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高中函数及其性质应用自学知识要点


第三章 函数
3.1函数的概念及表示法

高教社

动脑思考

探索新 知

概 念

在某一个变化过程中有两个变量x和y,设变量x的取值范围
为数集D,如果对于D内的每一个x值,按照某个对应法则f,

y都有唯一确定的值与它对应,那么,把x叫做自变量,把
y叫做x的函数. 表 示

y ? f ( x)
高教社

动 脑思考

探索新 知

y ? f ( x), x ? D
函数 对应法则 自变量

定义域

函数两 个要素
函数值[当x=x0时,函数y=f(x)所对应的值y0=f(x0)] 值域[函数值的集合{y︱y=f(x),x∈D}]

高教社

巩固知识
例1 求下列函数的定义域:

典型例题

(1) f ? x ? ?

1 ; x ?1

(2) f ? x ? ? 1 ? 2x .

分析

如果函数的对应法则是用代数式表示的,那么函数

的定义域就是使得代数式有意义的自变量的取值集合.
1 (2)由 1 ? 2 0 ,得 x ? ?1 (1) 由 x ? 1 ? x …0 ,得 x ? .. 2

因此函数的定义域为 ?x | x ? ?1? , 1

? ? 因此函数的定义域为 ? ??, ? . 2 用区间表示为 ? ??, ?1??? ? ?1,? ? . ??

高教社

巩固知识

典型例题

函数定义域
若f (x)是整式,则函数的定义域是实数集R. 若f (x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集. 若f (x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于 或等于0的实数集.

高教社

巩固知识

典型例题

2x ? 1 例2 设 f ? x ? ? ,求 f ? 0 ? , f ? 2 ? , f ? ?5? , f ? b ? . 3
分析 本题是求自变量x=x0时对应的函数值,方法是将x0代入 到函数表达式中求值.
2 ? 0 ?1 f ? 0? ? ? 3
f ? ?5 ? ? 2 ? ? ?5 ? ? 1 3 ?





2 ? 2 ?1 f ? 2? ? ? 3



, f ?b? ?

2 ? b ?1 ? 3



高教社

巩固知识

典型例题

例 3 指出下列各函数中,哪个与函数 y ? x 是同一个函数:
x2 (1) y ? ; x

(2) y ? x2 ;

(3) s ? t .

分析

定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数.

x22 ? x, x …0, . 解(2)函数 y y ? x ? x ? ? (3)尽管表示两个函数的字母不同, 解 (1)函数 ? 的定义域为 {x | x ? 0} , ? x ?- x,x x ? 0.

但是定义域与对应法则都相同, 函数 y ? x y ? x 的定义域相同,都是 R. 这个函数与 的定义域为 R. 所以它们是同一个函数. 但是它们的对应法则不同,因此不是同一个函数; 它们的定义域不同,因此不是同一个函数.

高教社

应用知识

强化练习

教材练习3.1.1
1.求下列函数的定义域: 2 (1) f ? x ? ? ; (2) f ? x ? ? x2 ? 6x ? 5 . x?4 2.已知 f ? x ? ? 3x ? 2 ,求 f ? 0 ? , f ?1? , f ? a ? . 3.判定下列各组函数是否为同一个函数:
x2 ? 1 (1) f ( x) ? x , f ( x) ? x3 ; (2) f ( x) ? x ? 1 , f ( x ) ? . x ?1
3

高教社

创设情景 兴趣导入

观察下面的三个例子,分别用什么样的形式呈现函数?
1. 某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表:
日 期
最高气温

16 29

17 29

18 28

19 30

20 25

21 28

22 29

23 28

24 29

25 30

表示函数的方法是: 这种表示法的优点是:

. .

高教社

创设情景 兴趣导入 观察下面的三个例子,分别用什么样的形式呈现函数?
2. 天津市温度自动记录仪记录的气温时段图:

表示函数的方法是:
高教社

. .

这种表示法的优点是:

创设情景 兴趣导入 观察下面的三个例子,分别用什么样的形式呈现函数?
3.用 S 来表示半径为r的圆的面积,则S=πr2.这个公式清楚地反映了 半径r与圆的面积S之间的函数关系,这里函数的定义域为R+.

表示函数的方法是:

.

这种表示法的优点是:

.

常用的函数表示方法有列表法、图像法和解析法三种.

高教社

动 脑思考

探索新 知

列表法:列出表格来表示两个变量的函数关系 . 优点:不需要计算,直接看出与自变量的值相对应的函数值.
下面的表格是某商家销售计算机的统计表,你能从表格中得到哪些信息?
季 度 数量(台) . 第一季度 400 第二季度 405 第三季度 632 第四季度 605

类似的,在生活中你还见过哪些表格?

高教社

动 脑思考

探索新 知

图像法:用函数图像表示两个变量之间的关系. 优点:直观形象地表示出自变量和相应的函数值变化的趋势.
下面是某商店一年的销售额随季度的变化曲线,你能从表格中得到哪些信息?

类似的,在生活中你还见过哪些图像?

.

高教社

动 脑思考

探索新 知

解析法:用一个等式表示两个变量的函数关系(解析式) . 优点:简明、全面地概括了变量间的关系,可以通过解析式 求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
在匀速直线运动中,位移与时间之间有确定的依赖关系, 比如当速度为5m/s时,位移s=5t.
.

正方形的周长C和边长a之间也有类似的依赖关系, 能写出它们的函数关系式吗?

高教社

巩固知识

典型例题

例4 文具店内出售某种铅笔,每支售价为0.12元,应付款额是购买铅 笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示 这个函数. 解 (1)依照售价,分别计算出购买1-6支铅笔所需款数, 列成下面的表格,即为函数的列表法表示.
.

x(支) y(元)

1

2

3

4

5

6

高教社

巩固知识

典型例题

例4 文具店内出售某种铅笔,每支售价为0.12元,应付款额是购买铅 笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示 这个函数. 解 (2)以上表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角

坐标系中依次作出点(1 , 0.12)、(2 , 0.24)、(3 , 0.36)、
.

(4,0.48)、(5,0.6)、(6,0.72),则函数的图像法表示如图所示.

高教社

巩固知识

典型例题

例4 文具店内出售某种铅笔,每支售价为0.12元,应付款额是购买铅 笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示 这个函数.



(3)关系式y=0.12 x就是函数的解析式,
故函数的解析法表示为 y=0.12 x, x ∈{1,2,3,4,5,6} .

总结演示

高教社

动 脑思考

探索新 知

作函数图像的一般方法——描点法
1.确定函数的定义域;

2.选取自变量x的若干值(一般选取某些代表性的值)计算出它们
对应的函数值y,列出表格; 3.以表格中x值为横坐标,对应y值为纵坐标,在直角坐标系中描出 相应的点(x,y); 4.根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线.

高教社

巩固知识

典型例题

例5

利用“描点法”作出函数 y ?

x 的图像,并判断

点(25,5)是否为图像上的点 (求对应函数值时,精确 到 0.01)
分析 按照“描点法”的步骤进行.
.

演 示

高教社

应用知识

强化练习

教材练习3.1.2

1.判定点 M1 ?1, ?2 ? , M 2 ? ?2,6? 是否在函数 y ? 1 ? 3x 的图像上. 2.市场上土豆的价格是 3.2 元/kg ,应付款额 y 是购买土豆数 量 x 的函数.请分别用解析法和图像法表示这个函数.
.

高教社

归纳小结

强化思想
函数概念

计算函数值 求定义域 判断相同函数

函数表示法

作函数图像

高教社

归纳小结

强化思想

学习效果

学习行为
学习方法

高教社

第三章 函数
3.2 函数的性质

高教社

创设情景 兴趣导入 问题1
观察天津市2008年11月29日气温时段图,此图反映了0时至 14时的气温T(℃)随时间t( h )变化的情况.

(1)

时,气温最低为
时,气温最高为




(2)随着时间的增加,在时间段 0时到6时的时间段内,气温 不断地 ;6时到14时

这个时间段内,气温不断

高教社



创设情景 兴趣导入 问题2
下图为股市中,某股票在半天内的行情,请描述此股票的涨幅情况.

高教社

动脑思考 单调性

探索新知

函数值随着自变量的增大而增大(或减小)的性质 增函数
有f(x1)<f(x2)成立.
把函数叫做区间 (a,b)内的增函数 设函数y=f(x)

减函数
有f(x1)>f(x2)成立.
把函数叫做区间 (a,b)内的减函数

在区间(a,b)
内有意义. 对于任意的

区间(a,b)叫做函
数的增区间.

x1,x2∈ (a,b)
当x1<x2时

区间(a,b)叫做函
数的减区间.

高教社

动脑思考

探索新知 减函数

增函数

演 示
随着自变量的增加 函数值不断增大 图像呈上升趋势.
高教社

随着自变量的增加 函数值不断减小 图像呈下降趋势.

动脑思考

探索新知

函数单调性的判定方法

判定函数的单调性有两种方法: 借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定. .

高教社

巩固知识

典型例题

例1 小明从家里出发,去学校取书,顺路将自行车送还王伟同学. 小明骑了30分钟自行车,到王伟家送还自行车后,又步行10分钟 到学校取书,最后乘公交车经过20分钟回到家.这段时间内,小 明离开家的距离与时间的关系如图所示.指出这个函数的单调性. 观察函数图像

.

高教社

巩固知识 例2

典型例题

判断函数y=4x-2的单调性.

分析 对于用解析式表示的函数,其单调性可以通过定义来 判断,也可以作出函数的图像,通过观察图像来判断.无论 采用哪种方法,都要首先确定函数的定义域. 观察函数图像

.

高教社

理论升华

整体建构

由一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性
y y

1.当k>0时,图像从左至右
是 的,函数是单调 函数;

x

x

2.当k<0时,图像从左至右 是 的,函数是单调 函数.

由反比例函数 y ?
.

k (k≠0)的图像分析其单调性 x

1.当k>0时,在各象限中y值分别随x值的 增大而 ,函数是单调 函数;

2.当k<0时,在各象限中y值分别随x值的
高教社

增大而

,函数是单调

函数.

应用知识

强化练习

教材练习3.2.1
1.已知函数图像如下图所示.

.

(1)根据图像说出函数的单调区间以及函数在 各单调区间内的单调性; (2)写出函数的定义域和值域.
高教社

创设情景 兴趣导入 问题
如图所示:
P3

P2

P1

点P(3,2)关于x 轴的对称点是点P1,其坐标为
点P(3,2)关于y 轴的对称点是点P2,其坐标为 点P(3,2)关于原点O 的对称点是点P3,其坐标为


; .

演 示
高教社

动脑思考 点的对称

探索新知

一般地,设点P(a,b)为平面上的任意一点,则
(1)点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b);
. (2)点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b);

(3)点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为(-a,-b).

高教社

巩固知识

典型例题

例3 (1)已知点P(?2,3),写出点P关于x轴的对称点的坐标;

(2)已知点P(x,y),写出点P关于y轴对称点的坐标与关于原点O
的对称点的坐标; (3)设函数y=f(x,y),在函数图像上任取一点P(a,f(a)),写出点P 关于y轴的对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标.
.

分析

利用三种对称点的坐标特征进行研究即可.
点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b);

点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b);
点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为(-a,-b).

高教社

应用知识

强化练习

教材练习3.2.2

1.求满足下列条件的点的坐标: (1)与点 ? ?2,1? 关于 x 轴对称; (2)与点 ? ?1, ?3? 关于 y 轴对称;
.

(3)与点 ? 2, ?1? 关于坐标原点对称; (4)与点 ? ?1,0? 关于 y 轴对称.
高教社

创设情景 兴趣导入 问题1 观察下列图形的是否具有对称性:

演 示
高教社

创设情景 兴趣导入 问题2
观察下列函数的图像的是否具有对称性,如果有关于

什么对称?

如果沿着y轴对折,那么对折后 y轴两侧的图像完全重合.

如果将图像沿着坐标原点旋转180°, 旋转前后的图像完全重合. 这时称函数图像关于坐标原点对称.

这时称函数图像关于y轴对称.

y轴叫做这个函数图像的对称轴. 原点O叫做这个函数图像的对称中心.
高教社

动脑思考

探索新知

函数y=f (x)
对任意的x∈D,都有 ? x ∈ D

f (?x)=f (x) 图像关于y轴对称
. 称函数为偶函数.

f (-x)=-f (x) 图像关于原点对称 称函数为奇函数.

不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 如果一个函数是奇函数或偶函数, 那么,就称此函数具有奇偶性.
高教社

动脑思考

探索新知

函数奇偶性的判断

(1)求出函数的定义域,看其是否满足对任意的x∈D,都有-x ∈ D, 如果存在?x ∈ D,则函数肯定是非奇非偶函数; (2)分别计算出f(x)与f(?x),然后根据它们的关系判断函数的奇偶性.
.

用图像法表示的函数,可以通过对图像对称性的观察判断函数是否 具有奇偶性.

演 示
高教社

巩固知识

典型例题

例 4 判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? x3 ; (2) f ? x ? ? 2x2 ? 1 ; (3) f ? x ? ? x ; (4) f ? x ? ? x ? 1 .
分析 依照判断函数奇偶性的基本步骤进行. 解(4) f ? x ? ? x ? 1 的定义域为 ? ??, ?? ? , 3
解 (2) f ? x ? f ?2x2? x 的定义域为 ?? ??, ?? ?, (1)函数 ? x ? ? 1 的定义域为 ??, ?? ? ,
. 是关于原点对称的区间, (3) f ? x ? ? x 的定义域是 ?0, ?? ? ,



且 f ? ?x? ? ? ?x ? ? 1 ? ?x ? 1 ,

是关于原点对称的区间, 是关于原点对称的区间,

由于 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,并且 f ? ? x ? ? f ? x ? , 所以函数 f ? x ? ? x ? 1 是非奇非偶函数.
高教社

且 f ? ?x ? ? 2??x ? ?? 1 ? ?x2 f??1 ? ,? x ? , ? ? ? x ? ?x3 2 ? x ? f 所以函数 ?f? x ? 是奇函数. 所以 f ? x ? ? 2x ? 1 是偶函数.

不是一个关于原点对称的区间, 32

所以函数 f ? x ? ? 2 x 是非奇非偶函数. 3

应用知识

强化练习

教材练习3.2.2
2.判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? x ;

1 (2) f ? x ? ? 2 ; x (3) f ? x ? ? ?3x ? 1 ;
(4) f ? x ? ? ?3x2 ? 2 .

高教社

归纳小结

强化思想
几何对称

函数性质

图像特征

性质判断

高教社

归纳小结

强化思想

学习效果

学习行为
学习方法

高教社

第三章 函数
3.3 函数的实际应用举例

高教社

创设情景 兴趣导入 加强节水意识 某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准:
用水量 收费/(元/m3) 污水处理费/(元/ m3) 不超过10 m3 部分 1.30 0.30 超过10 m3 部分 2.00 0.80

那么,每户每月用水量x(m3)与应交水费y (元) 之间的关系是否可以用函数解析式表示出来?

高教社

创设情景 兴趣导入
用水量 收费/(元/m3 ) 污水处理费/(元/ m3) 不超过10 m3 部分 1.30 0.30 超过10 m3 部分 2.00 0.80

由表中看出,在用水量不超过10(m3)的部分和用水量 超过10(m3)的部分的计费标准是不同的.因此,需要 分别在两个范围内进行研究.
用水量

x/m

3

0 ? x ? 10

x ? 10

水费

y /元
高教社

y ? ?1.3 ? 0.3? x

y ? 1.6 ?10 ? ? 2.0 ? 0.8? ? ? x ? 10 ?

创设情景 兴趣导入
用水量

x/m

3

0 ? x ? 10

x ? 10

水费

y /元

y ? ?1.3 ? 0.3? x

y ? 1.6 ?10 ? ? 2.0 ? 0.8? ? ? x ? 10 ?

书写解析式的时候,必须要指明是哪个范围的解析式.

0 ? x ? 10, ?1.6 x, y ? f ? x? ? ? ?2.8 x ? 12, x ? 10.
高教社

动脑思考

探索新知

分段函数
在自变量的不同取值范围内,有不同的对应法则, 需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数,

简称分段函数.

分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是
几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内 有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.
高教社

动脑思考

探索新知

定义域
自变量的各不同取值范围的并集.

函数值
求分段函数的函数值时,应该首先判断点所 属的取值范围,然后再把点代入到相应的解析式 中进行计算.

高教社

巩固知识

典型例题

例1

?2 x ? 1, ? 设函数 y ? f ? x ? ? ? 2 ?x , ?

x ? 0, x ? 0.

(1)求函数的定义域; (2)求 f ? 2? , f ? 0? , f ? ?1? 的值.

自变量的各 不同取值范 围的并集

首先判断x所属的 取值范围,再把x 代入到相应的解析

式中进行计算
高教社

演 示

应用知识

强化练习

教材练习3.3

1.设函数

? 2 x ? 1, ? y ? f ? x? ? ? 2 ?1 ? x , ?

?2 ? x ? 0, 0 ? x ? 3.

(1)求函数的定义域; (2)求 f ? 2? , f ? 0? , f ? ?1? 的值.

高教社

动脑思考

探索新知

分段函数作图法
在同一个直角坐标系中,要依次作出自变量的各个 不同的取值范围内相应的图像,从而得到函数的图像.

高教社

巩固知识

典型例题

例2

? x ? 1, 作出函数 y ? f ? x ? ? ? ? x ? 1,

x ? 0, 的图像. x …0.

解 作出 y ? x ? 1 的图像,取 x ? 0 的部分; 作出 y ? x ? 1 的图像,取 x …0 的部分; 由此得到函数的图像.

高教社

应用知识

强化练习

教材练习3.3

? 2 x ? 1, ? 1.设函数 f ? x ? ? ? 1 ? x2 , ? ? 作出函数的图像.

?2 ? x ? 0, 0 ? x ? 3.

高教社

巩固知识
例3

典型例题

某城市出租汽车收费标准为:当行程不超过3km时,收费7元;

行程超过3km,但不超过10km时,在收费7元的基础上,超过3km 的部分每公里收费1.0元;超过10km时,超过部分除每公里收费1.0 元外,再加收50﹪的回程空驶费.试求车费y(元)与x(公里)之 间的函数解析式,并作出函数图像. 收费标准依行车的公里数分为3种情况.
路程 x (公里) 车费 y (元)

0? x? 3

3 ? x ? 10

x ? 10

高教社

巩固知识
路程 x (公里) 车费 y 7 (元)

典型例题
x ? 10

0? x? 3

3 ? x ? 10

7 ? ? x ? 3?

7 ? ?10 ? 3? ? 1.5 ? x ? 10?

故 y 与 x 之间的函数解析式为
0 ? x ? 3, ? 7, ? y ? ? 4 ? x, 3 ? x ? 10, ?1.5 x ? 1, x ? 10. ?
高教社

巩固知识

典型例题

故 y 与 x 之间的函数解析式为
0 ? x ? 3, ? 7, ? y ? ? 4 ? x, 3 ? x ? 10, ?1.5 x ? 1, x ? 10. ?

高教社

应用知识

强化练习

教材练习3.3

2. 我国国内平信计费标准是:投寄外埠平信, 每封信的质量不超过 20g,付邮资 0.80 元;质 量超过 20g 后,每增加 20g(不足 20g 按照 20 g 计算)增加 0.80 元.试建立每封平信应付的 邮资 y (元)与信的质量 x (g)之间的函数关 系(设 0 ? x ? 60 ) ,并作出函数图像.
高教社

归纳小结

强化思想
分段函数

图 像

定义域 函数值

综合应用

高教社

归纳小结

强化思想

学习效果

学习行为
学习方法

高教社

再 见

高教社


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