意, + 上恒成立, 解法二:依题意,得 f ( x) ≥ ax ? 1 在 [1, ∞ ) 上恒成立,

1 + ……………………8 对于 x ∈ [1, ∞) 恒成立 . …………………… 分 x 1 1 1 1? 1? ……………………10 令 g ( x) = ln x + , 则 g ′( x) = ? 2 = ?1 ? ? . …………………… 分 x x x x? x? 1? 1? 当 x > 1 时,因为 g ′( x ) = ?1 ? ? > 0 , x? x? + 上的增函数, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) = 1 , ……………… 13 故 g ( x ) 是 (1, ∞) 上的增函数,
即不等式 a ≤ ln x + 分 1] 所以 a 的取值范围是 (?∞, . www.ks5u.com …………………………………………14 ………………………………………… 分

19、 ( 请您设计一个帐篷。 19、 本题满分 12 分)请您设计一个帐篷。它下部 的正六棱柱, 的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱 的正六棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的 长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) 试问当帐篷的 。 顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时, 的距离为多少时, 帐篷的体积 最大? 最大? 【注: V柱体 = S底 ? h, V锥体 = S底 ? h 】
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2 19、 m,则正六棱锥底面边长为 2 单位: 。 19、解:设正六棱锥的高为 x m,则正六棱锥底面边长为 3 ? x (单位:m) ………………2 ………………2 分

1 3

于是底面正六边形的面积为(单位: : 于是底面正六边形的面积为(单位:m2) S = 6i
3

3 3 3 i( 9 ? x 2 ) 2 = (9 ? x 2 ) 。 4 2
………………4 ………………4 分

帐篷的体积为(单位: : 帐篷的体积为(单位:m ) 3 3 3 3 ?1 ? V ( x) = (9 ? x 2 ) ? x + 1? = (9 ? x 2 )(3 + x) = (? x3 ? 3 x 2 + 9 x + 27) (1 < x < 3) 2 2 ?3 ? 2 ………………8 ………………8 分 求导数, 求导数,得 V ′( x ) = ?

x=- 不合题意,舍去),x= ),x=1 ………………10 令 V ′( x ) = 0 解得 x=-3(不合题意,舍去),x=1。 ………………10 分 <x<1 ,V(x)为增函数 为增函数; <x<3 ,V(x)为减函数 为减函数。 当 0<x<1 时, V ′( x ) > 0 ,V(x)为增函数;当 1<x<3 时, V ′( x ) < 0 ,V(x)为减函数。 x=1 ,V(x)最大 最大。 帐篷的体积最大 …………12 的体积最大。 所以当 x=1 时,V(x)最大。即当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 …………12 分 w.ks5u.com

3 3 2 ( x + 2 x ? 3) ; 2

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x=± 处取得极值. 20. (本题满分 13 分)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值.
3 2

f(x)的解析式 的解析式; (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; 都有|f(x )|≤ (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; 求证:对于区间[ 1]上任意两个自变量的值 (m y=f(x)的三条切线 的三条切线, 的取值范围. (Ⅲ)若过点 A(1,m) m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. ( (I +2bx- 依题意, (1)=f′ 1)=0, 20. 解: I)f′(x)=3ax +2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, ( 即?
2

?3a + 2b ? 3 = 0 , ?3a ? 2b ? 3 = 0
3

a=1, 解得 a=1,b=0.
2

3 ∴f(x)=x -3x.

3

3 2 3x,∴ 3=3(x+1)(x-1), (II)∵f(x)=x -3x,∴f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), II)

(x)<0, f(x)在区间 在区间[ 1]上为减函数 上为减函数, 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, (x)=f(-1)=2, (x)=f(1)=- ……………………………………6 fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2……………………………………6 分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 对于区间[ 1]上任意两个自变量的值 都有|f(x )|≤ 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| )|≤ (x)- (x)|=2- 2)=4……………………………… ………………………………8 |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4………………………………8 分
2 3=3(x+1)(x-1), (III)f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), III) 2

∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 A(1,m)不在曲线上. 3x, 不在曲线上.
3 ,则点 设切点为 M(x0,y0) 则点 M 的坐标满足 y 0 = x 0 ? 3 x 0 . ,

3

2 因 f ′( x 0 ) = 3( x 0 ? 1) ,故切线的斜率为 3( x0 ? 1) =

2

3 x0 ? 3x0 ? m , x0 ? 1

3 2 可作曲线的三条切线 条切线, 整理得 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 = 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, 3 2 ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 =0 有三个实根.……………………10 分 有三个实根.……………………10 3 2 2 设 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 ,则 g′(x0)=6 x 0 ? 6x 0 ,

)=0, 由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. (-∞ (1 上单调递增, 上单调递减. , ∴g(x0)在(-∞,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
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3 2 =0, =1……………… ………………12 ∴函数 g(x0)= 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 的极值点为 x0=0,x0=1………………12 分 3 2 ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 3 x 0 + m + 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g ( 0) > 0 解得-3<m<-2.故所求的实数 的取值范围是-3<m<- ,解得-3<m<-2.故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2. ? ? g (1) < 0
21. (本题满分 14 分) 已知 f ( x ) = ax ? ln x, x ∈ (0, e], g ( x ) =

ln x 是自然常数, , 其中 e 是自然常数, x

a ∈ R.
的单调性、极值; (Ⅰ)讨论 a = 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) > g ( x ) + 求证: 的条件下,

1 ; 2

的值; 不存在, (Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 , 存在, 由.
om

21.解: Ⅰ)∵ f ( x ) = x ? ln x , f ′( x ) = 1 ? 解 (Ⅰ (

1 x ?1 = x x

……1 …… 分

/ ∴当 0 < x < 1 时, f ( x ) < 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 / 当 1 < x < e 时, f ( x ) > 0 ,此时 f ( x ) 单调递增

……3 …… 分 ……4 …… 分

∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) = 1

的极小值为 , , (Ⅱ)∵ f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x ) > 0 , f ( x ) min = 1 令 h( x) = g ( x) + ……5 …… 分

1 ln x 1 1 ? ln x = + , h ′( x) = ……6 , …… 分 2 x 2 x

上单调递增 ……7 当 0 < x < e 时, h ′( x ) > 0 , h( x ) 在 (0, e] 上单调递增 …… 分 ∴ h( x ) max = h(e) =

1 1 1 1 + < + = 1 =| f ( x) | min e 2 2 2 1 2
……9 …… 分

∴在(1)的条件下, f ( x ) > g ( x ) + )的条件下,

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x ) = ax ? ln x ( x ∈ (0, e] )有最小值 3, ,

f / ( x) = a ?

1 ax ? 1 = x x

……9 …… 分

上单调递减, ① 当 a ≤ 0 时, f (x ) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min = f (e) = ae ? 1 = 3 , a = 无最小值. 所以, 所以,此时 f (x ) 无最小值
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4 舍去) (舍去) , e

……10 …… 分
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②当 0 <

1 1 1 < e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 上单调递减, a a a

1 f ( x) min = f ( ) = 1 + ln a = 3 , a = e 2 ,满足条件 …… 分 满足条件. ……11 a
③ 当

1 4 ≥ e 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min = f (e) = ae ? 1 = 3 ,a = (舍去) 上单调递减, 舍去) , a e
2

所以, 无最小值.综上 综上, 所以,此时 f (x ) 无最小值 综上,存在实数 a = e ,使得当 x ∈ (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3.

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