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许昌市2015届五校联考高二第三次考试-数学答案



许昌市五校联考高二第三次考试 理科数学参考答案
一、选择题 ADBC 二、填空题 13、 ?2 三、解答题 17.可由绝对值的几何意义或 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 的图象或者绝对值不等式的性质 14.6 15、9 16、(4) CDBA BACC

| x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1| ? | 2 ? x

|?| x ? 1 ? 2 ? x |? 3
得 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 3 ,………… 5 分 ∴ a ? 3 ;…………10 分 (若最终答案为 a ? 3 ,则扣 2 分)
18、(Ⅰ)由正弦定理,得 sin C sin A ? 3 sin A cos C , 因为 sin A ? 0 ,解得 tan C ? 3 , C ?

? . 3

……………… 5 分

(Ⅱ)由 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A ,得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A , 整理,得 sin B cos A ? 3sin A cos A .

? cos A ? 0 ,则 sin B ? 3sin A , b ? 3a .

……………… 8 分

由余弦定理,得 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,解得 a ? 1, b ? 3 .

1 3 3 ?ABC 的面积 S ? ab sin C ? . 2 4

……………… 12 分

19. (12 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m, 4)到其焦点 F 的距离为 (1)求 p 与 m 的值;

17 。 4

(2)若直线 l 过焦点 F 交抛物线于 P,Q 两点,且|PQ|=5,求直线 l 的方程。 解 : (1) 依 题

17 4

=4+

p 2

, ∴

p?

1 2

, x2=y , ∴m2=4 ,

1

m=± 2

…………5 分
1 , 与 x2=y 联 立 , 消 去 x , 得 y24

(2) 依 题 可 设 PQ 的 方 程 为 l : y=kx+

1 2 1 +k )y+ =0, 2 16 1 ∴y1+y2= +k2 2
( k=± 2 ∴直线 l 的方程为 y=2x+ 12 分





|PQ|=

y1+y2+p=1+k2



k2=5-1=4



…………10 分
1 1 或 y= -2x+ , 4 4

…………

20、解:以 C 为原点,CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所 示的坐标系 O - xyz (图略) (1)依题意得 A1 (1,0,2), C (0,0,0), B1 (0,1,2) ,∴ BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2) ∴ BA1 ? CB1 ? 1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ∴ cos ? BA1 , CB1 >=

BA1 ? 6 , CB1 ? 5 ,
………4 分

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 10

(2) 依题意得 A1 (1,0,2), C1 (0,0,2), B1 (0,1,2), N (1,0,1) ∴ C 1M ? ( ,

∴ M( ,

1 1 ,2) , 2 2

1 1 ,0) , C1 N ? (1,0,?1) , BN ? (1,?1,1) 2 2 1 1 ∴ C1 M ? BN ? ? 1 ? ? (?1) ? 1 ? 0 ? 0 2 2 C1 N ? BN ? 1 ? 1 ? 0 ? (?1) ? (?1) ? 1 ? 0
∴ ∴

C1 M ? BN , C1 N ? BN ∴ BN ? C1 M , BN ? C1 N BN ? 平面C1 MN ………8 分

(Ⅲ)

3 3

………12 分(本题不论什么方法,只要是正确的,都给分)

2

? a2 ? 3, 1 21.解:(Ⅰ)由 ? 可得 q ? 3或 , 3 ? S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 13,

因为数列 ?an ? 为递增等比数列,所以 q ? 3 , a1 ? 1 . 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 的等比数列. 所以 an ? 3n ?1 .…………3 分

由点 P (bn , bn ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,所以 bn ?1 ? bn ? 2 . 则数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.则
bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .

………5 分

(Ⅱ)因为 cn ?
1 则 Tn ? 3

bn 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 ? n ?1 ,所以 Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 . an 3 3 3 3 3
1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? n?1 ? n ,…………7 分 1 3 3 3 3 3

两式相减得:
2 2 2 2 2n ? 1 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n 3 3 3 3 3 1 1 …………8 分 [1 ? ( ) n ?1 ] 2n ? 1 1 n?1 2n ? 1 3 3 ? 1? 2? ? n ? 2?( ) ? n . 1 3 3 3 1? 3

所以 Tn ? 3 ?

1 2n ? 1 n ?1 ? 3 ? n ?1 .…………9 分 ? n?2 n ?1 3 2?3 2?3
n?2 n ? 1 2n ? 1 ? 3 ? n?1 ? ? 0, …………10 分 n 3 3 3n

? Tn?1 ? Tn ? 3 ?

? Tn ? T1 ? 1 . 若 Tn. ? 2a ? 1 恒成立,则 1 ? 2a ? 1 ,? a ? 1. ……………12 分

3

?b a ?2 22.解:( )由已知得:a ab?8?3 解得? b?1 ??3分 1 4
2 2

?

x2 所以椭圆方程为: ? y 2 ? 1?? 4分 4

4



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