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高考数学考前60天冲刺50题【六大解答题】圆锥曲线专练



高考数学考前 60 天冲刺 50 题【六大解答题】
圆锥曲线 1..如图,在平面直角坐标系 x O y 中。椭圆 C
: x
2

? y

2

?1

的右焦点为 F ,右准线

2

为l 。 (1)求到点 F 和直线 l 的

距离相等的点 G 的轨迹方程。 (2)过点 F 作直线交椭圆 C 于点 A , B ,又直线 O A 交 l 于点 T ,若 O T 线段 A B 的长; (3)已知点 M 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , x 0
? 0

????

??? ? ? 2O A

,求

,直线 O M 交直线
??? 2 ?

x0 x 2

? y 0 y ? 1 于点 N

,且

和椭圆 C 的一个交点为点 P ,是否存在实数 ? ,使得 O P 求出实数 ? ;若不存在,请说明理由。

???? ???? ? ? ?OM ?ON ?

,若存在,

y

T A O F B
l

x

第 18题 图

2.设 A、B 分别为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a , b ? 0 )

的左、右顶点,椭圆长半轴长等于焦

距,且 x ? 4 是它的右准线, (1) 求椭圆方程; (2) 设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任一点,若直线 AP、BP 分别与椭圆交 于异于 A、B 两点 M、N,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内.

y M A O N
3.如图, 已知椭圆
1
x a
2 2

P x

B

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的长轴为 A B ,

过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直.直线 ( 2 ? k ) x ? (1 ?

2 k ) y ? (1 ? 2 k ) ? 0 ( k ? R )
? 3 2

所经过的

定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率 e (1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, P H
Q

.

? x

轴, H 为垂足,延长 H P 到点

使得 H P

? PQ

,连结 A Q 延长交直线 l 于点 M , N 为 M B 的中点.试判断直线 Q N y
Q

与以 A B 为直径的圆 O 的位置关系.

M
N

P

A

O

H

B

x

l

4.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 2

,且经

过点 M ? 4 ,1 ? ,直线 l : y ? x ? m 交椭圆于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,试问 k M A ? k M B 是否为定值?并说明理由。

5.已知椭圆的焦点 F1 ? 1, 0 ? , F 2 ? ? 1, 0 ? , P ? 0 , 过
?

?

1 ? ? 2 ?

作垂直于 y 轴的直线被椭圆所截

线段长为

6

,过 F 1 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点.
??? ? ??? ? ???? P B ? t P F1

(I)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在实数 t 使 P A ? 不存在,说明理由. ,若存在,求 t 的值和直线 l 的方程;若

2

6.已知椭圆 C

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为

1 2

,以原点为圆心,椭圆的短半

轴为半径的圆与直线 x ?

y ?

6 ? 0

相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直

线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 O A , O B 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。
??? ??? ? ?

7.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0?

的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直
? 4x

角三角形,直线 x

? y ? b ? 0

是抛物线 y 2

的一条切线.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 S ( 0 , ?
1 3 )

的动直线 L 交椭圆 C 于

A.B 两点.问:是否

存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求点 T 坐标; 若不存在,说明理由。

8.设椭圆 C

:

x a

2 2

? y

2

? 1( a ? 0 )

的两个焦点是 F1 ( ? c , 0 ) 和 F 2 ( c , 0 ) ( c

? 0)

, 且椭圆 C 上

的点到焦点 F2 的最短距离为 3 ? 2 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l : y ? k x ? m ( k ? 0 ) 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,线段 MN 垂直平 分线恒过点 A(0,-1) ,求实数 m 的取值范围。

3

9.已知椭圆 C 距离为

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的短轴长等于焦距,椭圆

C 上的点到右焦点 F 的最短

2 ?1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 E ( 2 ,0 ) 且斜率为 k
M
(k ? 0)

的直线 l 与 C 交于 M 、N 两点,P 是点

关于 x 轴的对称点,证明: N 、 F 、 P 三点共线.

1 3 10.椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 .点 P(1, )、A、B 2 2 在椭圆 E 上,且→+→=mOP(m∈R). PA PB → (1)求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率; (2)当 m=-3 时,证明原点 O 是△PAB 的重心,并求直线 AB 的方程.

11.已知抛物线 y 线于 A ,
B

2

? 4x

,点 M

(1 , 0 )

关于 y 轴的对称点为 N ,直线 l 过点 M 交抛物

两点.
NB

(1)证明:直线 N A ,

的斜率互为相反数;

(2)求 ? A N B 面积的最小值; (3)当点 M 的坐标为 ( m , 题(不必说明理由) :
0)

,(m

? 0

且m

? 1)

.根据(1) (2)推测并回答下列问

4

12.已知椭圆 E:

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>o)的离心率 e=

2 2

,且经过点(

6

,1) O ,

为坐标原点。 (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)圆 O 是以椭圆 E 的长轴为直径的圆,M 是直线

x=-4 在 x 轴上方的一点,过 M 作圆 O 的两条切线,
切点分别为 P、Q,当∠PMQ=60°时,求直线 PQ 的方程.

13.设抛物线 C1:x 2=4 y 的焦点为 F,曲线 C2 与 C1 关于原点对称. (Ⅰ) 求曲线 C2 的方程; (Ⅱ) 曲线 C2 上是否存在一点 P (异于原点) 过 , 点 P 作 C1 的两条切线 PA,PB,切点 A,B, 满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差 中项?若存在,求出点 P 的坐标;若不存 在,请说明理由.

14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y 中 , 已 知 圆
C 2 : ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4
2 2

C 1 : ( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

和 圆



(1)若直线 l 过点 A ( 4 , 0 ) ,且被圆 C 1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2) P 为平面上的点, 设 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1 和
l2

,它们分别与圆 C 1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2

截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。
5

15.已知,椭圆 C 过点 A (1,

3 2

)

,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如 果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相 反数,证明直线 EF 的斜率为定值, 并求出这个定值。

16.已知双曲线 E :

x

2

?

y

2

?1

的左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆

24

12

心,圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (Ⅲ) 在平面上是否存在定点 P ,使得对圆 C 上任意的点 G 有 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
GF GP ? 1 2

?若存在,

17. 椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0

)的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,右顶点为 A ,
???? ???? ?

P

为椭圆 C 上任意一点.已知 P F1 ? P F 2 的最大值为 3 ,最小值为 2 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y
? kx ? m

与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右

顶点) ,且以 M N 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的 坐标.

18. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 合.
6

x

2

?

y

2

? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重

4

3

(1)求抛物线 D 的方程; (2)已知动直线 l 过点 P?4,0 ? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.

?i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长;
?ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为
定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由.

19.已知圆 C1 的方程为 x 2

? ( y ? 2 ) ? 1 ,定直线
2

l 的方程为 y

? ? 1 .动圆

C 与圆

C1 外切,且与直线 l 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (II)斜率为 k 的直线 l 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P,过点 P 作直线 l 的垂线恰好经过点 A(0,6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q,记 S 为 ? POQ (O 为坐标原点)的面积,求 S 的值.

20.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 经过点 M (

3 2

,

6)

,它的焦距为 2 ,它的左、

右顶点分别为 A 1 , A 2 , P1 是该椭圆上的一个动点(非顶点) ,点 P 2 是点 P1 关于 x 轴的对称点,直线 A 1 P1 与 A 2 P 2 相交于点 E . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程. (Ⅱ)求点 E 的轨迹方程.

21.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e =

2 ,椭圆上的点到 2

焦点的最短距离为 17

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相 2

???

???

异两点 A、B,且 A P = ? P B . (1)求椭圆方程;
y

(2)若

T A O F B
l

x



1 8 题



,求 m 的取值范围.

22. 设抛物线 M 方程为 y 2 与抛物线 M 的 一个交点, | PF
|? 5

? 2 px ( p ? 0 )

, 其焦点为 F, a , b )( a P (

? 0)

为直线 y

? x

(1)求抛物线的方程; (2)过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,试问在抛物线 M 的准线上是否 存在一点 Q,使得 ? QAB 为等边三角形,若存在求出 Q 点的坐标,若不存在请说明理由.

23.已知点 R ( ? 3 , 0 ) , P 在 y 轴上, Q 在 x 轴的正半轴上, M 在直线 PQ 上, 点 点 点 且满足 2 P M
???? ? ???? ? ? ??? ???? ? ? ? 3M Q ? 0, R P ? P M ? 0

.

(Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) A ( x 1 , y 1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) 为轨迹 C 上两点, x 1 >1, 设 且 使 AB
? ? AN

y 1 >0, N (1 , 0 )

, 求实数 ? ,

,且

AB ?

16 3

.
|? | A C |? 7 2 , | B C |? 2

| 24.如图, ? A B C 中, A B 在

C , B 、 为焦点的椭圆恰好过 A C 以

的中点 P . (1)求椭圆的标准方程;
8

(2)过椭圆的右顶点 A 1 作直线 l 与圆 E

: ( x ? 1) ? y
2

2

? 2

相交于 M 、 N 两

点,试探究点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧吗?若能,求出 直线 l 的方程;若不能,请说明理由.
y A P x B O C

25.如图所示, F 是抛物线 y 2

? 2 px ( p ? 0 )

的焦点,点 A ( 4 , 2 ) 为抛
PA ? PF

物线内一定点,点 P 为抛物线上一动点,

的最小值为

y P A(4,2) x

8. (1)求抛物线方程; (2)若 O 为坐标原点,问是否存在定点 M ,使过点 M 的动直线 与抛物线交于 B , C 两点,且以 BC 为直径的圆恰过坐标原点, 若 存在,求出定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

O

F

26.已知椭圆
3? 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为

2

,3 ?

2

2



(1)求椭圆的方程; (2) 如果直线 x
? t ( t ? R ) 与椭圆相交于 A , B ,, , C ( ?30) 若 (,0 D 3)

, 证明直线 C A 与

直线 B D 的交点 K 必在一条确定的双曲线上; (3)过点 Q (1 , 0 ) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与椭圆交于 M 、 N 两点,与 y 轴交于 点 R ,若 R M
???? ? ???? ? ? ?MQ

,RN

????

???? ? ? NQ

,证明: ?

? ?

为定值。

27.已知抛物线 C:y 2 =4x, 是 C 的焦点, F 过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A, 两点, B O 为坐标原点。
9

(1)求 OA · OB 的值; (2)设 AF = ? (3)在(2)的条件下若 S≤
5

FB

,求△ABO 的面积 S 的最小值;

,求 ? 的取值范围。

28. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 合.

x

2

?

y

2

?1

的中心,焦点与该椭圆的右焦点重

4

3

(1)求抛物线 D 的方程; (2)已知动直线 l 过点 P ? 4 , 0 ? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.
? i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长;
? ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为

定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由.

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