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专题16 定积分与微积分基本定理(解析版)



专题十六 定积分与微积分基本定理 【高频考点解读】 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 【热点题型】 题型一 定积分 ) C.-ln 2 D.ln 2

4 1 例 1、? ?2xdx 等于(

A.2ln 2

B.-2ln 2

4

1 4 解析:? ?2xdx=ln x|2 =ln 4-ln 2=ln 2.

答案:D 【提分秘籍】 1.定积分是一个数值(极限值),它只与被积函数以及积分区间有关,而与积分变量无关, 即? ? f(x)dx=? ? f(t)dt=? ? f(u)du.
a a a b b b

2.设函数 f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则由定积分的几何意义和奇偶函数的对称性可知 有以下两个结论:

(1)若 f(x)是偶函数,则

f(x)dx=2? ? f(x)dx;
0

a

(2)若 f(x)是奇函数,则

f(x)dx=0.

【举一反三】 π π 由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 C. 3 2 B.1 D. 3 )

【热点题型】 题型二 微积分基本定理 )

例 2、?1(ex+2x)dx 等于(

?0

A.1 C.e

B.e-1 D.e+1

解析:?1(ex+2x)dx=(ex+x2)? =(e1+1)-e0=e.

?0

? ?0

1

答案:C 【提分秘籍】 利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积分, 关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函 数 F(x),即找被积函数 f(x)的原函数 F(x),利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系, 运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出 F(x). 【举一反三】 设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则?2f(-x)dx 的值等于(

?1

)

5 A. 6

1 2 1 B. C. D. 2 3 6

【热点题型】

题型三

利用定积分求平面图形的面积 )

1 例 3、 如图, 曲线 y=x2 和直线 x=0, x=1, y= 所围成的图形(阴影部分)的面积为( 4

2 A. 3

1 B. 3

1 1 C. D 2 4

【提分秘籍】 利用定积分求曲边梯形面积的步骤 (1)画出曲线的草图. (2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限. (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差. (4)计算定积分,写出答案. 【举一反三】 不等式 x2-2x<0 表示的平面区域与抛物线 y2=4x 围成的封闭区域的面积是________.

【热点题型】 题型四 定积分与概率计算交汇命题

y≤x, ? ? 例 4、若不等式组?y≥-x, ? ?2x-y-3≤0

表示的平面区域为 M,不等式 y≥x2 所表示的平面区域

为 N,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为________.

1 【答案】 18 【提分秘籍】 利用定积分求出数列通项后,借助于数列裂项求和的方法可求和. 【举一反三】
2 已知等比数列{an},且 a4+a8=? ?0 4-x dx,则 a6(a2+2a6+a10)的值为( 2

)

A.π2

B.4

C.π

D.-9π

2 2 2 2 解析:∵a4+a8=π,∴a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a2 6+a6a10=a4+2a4a8+a8=(a4+a8) =π ,

故选 A. 答案:A 【高考风向标】 1. (2014· 福建卷) 如图 14,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄 豆,则它落到阴影部分的概率为________.

图 14

2. (2014· 湖北卷) 若函数 f(x),g(x)满足?1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]

? -1

上的一组正交函数,给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2. 2 2 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

3. (2014· 湖南卷) 已知函数 f(x)=sin(x-φ),且

2π ∫ 0f(x)dx=0,则函数 f(x)的图像的一条对称轴是( 3 5π 7π A.x= B.x= 6 12 π π C.x= D.x= 3 6

)

4.(2014· 江西卷) 若 f(x)=x2+2?1f(x)dx,则?1f(x)dx=(

?0

?0

)

1 A.-1 B.- 3

1 C. D.1 3

5. (2014· 山东卷) 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D. 4

)

6. (2014· 陕西卷) 定积分?1(2x+ex)dx 的值为(

?0

)

A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
2 1 2 0 【答案】C 【解析】?1(2x+ex)dx=(x2+ex)1 0=(1 +e )-(0 +e )=e.

?0

7. (2013· 北京卷) 直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的 图形的面积等于( 4 A. 3 8 C. 3 B.2 16 2 D. 3 )

【答案】C 【解析】由题意得直线 l 的方程是 y=1,代入抛物线方程得 x=± 2,所以直

? x3 线 l 与抛物线 C 所围成图形的面积 S=4-2? dx=4-2?12 ?0 4 ?
2x 2

?2 ? 8 ? 0?)=3. ? ?

8. (2013· 福建卷) 当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式:

1 1+x+x2+…+xn+…= . 1-x 1 1 1 1 1 1 两边同时积分得:∫ 01dx+∫ 0xdx+∫ 0x2dx+…+∫ 0xndx+…=∫ 0 dx, 2 2 2 2 2 1-x 从而得到如下等式: 1 1 ?1?2 1 ?1?3 1 ?1?n+1 1× + × + × + … + × +…=ln 2. 2 2 ?2? 3 ?2? n+1 ?2? 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: 1 13 1 n ?1?n+1 0 1 1 1 12 Cn × + Cn× + C2 C× =__________. n× +…+ 2 2 2 3 2 n+1 n ?2?

9. (2013· 湖北卷) 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t) 25 =7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位: 1+t m)是( ) 11 3

A.1+25ln 5 B.8+25ln

C.4+25ln 5 D.4+50ln 2

10. (2013· 湖南卷) 若?Tx2dx=9,则常数 T 的值为________.

?0

1 3 T 1 3 【答案】3 【解析】由积分运算公式可得?Tx2dx= 3x ? ? 0=3T =9,解得 T=3. ?
0

1 11. (2013· 江西卷) 若 S1=?2x2dx,S2=?2 dx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系 ? ?x ?
1 1 1

为(

) A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1

【随堂巩固】

1.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若∫3 0f(x)dx=3f(x0),则 x0=( A.± 1 C .± 3 B. 2 D.2

)

9 2.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为 ,则 k 等于( 2 A.2 C .3 B.1 D.4

)

x+ -2≤x , ? ? 3.函数 f(x)=? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( π ?2cos x x≤2 ? 3 A. 2 C .4 B.1 1 D. 2

)

解析:由该分段函数的图象可知 S=∫0 -2(x+2)dx+ 1 π π ∫ 02cos xdx=? x2+2x?|0 | ?2 ? -2+2sin x 20=2+2=4. 2 答案:C

π? ∫a 4.已知 a∈? ?0,2?,则当 0(cos x-sin x)dx 取最大值时,a 的值为( π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2

)

5.由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积 的最小值为( )

2 A. 3 1 C. 2

1 B. 3 1 D. 4

x ,x∈ [0,1] ? ? 6.设 f(x)=?1 (e 为自然对数的底数),则∫e 0f(x)dx 的值为________. ? ?x,x∈ ,e]

2

7.设 a>0.若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________.

17 fx 1 8.若 f (x)是一次函数,且∫0 f(x)dx=5,∫1 ,那么∫2 0xf(x)dx= 1 dx 的值是________. 6 x

9.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f ′(0)=0,?1f(x)dx=-2,

?0

(1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 【解析】(1)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 则 f ′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f ′(0)=0,得

? ? ?a-b+c=2 ?c=2-a ? ,即? , ?b=0 ? ? ?b=0

∴f(x)=ax2+(2-a). 又?1f(x)dx=?1[ax2+(2-a)]dx

?0

?0

1 2 1 =[ ax3+(2-a)x]|0 =2- a=-2,∴a=6, 3 3 从而 f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,f(x)min=-4; 当 x=± 1 时,f(x)max=2. 10.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.

11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f ′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式;

(2)求 y=f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积. (3)若直线 x=-t (0<t<1),把 y=f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. 【解析】(1)设 f(x)=ax2+bx+c,则 f ′(x)=2ax+b, 又已知 f ′(x)=2x+2, ∴a=1,b=2, ∴f(x)=x2+2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等的实根, ∴判别式 Δ=4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1.



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