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华师大二附中高三数学周练



华师大二附中高三数学周练(三) 一、填空题: (每小题 4 分,共 48 分) 1. tg( arcsin ) =

1 2

1 2

.

2.已知 O 是坐标原点,经过 P(3,2) 且与 OP 垂直的直线方程是________________. 3 . 已 知 两 点 M ( ? 2 , 0 ) , N ( 2 , 0 ) , 点 P 满 足 PM ? PN ? 12 , 则 点 P 的 轨 迹 方 程 为 ____________.

?x ? y ? 5 ? 4.右图中阴影部分的点满足不等式组 ?2 x ? y ? 6 ,在这些点中,使 ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数 K=6x+8y 取得最大值的点的坐标是 . 5.袋中有相同的小球 15 只,其中 9 只涂白色,其余 6 个涂红色,从袋 内任取 2 只球,则取出的 2 球恰好是一白一红的概率是 .

6.已知 ? ? R ,则直线 x sin? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是_______________. 7.函数 f ( x) ? ?

? x 2 ( x ? 0) ?? x( x ? 0)

的反函数 f (x)=

-1

.

8.甲船自港 A 沿南 15°东的方向航行,此时乙船位于南 45°西的方向,且距 A 港 7 海里, 且 乙 船 正 驶 向 A 港 。 已 知 甲 、 乙 两 船 的 航 速 之 比 为 2:1 , 则 两 船 的 最 近 距 离 为 . 9.直线 Ax ? By ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? Ax ? By ? 0 的位置关系是 . 10.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB, CD ? r AB ? s AC, 则 r ? s 的值是 11.设 S n ? .

1 1 1 1 3 ? ? ??? , 且 S n ? S n ?1 ? ,则 n 的值为 2 6 12 n(n ? 1) 4
16 20

.

2 2 12.F1、F2 是双曲线 x ? y ? 1 的焦点,点 P 在双曲线上,若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,

则点 P 到焦点 F2 的距离等于 二、选择题: (每小题 4 分,共 16 分) 13.有以下关于满足 A

.

?

B 的非空集合 A,B 的四个命题:

①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件; ②若 x ? A,则 x∈B 是不可能事件; ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件 ④若 x ? B,则 x ? A 是必然事件。 上述命题中正确的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 14.直线 y=x+m 与曲线 1 ? y 2 ? x 有两个不同交点,则实数 m 的取值范围为( A、(- 2 , 2 )
5 6



B、(- 2 ,-1]
7 4

C、(- 2 ,1]

D、[1, 2 )

15.在(1+x) +(1+x) +(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数是通项公式为 an=3n-5 的数列的 ( ) A、第 3 项 B、第 11 项 C、第 18 项 D、第 20 项 x x 16. 设非零实常数 a、 、 满足 a、 同号, 、 异号, 16. b c b b c 则关于 x 的方程 a .4 +b.2 +c=0( )

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(A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根

三、解答题:(共 86 分) 17.(12 分) 解关于 x 的不等式:mx -3(m+1)x+9>0(m∈R) . 18.(12 分)祖亘原理的推论:夹在两条平行直线之间的两个平面封闭图形被平行于这两条直 线的任意直线所截,如果截得的两条线段长度之比为常数 k ,那么这两个平面图形的面积之 比为 k . (1)试利用此推论证明:由函数 y ? 2 x2, ? 2 ( x ? 1)2 , ? 2 的图像及 x 轴 y y
2

2 围成的图形(如图)的面积 S 等于长、宽分别为 1、 的矩形的面积。
(2) 选择一个可以求出面积的平面图形, 利用上述推论证明椭圆 面积是 ? a b 。
x2 a2

y 2 1

?

y2 b2

? 1的

O

1

2

x

19.(14 分)已知数列 {a n } , {bn } 满足 a1 ? 2, a 2 ? 4, bn ? an?1 ? a n , bn?1 ? 2bn ? 2 . (1)求证:数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; (2) 求 a n . 20.(14 分)一片森林面积为 a,计划每年砍伐一批木材,每年砍伐面积的百分比相等,则 砍伐到原面积的一半时,所用时间是 T 年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积 的 25%.已知到今年止,森林剩余面积为原来的 (1) 问到今年止,该森林已砍伐了多少年? (2) 问今后最多还能砍伐多少年? 21.(16 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中: (1)在棱 AD 上有一点 P,当

2 . 2

PA 为多少时,使二面角 D1—PC—D PD

的大小等于 60°? (2)在(1)的条件下,求直线 A1B1 与平面 CD1P 所成的角.

22.(18 分)已知函数 y ?

1 1 log 2 (n ? N *) n x

(1)当 n=1,2,3,…时,把已知函数的图像和直线 y=1 的交点的横坐标依次记为 a1,a2, a3…,求证 a1+a2+a3+…+an<1。 (2)对于每一个 n 的值,设 An、Bn 为已知函数的图像上与 x 轴距离为 1 的两点,求证:n 取 任意一个正数时, AnBn 为直径的圆都与一条定直线相切, 以 并求出这条直线的方程和切点的 坐标。

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2007 华东师大二附中高三数学周练(三)参考答案 一、填空题 1. 2 ? 3 ; 6. 0 , [
?
6 ] ?[ 5? ,? ) ; 6

2. 3 x ? 2 y ? 13 ? 0 ;

3. x 2 ? y 2 ? 16 ;

4.(0,5) 10. 0;

5.

18 35

7.?

?? x ?? x

(x ? 0) (x ? 0)

8. 21 (海里)

9. 相切;

11. 6;

12.17 二、选择题 13.C 三、17.(1)m=0 时 (2)m≠3 时

14.B; 15.D; -3x+9>0 ∴x<3

16.D 当 m<0 时 1
0

3 ? x ? 3 ; m>0 时 当 m 3 3 0 0 时, x ? 或x ? 3 2 m=1 时,x≠3 3 m>1 时,x>3 或 x ? m m 2 18. 解: (1)取长、宽分别为 1、 的矩形 OABC ,设 l 是平行于 x 轴的任 m( x ?
意直线,在两个图形上截得的线段长都等于 1,故面积相等。 (2)取半径等于 b 的圆 x 2 ? y 2 ? b 2 ,设直线 l : y ? m (?b ? m ? b) , 与圆截得的弦长为 2 长度之比为
a b

3 )( x ? 3) ? 0 m

0<m<1

y

b 2 ? m 2 ,与椭圆截得的弦长

2a b

b2 ? m2 ,
O

,故椭圆面积为 ? a b 。
bn ? 2 bn ? 2

19. (1)由 bn?1 ? 2bn ? 2得 bn?1 ? 2 ? 2bn ? 4 ? 2

?{bn ? 2} 是公比为

2 的等比数列.

(2)由(1)可知 bn ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 . ? bn ? 2 n?1 ? 2. 则 a n?1 ? a n ? 2 n?1 ? 2 令 n=1,2,…n-1,则 a 2 ? a1 ? 2 2 ? 2, a3 ? a 2 ? 2 3 ? 2, ? a n ? a n?1 ? 2 n ? 2 , 各式相加得 a n ? (2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? 2(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ? 2n ? 2 ? 2 n?1 ? 2n . 20 . 设 每 年 砍 伐 面 积 的 百 分 比 为 b (0 ? b ? 1) . 则
lg(1 ? b) ? lg T 1 2 .
a(1 ? b) T ? 1 a, ∴ 2 (1 ? b) T ? 1 , 2

(1) 设到今年为止,该森林已砍伐了 x 年,∴
1 T T 2 ? x ? ,表明已砍伐了 年. x ? 2 ? lg 2 2 T 2 lg

a(1 ? b) x ?

2 2 ,于是 a ? x lg(1 ? b) ? lg 2 2

(2) 设从开始砍伐到至少保留到原面积的 25%, y 年. 需 ∴ ∴
1 1 y ? 2 ? lg T 4 lg

a(1 ? b) y ?

1 1 a ? y lg(1 ? b) ? lg , 4 4

? y ≤ 2,因此今后最多还能砍伐的年数为 2T ?

T 3T ? . 2 2

21. (1) 2 ? 1 22.解:(1)y=1 时

(2)30°

1 x ? ( )n 2

即 an ? ( ) ?
n

1 2

1 1 n ?1 ?( ) 2 2

1 1 (1 ? n ) 1 1 2 ? 1? 1 ? 1 ∴数列{an}是 为首项, 为公比的等比数列。 1+a2+…+an= 2 ∴a 1 2 2 2n 1? 2

第 3 页 共 4 页

1 ,1) B n (2 n ,-1) | An Bn |? (2 n ? 2 ? n ) 2 ? 4 ? 2 n ? 2 ? n n 2 1 2n ? n 2 ,0) ∴以 Cn 为圆心,|AnBn|为直径的圆必与直线 y 轴相切,这条直 ∴AnBn 的中点 C n ( 2
(2) An ( 线的方程为 x=0,切点为(0,0)

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