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高二理科数学(选修2-2、2-3)综合测试题


高二理科数学(选修 2-2、2-3)综合测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数

1 ? 2i 的共轭复数为 3 ? 4i 1 2 1 2 A. ? ? i , B. ? ? i , 5 5 5 5

C.

1 2 ? i 5 5

D.

1 2 ? i 5 5

2.在 100 件产品中,有 3 件是次品,现从中任意抽取 5 件,其中至少有 2 件次品的取法 种数为
2 3 A. C3 C97

2 3 2 B. C3 C3 + C3C97 97

C. C100 - C3C97

5

1

4

D. C100

5

5 - C97

3.5 个人排成一排,其中甲与乙不相邻,而丙与丁必须相邻,则不同的排法种数为 A.72 B.48 C.24 D.60 4.若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim
k ?0

A.2
10

B.1

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? 2k 1 C. D. 无法确定 2

1? ? 5. ? x ? ? 展开式中的常数项为 x? ?
(A)第 5 项 (B)第 6 项 (C)第 5 项或第 6 项 (D)不存在 6.袋中有 5 个红球,3 个白球,不放回地抽取 2 次,每次抽 1 个.已知第一次抽出的是红 球,则第 2 次抽出的是白球的概率为 (A)

3 7

(B)

7.曲线 y ? sin x(0 ? x ? A . 1

3? ) 与两坐标轴所围成图形的面积为 2 5 B . 2 C . D. 3 2

3 8

(C)

4 7

(D)

1 2

8. 4 名学生被中大、华工、华师录取,若每所大学至少要录取 1 名,则共有不同的录取 方法 A.72 种 B.24 种 C.36 种 D.12 种 9.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为

2 3 和 ,两个零件是 3 4

否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 (A)

1 2

(B)

5 12

(C)

1 4

(D)

1 6

10.已知随机 量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X>4)= 。 A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 11.定积分 A

? ?2
4

?(
0

1

2 x ? x 2 ? x)dx 等于(


) C

? ?1 2

? ?1 4
1



? ?1 2

12.在曲线 y ? x 2 ?x ? 0? 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 则这个切线方程是.

1 , 12

A.y=-2x-1

B.y=-2x+1

C.y=2x-1

D.y=2x+1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.同时抛掷 5 枚均匀的硬币 80 次, 5 枚硬币正好出现 2 枚正面向上, 枚反面向上的 设 3 次数为ξ ,则ξ 的数学期望是__________ 14.某班从 6 名班干部中(其中男生 4 人,女生 2 人)选 3 人参加学校的义务劳动,在男 生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率是___________ 15.若

1 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 2

16、如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻 的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同 的涂色方法共有 种(用数字作答). 三、解答题:(17 题 10 分,18~22 每题 12 分) 17.命题 p: m ? 2i

? ? 2 ? i ( i 是虚数单位);
2 3 3 x ? mx 2 ? 2m ? )x 在(-∞,+∞)上单调递增”. ( 3 2

命题 q:“函数 f(x) ?

若 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,求 m 的范围。

18.一个碗中放有 10 个筹码,其中 8 个都标有数字 2,2 个都标有数字 5,某人从此碗中 随机不放回地抽取 3 个筹码,若他获得的奖金等于所抽 3 个筹码所标的数字之和,求他 获得奖金数额的数学期望。

2

19. 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x2 ? 1)( x ? a) . (1) 若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在[-

3 ,1]上的极大值和极小值; 2

(2)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围.

20.数列

。 ?an ? 满足 S n ? 2n ? a(n ? N *) n

(Ⅰ)计算 a1,a2,a3,a4 ; (Ⅱ)猜想通项公式 an ,并用数学归纳法证明。

3

21.在盒子里有大小相同,仅颜色不同的乒乓球共 10 个,其中红球 5 个,白球 3 个,蓝 球 2 个。现从盒子中每次任意取出一个球,若取出的是蓝球则结束,若取出的不是蓝 球则将其放回箱中, 并继续从箱中任意取出一个球, 但取球次数最多不超过 3 次。 求: (1)取两次就结束的概率; (2)正好取到 2 个白球的概率;

ax3 1 2 ? bx ? cx 在点 A(x, y )处的切线斜率为 k(x),且 k(-1)=0.对一切 3 2 1 2 实数 x,不等式 x≤k(x)≤ ( x ? 1) 恒成立( a ≠0). 2 (1) 求 k (1)的值;
22. 设曲线 y ? (2) 求函数 k(x)的表达式; (3) 求证:

2n 1 1 1 ? ??? > k (1) k (2) k ( n) n ? 2

4

答案
一.选择题: BBCBB ADCBB AC 二.填空题: 2 13.25 14. 15. 5 三.计算题:

b ? ?1

16.630

17.解:命题 p:m>1 或 m<-1, 命题 q:1≤m≤3,------------4 分 由题意 p 真 q 假或 p 假 q 真 当 p 真 q 假时:m<-1 或 m>3 当 p 假 q 真时:m=1 ------------8 分 综上:m<-1 或 m>3 或 m=1 ------------10 分

18.Eξ =7.8
19.解:(Ⅰ)∵ f ?(?1) ? 0 ,∴ 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 .
2 ∴ f ?( x) ? 3x ? 4x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) .

1 3

? 2分

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 3 1 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? . 3

? 4分

3 1 1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (? , 1) , (? , ;单调减区间为 (?1, ) . ? 1) ? 2 3 3 1 f ( x) 在 x ? ?1 取 得 极 大 值 为 f (?1) ? 2 ; f ( x) 在 x ? ? 取 得 极 小 值 为 3 1 50 . ? 8分 f (? ) ? 3 27 (Ⅱ) ∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 . ∵函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ?( x) ? 0 有实数解. ? 10 分
∴ D ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 0 ,∴ a 2 ? 3 ,即 a ? ? 3 或 a ? 因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, 3 ] ? [ 3, ?) . ? ?

3.
? 12 分

, 20 解:(Ⅰ) a1 ? 1 a 2 ?
(Ⅱ)猜想 a n ?

3 7 15 ,a3 ? ,a 4 ? ???????4 分 2 4 8

2n ?1 ,???????6 分 2 n ?1

证明: ① 当 n=1 时,a1=1 猜想显然成立;?????????7 分 ② 假设当 n=k (n ? 1且n ? N *) )时,猜想成立, 即 ak ?

2k ? 1 , S k ? a1 ? a 2 ? ... ? a k ? 2k ? a k , 2 k ?1
5

那么, n ? k ? 1 , 时,ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? 2(k ? 1) ? ak ?1 ? 2k ? ak) (

2k ?1 2 ? k ?1 2 ? ak 2 k ?1 ? 1 2 ? a k ?1 ? ? ? , 2 2 2k ?当n ? k ? 1时猜想成立; ?????????11 分 * 综合①②,当 n ? N 时猜想成立。?????????12 分 1 1 C8 C2 4 1 4 21. 解:(1)取两次的概率 P ?? ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ??5 分 C10 C10 5 5 25 4 答: 取两次的概率为 ??????..6 分 25
(2)由题意知可以如下取球:红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况,?.7 分 所以恰有两次取到白球的概率为

5 3 3 3 3 2 153 ? ? ?3? ? ? ? 10 10 10 10 10 10 1000 153 答: 恰有两次取到白球的概率为 ???????.12 分 1000 1 2 22 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 解 : ( 1 ) 由 x ? k ( x) ? ( x ? 1)得1 ? k (1) ? 1 , 所 以 2 k (1) ? 1 ?????2 分 (2) k ( x) ? y? ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,由 k (1) ? 1 , k (?1) ? 0 得????3 分 P?

?a ? b ? c ? 1 1 1 ? a ? c ? , b ? ????????????????4 分 ? 2 2 ?a ? b ? c ? 0 1 2 1 2 又 x ? k ( x) ? ( x ? 1) 恒成立,则由 ax ? x ? c ? 0(a ? 0) 恒成立得 2 2
? ?a ? 0 ? 1 1 ? ?? ? ? 4ac ? 0 ? a ? c ? ,??????????6 分 4 4 ? 1 ? ?a ? c ? 2 ? 1 1 1 1 2 同理由 ( ? a) x ? x ? ? c ? 0 恒成立也可得: a ? c ? ?????7 分 2 2 2 4 1 1 1 2 1 1 综上 a ? c ? , b ? ,所以 k ( x) ? x ? x ? ??????8 分 4 2 4 2 4 2 2 n ? 2n ? 1 (n ? 1) 1 4 (3) k (n) ? ? ? ? 4 4 k (n) (n ? 1) 2 1 1 1 n 要证原不等式式,即证 2 ? 2 ? ? ? ? 2 2n ? 4 2 3 (n ? 1)
6

因为 所

1 1 1 1 ? ? ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 (n ? 1)


1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1? 1 = n ? 2 ??? ? ? ? ? ??? ? 2 2 2 n ? 2 2n ? 4 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 3 (n ? 1)
所以

2n 1 1 1 ?????????????????12 分 ? ??? ? k (1) k (2) k ( n) n ? 2

本小问也可用数学归纳法求证。证明如下:

n 2 ? 2n ? 1 (n ? 1) 2 1 4 ? ? ? 4 4 k (n) (n ? 1) 2 2 1. 当 n ? 1 时,左边=1,右边= ,左边>右边,所以 n ? 1 ,不等式成立 3 1 1 1 2m ? ?? ? 2. 假设当 n ? m 时,不等式成立,即 k (1) k (2) k ( m) m ? 2 n ? m ?1 当 时 , 左 2 1 1 1 1 2m 4 2m ? 4m ? 4 = ? ??? ? ? ? ? 2 k (1) k (2) k (m) k (m ? 1) m ? 2 (m ? 2) (m ? 2) 2
由 k (n) ?



2m 2 ? 4m ? 4 2(m ? 1) 4 ? ? ?0 2 m?3 (m ? 2) (m ? 2) 2 (m ? 3) 1 1 1 1 2(m ? 1) ? ??? ? ? 所以 k (1) k (2) k (m) k (m ? 1) (m ? 1) ? 3 1 1 1 2n ? ??? ? 即当 n ? m ? 1 时,不等式也成立综上得 k (1) k (2) k ( n) n ? 2


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