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双曲线及其标准方程



1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

2. 引入问题:<

br />
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

动动手:

①如图(A), |MF1|-|MF2|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

请思考?
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a(小于|F1F2| )的轨迹是什么?
双曲线的一支

2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数2a(等于|F1F2| )的轨迹是什么?
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线

3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数2a(大于|F1F2| )的轨迹是什么?
不存在

相关结论:
1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时, P点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2||= 2a时,M点轨迹是与F2对 应的双曲线的一支; 当|MF2| - |MF1|= 2a时,M 点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时,M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。

3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在
4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时,M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。

双曲线的定义: 平面内与两定点F1,F2的距离的差 的绝对值等于常数2a (小于 F1F2 ) 的 点的轨迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点 |F1F2| -----焦距 y ||MF1| - |MF2|| = 2a
注意:对于双曲线定义须 抓住两点:一是平面内的 动点到两定点的距离之差 的绝对值是一个常数;二 是这个常数要小于|F1F2|
M
M

. F

1

o

. F

2

x

1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点o为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦
距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
FF 11

y

y
M

O

o

常数为2a
3.列式. |MF1|

F F22 x x

- |MF2|= ? 2a



(x+c)2 + y2 -

_ 2a (x-c)2 + y2 = +

4.化简.

( x ? c) 2 ? y 2 ?

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2a

?

( x ? c)

2

? y

2

?

2

? ? 2a ?

?

( x ? c)

2

? y

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a

( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a2 ? b2

x a2

2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象 是什么?标准方程怎样求?

y
F2

焦点在y轴上的双曲线 的标准方程

o
F1

x

F1(0,-c),
2 2

F2(0,c)
2

,

c ? a ?b

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? ? 1 2 2 a b
2 2 2

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

a ? b ? c (a ? 0, b ? 0)
问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

定义 图象

MF1 ? MF2 ? 2a, ? 0 ? 2a ? F1F2

?

方程

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

焦点 a.b.c 的关系

F ? ?c,0?
c ? a ?b
2 2 2

F ? 0, ?c ?
谁正谁是 a

[练习] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴;求a、b、c各为多少?

y x (1) ?
2

2

25
2

16
2

?1

y x ( 2) ?
25
2 2

2

2

16

?1

(3)4 x ? 9 y ? 36

(4)4 x ? 9 y ? ?36

x

2

9

y ?

2

4

?1

y ( 4) ?x
4

2

2

9

?1

? 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 3 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 5

(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 4或16

| |PF1| - |PF2| | =

6

例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,b=4,焦点在x轴上; (2)a= 2 5 ,经过点A(2,5),焦点在y轴上。 解 (1)依题意a=3,b=4,焦点在x轴上,所以双曲线 方程为 x 2 y2

9

?

16

?1

(2)因为焦点在y轴上,所以双曲线方程可设为

因为a= 所以

2 5

y x ? 2 ?1 2 a b
且点A(2,5)在双曲线上,

2

2

?a ? 2 5 ? ? 25 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

解得:

b

2

=16

所以,所求双曲线的方程为:

y x ? ?1 20 16

2

2

(3) 经过点(3,-4√2),(9/4,5)的 双曲线方程。

例3:当k为何値时,关于x、y的方程 (k-5 )x2-(k-1)y2=k2- 6k+5 所表示的曲线是
(1)、椭圆 (2)、双曲线

(3)、圆

x2 y2 练习1:如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,

求m的取值范围.

分析: 由 (2 ? m)(m ? 1) ? 0
得?1? m ? 2

变式:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围是_________________.

x y 练习. 3 ? m ? 5是方程 ? 2 ?1 m?5 m ?m?6 表示双曲线的(_________) A A.充分非必要条件 C .充要条件 B.必要非充分条件 D.不充分也不必要条件

2

2

课堂练习:
1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3),动点P满足 |PF1| - |PF2|= 10,则P点的轨迹是( D ) A、双曲线 C、直线
2 2 2

B、双曲线一支 D、一条射线

x y 2、若椭圆 ? ? 1 (a ? 0)与双曲线 a 4 x y
2 2

3

?

2

? 1 的焦点相同,则

a = 3

例 4. 相距 2000m的两个哨所 A、 B,听到远 处传来的炮弹的爆炸声。已知当时的声速是 330m/s, 在 A 哨所听到爆炸声的时间比在 B 哨 所听到时迟 4s ,试判断爆炸点在什么样的曲 线上,并求出曲线的方程。

解(1)设爆炸点P,由已知可得 |PA|—|PB|=330 4=1320 因为 |AB|=2000>1320, 又 |PA|>|PB|, 所以点 P 在 以A、B为焦点的双曲线的靠近 B处的那支上。

?

(2)建立直角坐标系xOy,使 A、B两点 在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合. 设爆炸点P的坐标为(x,y),则
PA ? PB ? 680 ? 0,

即2a=1320,a=660.2c=2000,c=1000 b2=c2-a2=564400 所求双曲线的方程为:

x y ? ? 1( x ? 0) 435600 564400

2

2

课堂小结:
?

本节课学习了双曲线的定义、 图象和标准方程,要注意使用类 比的方法,仿照椭圆的定义、图 象和标准方程的探究思路来处理 双曲线的类似问题。

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程

y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2



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