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2004年高考福建卷理科数学试题及答案[1]



2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

朱琳

2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 (

1

? i 10 ) 的值是 1? i
C.-32 D.32





A.-1 B.1 2.tan15°+cot15°的值是 A.2 B.2+ 3

( C.4 D.



4 3 3

3.命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件; 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1 ] ∪[3,+∞ ) .则 A. “p 或 q”为假 C.p 真 q 假 B. “p 且 q”为真 D.p 假 q 真 ( )

4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若 △ABF2 是真正三角形,则这个椭圆的离心率是 A. ( D. )

3 2 3 3

B.

2 3

C.

2 2

3 2

5.已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有下列命题: ①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; ④若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β . 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3





6.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每 班安排 2 名,则不同的安排方案种数为 A. A6 C 4
2 2

( C. A6 A4
2 2



B.

1 2 2 A6 C 4 2

D. 2 A6

2

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题 7.已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f—1(x),则函数 y= f—1(1-x)的图象是

朱琳 ( )

8.已知 a、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a,(b-2a) ⊥b,则 a 与 b 的夹角是





2? 5? C. D. 3 6 1 1 1 9.若(1-2x)9 展开式的第 3 项为 288,则 lim ( ? 2 ? ? ? n ) 的值是 n?? x x x 1 2 A.2 B.1 C. D. 2 5

? A. 6

? B. 3





10.如图,A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点, AB=2,BC=4,∠ABC=60°,O 为球心,则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是( ) A.arcsin 3
6

B.arccos 3
6

C.arcsin

3 3

D.arccos

3 3

11.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则(



? ? )<f(cos ) 6 6 2? 2? C.f(cos )<f(sin ) 3 3
A.f(sin

B.f(sin1)>f(cos1) D.f(cos2)>f(sin2)

12.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流 的没岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离 比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上 选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运 货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公 路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km, 那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(2 7 -2)a 万元 C.(2 7 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 3 +3) a 万元

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于 .
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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

朱琳

14.设函数 f ( x) ? ?

? 1 ? x ? 1 ( x ? 0) ? 在 x=0 处连续,则实数 a 的值为 x ( x ? 0) ? ?a

.

15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相 互之间没有影响.有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14. 其中正确结论的序号是 (写出所有正 确结论的序号). 16.如图 1,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各 切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时,其容积最大. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= a · b ,其中向量 a =(2cosx,1), b =(cosx, (Ⅰ)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

?

?

?

?

3 sin2x),x∈R.

? ? , ],求 x; 3 3 ? ? (Ⅱ)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c =(m,n)(|m|< )平移后得到函数 y=f(x)的图象, 2
求实数 m、n 的值.

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题, 乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才 算合格. (Ⅰ)求甲答对试题数ξ 的概率分布及数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

朱琳

19. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 S—ABC 中,△ ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC , SA=SC=2 3 ,M、N 分别为 AB、SB 的中点. (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角 N—CM—B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次 性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为 第一年)的利润为 500(1+

1 )万元(n 为正整数). 2n

(Ⅰ)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行 技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超 过不进行技术改造的累计纯利润?

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题 21. (本小题满分 14 分) 已知 f(x)=

朱琳

2x ? a (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2 1 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得 x

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)=

不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 如图,P 是抛物线 C:y=

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q. 2
| ST | | ST | 的取 ? | SP | | SQ |

(Ⅰ)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,试求 值范围.

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

朱琳

2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题 参考答案
一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B 二、13.4 5 14.1/2 15.1,3 16.2/3

三、 17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技 能,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题设,f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+

? ). 6

由 1+2sin(2x+ ∵-

3 ? ? )=1- 3 ,得 sin(2 x + )=- . 2 6 6

? ? ? ? 5? ? ? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- , 3 3 2 6 6 3 6 ? 即 x=- . 4
(Ⅱ)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象, 即函数 y=f(x)的图象. 由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+ ∵|m|<

? ? ,∴m=,n=1. 2 12

? )+1. 12

18.本小题主要考查概率统计的基础知识,运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ 的概率分布如下: ξ P 0 1 2 3

1 30

3 10

1 2

1 6

甲答对试题数ξ 的数学期望 Eξ =0×

1 3 1 1 9 +1× +2× +3× = . 30 10 2 6 5

(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则 P(A)=
1 3 C 62 C 4 ? C6 60 ? 20 2 = = , 3 C10 120 3

1 C82 C 2 ? C 83 56 ? 56 14 P(B)= = = . 3 C10 120 15

因为事件 A、B 相互独立, 方法一: ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题 P( A ? B )=P( A )P( B )=1-

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2 14 1 )(1- )= . 3 15 45

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1-P( A ? B )=1-

1 44 = . 45 45

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 方法二: ∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

44 . 45

P=P(A· B )+P( A ·B)+P(A·B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)+P(A)P(B) =

2 1 1 14 2 14 44 × + × + × = . 3 15 3 15 3 15 45
44 . 45

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

19.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查 空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)取 AC 中点 D,连结 SD、DB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SD 且 AC⊥BD, ∴AC⊥平面 SDB,又 SB ? 平面 SDB, ∴AC⊥SB. (Ⅱ)∵AC⊥平面 SDB,AC ? 平面 ABC, ∴平面 SDB⊥平面 ABC. 过 N 作 NE⊥BD 于 E,NE⊥平面 ABC, 过 E 作 EF⊥CM 于 F,连结 NF, 则 NF⊥CM. ∴∠NFE 为二面角 N-CM-B 的平面角. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面 ABC. 又∵NE⊥平面 ABC,∴NE∥SD. ∵SN=NB,∴NE=

1 1 SD= 2 2

SA2 ? AD 2 =

1 2

12 ? 4 = 2 ,且 ED=EB.

在正△ABC 中,由平几知识可求得 EF= 在 Rt△NEF 中,tan∠NFE=

1 1 MB= , 4 2

EN =2 2 , EF

∴二面角 N—CM—B 的大小是 arctan2 2 . (Ⅲ)在 Rt△NEF 中,NF= EF ? EN =
2 2

3 , 2

∴S△CMN=

1 3 CM·NF= 2 2

3 ,S△CMB=

1 BM·CM=2 3 . 2

设点 B 到平面 CMN 的距离为 h,

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

朱琳

∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面 CMB,∴

1 1 S△CMN·h= S△CMB·NE, 3 3

∴h=

S ?CMB ? NE 4 2 4 2 = .即点 B 到平面 CMN 的距离为 . S ?CMN 3 3

解法二: (Ⅰ)取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面 ABC,∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A(2,0,0) ,B(0,2 3 ,0) ,C(-2,0,0) , S(0,0,2 2 ) ,M(1, 3 ,0),N(0, 3 , 2 ). ∴ AC =(-4,0,0) , SB =(0,2 3 ,2 2 ) , ∵ AC · SB =(-4,0,0) · (0,2 3 ,2 2 )=0, ∴AC⊥SB. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 CM =(3, 3 ,0) , MN =(-1,0, 2 ).设 n=(x,y,z)为 平面 CMN 的一个法向量,

CM ·n=3x+ 3 y=0,
则 取 z=1,则 x= 2 ,y=- 6 ,

MN ·n=-x+ 2 z=0,
∴n=( 2 ,- 6 ,1), 又 OS =(0,0,2 2 )为平面 ABC 的一个法向量, ∴cos(n, OS )=

1 . | n | ? | OS | 3
=

n ? OS

∴二面角 N-CM-B 的大小为 arccos

1 . 3

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)得 MB =(-1, 3 ,0) ,n=( 2 ,- 6 ,1)为平面 CMN

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题 的一个法向量, ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=

朱琳

| n· MB | 4 2 = . |n| 3

20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识,考查运用数学知识 解决实际问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题设,An=(500-20)+(500-40)+?+(500-20n)=490n-10n2;

1 1 1 500 )+(1+ 2 )+?+(1+ n )]-600=500n- n -100. 2 2 2 2 500 (Ⅱ)Bn-An=(500n- n -100) -(490n-10n2) 2 500 50 =10n2+10n- n -100=10[n(n+1) - n -10]. 2 2 50 因为函数 y=x(x+1) - n -10 在(0,+∞)上为增函数, 2 50 50 当 1≤n≤3 时,n(n+1) - n -10≤12- -10<0; 8 2 50 50 当 n≥4 时,n(n+1) - n -10≥20- -10>0. 16 2
Bn=500[(1+ ∴仅当 n≥4 时,Bn>An. 答: 至少经过 4 年, 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯 利润. 21.本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类 讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.

4 ? 2ax ? 2 x 2 ? 2( x 2 ? ax ? 2) 解: (Ⅰ)f'(x)= = , ( x 2 ? 2) 2 ( x 2 ? 2) 2
∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 ? (x)=x2-ax-2, 方法一: ①



?

?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? -1≤a≤1, ? ?? (?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0

∵对 x∈[-1, 1], f(x)是连续函数, 且只有当 a=1 时, f' (-1)=0 以及当 a=-1 时, f' (1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二: ① ? ?2

?a ? ?0 ? ?? (?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0

或 ?2

?a ? ?0 ? ?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0

0≤a≤1 或 -1≤a≤0 -1≤a≤1. ∵对 x∈[-1, 1], f(x)是连续函数, 且只有当 a=1 时, f' (-1)=0 以及当 a=-1 时, f' (1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}.
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? ?

2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

朱琳

(Ⅱ)由

2x ? a 1 = ,得 x2-ax-2=0, 2 x ?2 x
2

∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,
2 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a ? 8 .

∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a ? 8 ≤3.
2

要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. ② 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: ② ? g(-1)=m2-m-2≥0,g(1)=m2+m-2≥0, ? m≥2 或 m≤-2. 所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时, ② ? m>0,g(-1)=m2-m-2≥0 或 m<0,g(1)=m2+m-2≥0 ? m≥2 或 m≤-2. 所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本 思想和综合解题能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意 x1≠0,y1>0,y2>0. 由 y=

1 2 x, 2



得 y'=x. ∴过点 P 的切线的斜率 k 切= x1, ∴直线 l 的斜率 kl=-

1 1 =- , k 切 x1

∴直线 l 的方程为 y- 方法一:

1 1 2 x1 =- (x-x1), x1 2

联立①②消去 y,得 x2+ ∵M 是 PQ 的中点 ∴ x0=

2 x-x12-2=0. x1

x1 ? x 2 1 1 1 =- ,y0= x12- (x0-x1) x1 x1 2 2

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

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消去 x1,得 y0=x02+

1 2 x0
2

+1(x0≠0),

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 方法二: 由 y1=

1 2 x0
2

+1(x≠0).

x ? x2 1 2 1 x1 ,y2= x22,x0= 1 , 2 2 2

得 y1-y2= 则 x0=

1 2 1 2 1 x1 - x2 = (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2), 2 2 2

y1 ? y 2 1 =kl=, x1 ? x 2 x1

∴x1=-

1 , x0

将上式代入②并整理,得 y0=x02+

1 2 x0
2

+1(x0≠0),

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+

1 2 x0
2

+1(x≠0).

(Ⅱ)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b). 分别过 P、Q 作 PP'⊥x 轴,QQ'⊥y 轴,垂足分别为 P' 、Q' ,则

|b| |b| | ST | | ST | | OT | | OT | ? ? ? . ? ? | SP | | SQ | | P ?P | | Q ?Q | | y1 | | y 2 |



y=

1 2 x , y=kx+b 消去 x,得 y2-2(k2+b)y+b2=0. 2



则 y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2. 方法一: ∴

1 1 | ST | | ST | ? ? |b|( ? )≥2|b| y1 y 2 | SP | | SQ |

1 1 =2|b| =2. y1 y 2 b2

∵y1、y2 可取一切不相等的正数, ∴

| ST | | ST | ? 的取值范围是(2,+ ? ). | SP | | SQ |

方法二:

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2004 年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题

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y ? y2 2(k 2 ? b) | ST | | ST | =|b| 1 =|b| . ? y1 y 2 | SP | | SQ | b2

当 b>0 时,

| ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) 2 k 2 =b = = +2>2; ? | SP | | SQ | b b b2

| ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) 当 b<0 时, =-b = . ? | SP | | SQ | ?b b2
又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0, 于是 k2+2b>0,即 k2>-2b. 所以

| ST | | ST | 2(?2b ? b) > =2. ? | SP | | SQ | ?b 2k 2 可取一切正数, b

∵当 b>0 时,



| ST | | ST | 的取值范围是(2,+ ? ). ? | SP | | SQ |

方法三: 由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP, 即

y 2 ? b y1 ? b = . x2 x1

则 x1y2-bx1=x2y1-bx2,即 b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).

1 2 1 2 x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 1 2 2 于是 b= =- x1x2. x 2 ? x1 2

1 1 | ? x1 x 2 | | ? x1 x 2 | x x |b| | ST | | ST | | b | 2 2 ? ∴ = = + = | 2 | + | 1 | ≥2. ? x1 x2 | SP | | SQ | | y1 | | y 2 | 21 21
∵|

x2 | 可取一切不等于 1 的正数, x1



| ST | | ST | ? 的取值范围是(2,+ ? ). | SP | | SQ |

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