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3.1.2上课两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)


3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式

复习

cos (? +? ) =cos? cos? - sin?sin?

cos(? -? ) ? cos? cos? + sin? sin?

sin(? ? ? ) ? ?

sin(? ? ? ) ? ?

二、公式的推导

sin?? ? ? ?
?? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ?

sin(? ? ? ) ? ?

用 ? ? 代?

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?

?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos ? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? -

两角和与差的正弦公式

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? )

sin(? ? ? ) ? ?

用 ? ? 代?

sin(? ? ? ) ? sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? cos ? sin(?? )

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? )

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan ?、tan ? 的形式呢?

两角和的正切公式:

sin(α+β) tan(? ? ? ) ? cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ ? cosαcosβ- sinαsinβ

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ

记:T(? + ? )

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
上式中以??代?得
tan ? ? tan(? ? ) tanα- tanβ tan[? ? (? ? )] ? = 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tanαtanβ

tanα- tanβ ∴tan(α-β)= 1+ tanαtanβ 记T(? - ? )

两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。
即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 ? tan( ? ? ) 不 导公式来解。如:已知tan ? =2,求 2 能用 T
(? ? ? )

2?注意公式的结构,尤其是符号。

三 、公式应用
练习:求sin105 、sin15 、tan15 .
解: sin 105? ? sin (1) (60? ? 45?)
= sin 60? cos 45? ? cos 60? sin 45? 3 2 1 2 6? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4
? ? ?

6? 2 (2) 15 ? sin 4
?

解: tan15?=

tan(45??30?)=
o o

tan45 - tan30 ? o o 1+ tan45 tan30
3 1? 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 ? 6 3 3? 3 1? 3

三 、公式应用
3 ? 例1:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4

?

?

3 解:由sin? =- ,? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有 sin(

?
4

? ? ) ? sin

?

4 4 2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos ? ? cos

?

sin ?

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10
4 ? tan ? ? 1 tan(? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan 4 3 ? ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4

?

tan ? ? tan

?

例2:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) cos 20。cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15
解:(1)由公式得: sin72。 cos 42。? cos 72。 sin 42。 ? sin(72。? 42。 ? sin 30。? ) 1 ; 2

(2) cos 20。 cos 70。? sin 20。 sin 70。 ? cos(20。? 70。 ? cos 90。? 0 )
1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 练习课本 (3) ? 。 1- tan15 1- tan 45。 tan15。 P131 2、3、 ? tan(45。? 15。 ? tan 60。? ) 3

4、5

引例

把下列式子化为一个角的三角函数形式

3 1 sin ? ? cos ? 2 2

化 a sin x ? b cos x 为一个角的三角函数形式

a sin x ? b cos x

? ? a b ? a ?b ? sin x ? cos x ? 2 2 a 2 ? b2 ? a ?b ? a cos ? ? a 2 ? b2 令 b sin ? ? a 2 ? b2
2 2

? ? ?

? a 2 ? b2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b2 sin ? x ? ? ? ? a 2 ? b2 cos ? x ? ? ?

统一函数名:

a sin x ? b cos x ? a ? b sin( x ? ? )
2 2

其中

a a 2 ? b2

? cos ? ,

b a 2 ? b2

? sin? .

练习

把下列各式化为一个角的三角函数形式

(1) 2 ? sin ? -cos ? ?
(2) 3 sin x ? cos x;

2 6 ?? ? ?? ? (3) sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? 4 ?4 ? 4 ?4 ?

练习

4 ? 1 练 2、已知 tan( ? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 5 4 4 求 tan( ? ?

?
4

)的值.

五.小结

作业:
5—10

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 课本P137
tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? P146 1、2、4、 7
tan(α+β)=

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

变形:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )



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