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山东省济南市历城二中(51级)2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文



历城二中 51 级高二上学期期中考试 2015-11 文科数学
本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

7.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 公差 d≠0, 若 S11 ? 132 , 则正整数 k 的值 ( a3 ? ak ? 24 , A.9 B.10 C.11 D.12



8.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使在 C 塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的 仰角为 60°, 再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D, 测得∠BDC=45°, 则塔 AB 的高度为 ( )

第 ? 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知 p: 2 ? 2 ? 5; q : 3 ? 2, 则下列判断错误的是 A. “p ? q”为真,“?q”为假 C. “p ? q”为假,“?p”为假 ( ) A.10 米 9.定义 B. 10 2米 C. 10 3米 D. 10 6米

B. “p ? q”为假,“?p”为真 D. “p ? q”为假,“p ? q”为真
?

为 n 个正数 p1 , p2 ,...... pn 的“均倒数” .若已知数列 ?an ? 的前 n 项的“均倒 ,又 bn ?

2.在 ?ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 45 ,如果三角形有两解,则 x 的取值范围是( A. 2 ? x ? 2 2 B. x ? 2 2 C.

)

数”为

an ? 1 ,则 4
B. C.

=(



2?x?2


D. 0 ? x ? 2

A.
2

D. )

3.已知 ?1, a, b, c, ?4 成等比数列,则实数 b 为( A.4 B. ?2 C. ? 2

10.不等式 2x ? axy ? y ? 0 对任意 x∈[1, 2]及任意 y∈[1, 3]恒成立, 则实数 a 取值范围是 (
2

D.2 ) D.7 ,则

A. a ≤

B. a ≥

C. a ≥

D. a ≥

4.若实数 x,y 满足 x ? y ? 4 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值是( A.12 B.4 C.8

第 ? ? 卷(非选择题,共 100 分) ) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

5.两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? ,其前 n 项和分别为 Sn , Tn ,且 A. B. C.

a2 ? a20 ?( b7 ? b15

“ ?x ? R , 使得 x 2 ? 1 ? 1 ”的否定为______________. 11. 命题
12.在△ABC 中, a ? 1, B ? 450 , S?ABC ? 2 ,则 b =_______________. 13.已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (3, +∞) , 则关于 x 的不等式

D.

6.如果实数 x、y 满足条件

,那么 2x﹣y 的最大值为(



ax ? b ? 0 的解集是_____. x?2

A.2

B.1

C.﹣2

D.﹣3
1

n 14.已知数列 ?an ? 满足 an an +1 =(-1) (n ? N * ) , a1 ? 1 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则

19.已知函数 f ( x ) = (sin x﹣cos x+ (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

2

2

)﹣

sin (x﹣

2

) ,x∈R.

S2015 ? _____.
15.下列命题:
2 2 ①设 a , b 是非零实数,若 a ? b ,则 ab ? a b ;②若 a ? b ? 0 ,则

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,且 f ( B) ?1 ,b ? 2 ,求△ABC 的面积的最大值.

1 1 ? ; a b

③函数 y=

的最小值是 2;④若 x、y 是正数,且 + =1,则 xy 有最小值 16; 20.徐州、苏州两地相距 500 千米,一辆货车从徐州匀速行驶到苏州,规定速度不得超过 100 千米/ 小时. 已知货车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 v (千 米/时)的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a 元( a >0) . (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

⑤已知两个正实数 x,y 满足 + =1,则 x+y 的最小值是 4 2 . 其中正确命题的序号是________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,请写在答题卡指定区域内.
2 q :a 2 ? 8a ? 20 ? 0 . 16.给定两个命题,p : 对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立; 如果 p ? q

为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

17.锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? ( a , 3b) 与 n ? (cos A,sin B ) 平行. (1)求角 A ; (2)若 a ? 21.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (1)求 a2 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; 18.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列,且 a1 ? a3 ? 3 . (1)求 ?an ? 的公比 q 及通项公式 an ; (2) bn ? (3)在数列 ?bn ? 中, bn ?

??

?

2 ,求 ?ABC 周长的取值范围.

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

4n ? 2 ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ?an ?1

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an
2

高二上学期数学期中考试卷答案 1-5 CABCD
2

又C ?

6-10

BADCB 12. 5 13.

2? 2? ? ? B ,所以 sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 3 sin( B ? ) 3 3 6

11. ?x ? R , 都有 x ? 1 ? 1 ④
2 16.解:命题 p :ax +ax+1>0 恒成立

??3, 2?

14. -1

15. ②

因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 所以 l ?

?
6

?B?

?
2

,B?

?

? ? 2? ?? , 6 ?3 3

? ?3 ? ? , sin B ? sin C ? ? ,3 ? , ? ?2 ?

?

6+ 2,3 2 ? ?.


18.解: (1)依题意有 ∵a1≠0,∴2q +q=0,∵q≠0,∴q=﹣ ,
2

当 a=0 时,不等式恒成立,满足题意) 当 a≠0 时, ∴0≤a<4 命题 q :a +8a﹣20<0 解得﹣10<a<2 ∵ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题∴ p, q 有且只有一个为真,
2

,解得 0<a<4 ∴ ,解得 a1=4.∴ .

(2)bn=

=



?0 ? a ? 4 当 p 真 q 假时 ? 得2 ? a ? 4 ?a ? ?10或a ? 2
当 p 假 q 真时 ?

+?+n×(﹣2) ﹣2Tn= [1×(﹣2)+2×(﹣2) +3×(﹣2) +?+n×(﹣2) ], 两式相减,得: 3Tn= [1+(﹣2)+(﹣2) +?+(﹣2)
2 n﹣1 2 3 n

n﹣1

],

? a ? 0或a ? 4 得 ?10 ? a ? 0 ? ?10 ? a ? 2

所以﹣10<a<0 或 2≤a<4

﹣n×(﹣2) ]= [

n

],

?? ? 17.解:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0
由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? ∴ = .

3 ,由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

19.解: (1)f(x)= ( 令﹣ +2kπ ≤2x﹣ ≤

﹣cos2x)﹣

[1﹣cos(2x﹣

)]=

sin2x﹣ cos2x=sin(2x﹣ ,k∈Z,

) ,

(II)由正弦定理知

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

2 3 2

?

2 6 3

+2kπ ,k∈Z,得到 kπ ﹣ ,kπ +

≤x≤kπ +

则函数 f(x)的单调递增区间[kπ ﹣ (2)由 f(B)=1,得到 sin(2B﹣
2 2 2

],k∈Z; = ,即 B= ,

l ? a?b?c ? 2 ?

2 6 ?sin B ? sin C ? 3

)=1,∴2B﹣
2 2

由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 4=a +c ﹣ac≥2ac﹣ac=ac,即 ac≤4,
3

∴S△ABC= acsinB=

ac≤

,则△ABC 的面积的最大值为

. ,全程运输成本为

?

a a an ?1 an ? ? 1 ( n ? 2 )又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1

20.解: (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 y=a× +0.01v ×
2

=

?. (4 分) ,v∈(0,100]?. (6 分) ,当且仅当 ,即 v=10 时,

a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

故所求函数及其定义域为 (2)依题意知 a,v 都为正数,故有 等号成立?(8 分) ①若 ②若

?

an ? 1 ? 1 ? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? N * ? n

(3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N * 则 bn ? 时,全程运输成本 y 最小. (10 分)

4n ? 2 4n ? 2 1 1 ? 2 ? 2( 2 ? ); 2 an ?an?1 n ? (n ? 1) n (n ? 1)2

≤100,即 0<a≤100 时,则当 v=

>100,即 a>100 时,则当 v∈(0,100]时,由对号函数的单调性知函数在 v∈(0,100]

1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2( 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ) ? 2(1 ? ) 2 1 2 2 3 n (n ? 1) (n ? 1) 2

上单调递减,也即当 v=100 时,全程运输成本 y 最小.?. (12 分) 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当 0<a≤100 时行驶速度应为 v= 驶速度应为 v=100 千米/时.?(13 分) 千米/时;当 a>100 时行

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 3 3 2Sn 1 2 2 ? an ?1 ? n ? n ? , n ? N ? . (2)解:? n 3 3
21.解:(1) 解:?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3



? 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

4



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