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河北省唐山市2012届高三第一次模拟考试数学(文)(附答案)



试卷类型:A

唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一次模拟考试 文科数学
说明: 一、本试卷共 4 页,包括三道大题,24 道小题,共 150 分.其中(1)?(21)小题为必做题, (22)?(24)小题为选做题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需 改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

一、选择题:本大题共 12 小题,毎小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求. (1) 复数 (A) 1+2i (2) 函数 = (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i

的定义域为

(A) (-1, 2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1, 2] (3) 己知命题 p: (A) (C) (4) 函数 (B) (D) 的图象可以由函数 (B)向右平移 的图象 个单位得到 ,则 为

(A)向左平移 个单位得到

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(C)向左平移

个单位得到

(D)向右平移

个单位得到

(5) 设变量 x、y 满足约束条件 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5 ,



的最小值为

(6) 等比数列{an}的公比 a>1, (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63

,则

(7)已知某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 (A) (B) (C) 2 (D) 8

(8) 算法如图,若输入 m=210,n= 119,则输出的 n 为 (A) 2 (9) 在 (B) 3 (C) 7 中, (D) 11 ,AB=2, AC=3,则 =

(A) 10 (B) -10 (C) -4 (D) 4 (10) 点 A、B 、C 、D 均在同一球面上,其中 则该球的体积为 (A) (11) 已知 (A) (B) (B) (C) (D) 则集合 等于 是正三角形,AD 丄平面 AD=2AB=6,

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(C) (12) 抛物线 为 (A) (C)

(D) 的焦点为 F,点 A、B 、 C 在此抛物线上,点 A 坐标为(1, 2).若点 F 恰

的重心,则直线 B C 的方程为 (B) (D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,从全班 50 名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10 的样本进行分析.己知抽取的样本中男生人数为 6,则 班内女生人数为_______. (14) 函数 (15) 在数列 (16) (x〉0)的值域是_______. 中, ,则数列的通项 =_______.

的一个顶点 P(7,12)在双曲线 的内心的横坐标为_______.

上,另外两顶点 F1、F2 为该双曲线

的左、右焦点,则

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在Δ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、B 、 C , A=2B, (I )求 cosC 的值; (II)求 的值. (18) (本小题满分 12 分) 某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调 查,右表是在某单位得到的数据(人数). (I )能否有 90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有 关? ( I I ) 从反对“男女同龄退休”的甲、乙等 6 名男士中选出 2 人进行陈述,求甲、乙至少有一 人被选出的概率.

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附: (19) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱. 中,CC1 丄底面 ABC,底面

是边长为 2 的正三角形,M、N、G 分别是棱 CC 1 、AB, BC 的中点. (I )求证:CN//平面 AMB 1 (II)若 ,求证: 平面 AMG.

(20)(本小题满分 12 分) 设函数, (I )当 a=0 时,求曲线 (II )讨论 f(x)的单调性. (24) (本小题满分 12 分) 中心在原点 0,焦点 F1、F2 在 x 轴上的椭圆 E 经过点 C(2, 2),且 (I)求椭圆 E 的方程; ( I I ) 垂直于 O C 的直线 l 与椭圆 E 交于 A 、B 两点,当以 A B 为直径的圆 P 与 y 轴相切 时,求直线 l 的方程和圆 P 的方程. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (25) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 0 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 0 的一个交点为 P.过点 A 作直线交圆 Q 于点交圆 B 于点 M、N. (I )求证:QM=QNI ( I I ) 设圆 0 的半径为 2,圆 B 的半径为 1,当 AM= 时,求 MN 的长. . 在点(1, f(1))处的切线方程;

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(26) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数, ),曲线 C 的极坐标方程为

(I )求曲线 C 的直角坐标方程; ( I I ) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 a 变化时,求|AB|的最小值.

(27) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 (I) 求不等式 . 的解集 S; 有解,求参数 t 的取值范围.

(II) 若关于 x 不等式

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文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷:ADCDC B 卷:BCDAB 二、填空题: (13)20 三、解答题: (17)解: A 2 5 ? ∈(0, ),∴cosB= 1-sin2B= , ?2 分 2 2 5 4 3 ∵A=2B,∴sinA=2sinBcosB= ,cosA=cos2B=1-2sin2B= , ?4 分 5 5 2 5 ∴cosC=cos[?-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=- .?7 分 25 11 5 (Ⅱ)sinC= 1-cos2C= , ?9 分 25 c sinC 11 根据由正弦定理, = = . ?12 分 b sinB 5 (18)解: 25×(5×3-6×11)2 2 (Ⅰ)K = ≈2.932>2.706, 16×9×11×14 由此可知,有 90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关. ?5 分 (Ⅱ)记反对“男女同龄退休”的 6 男士为 ai,i=1,2,?,6,其中甲、乙分别为 a1, a2,从中选出 2 人的不同情形为: a1a2,a1a3,a1a4,a1a5,a1a6, a2a3,a2a4,a2a5,a2a6, a3a4,a3a5,a3a6, a4a5,a4a6, a5a6, ?9 分 共 15 种可能,其中甲、乙至少有 1 人的情形有 9 种, 9 3 所求概率为 P= = . ?12 分 15 5 (19)解: (Ⅰ)设 AB1 的中点为 P,连结 NP、MP. ∥ 1 AA1,NP∥ 1 AA1,∴CM∥NP, ∵CM= = 2 = 2 ∴CNPM 是平行四边形,∴CN∥MP. ∵CN?平面 AMB1,MP?平面 AMB1,∴CN∥平面 AMB1. ?4 分 (Ⅰ)∵B=

DACBA DDCAB

BB CA

(14)(-1,1)

(15)n2

(16)1

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C1 A1

B1

M P

C A

G N

B

(Ⅱ)∵CC1⊥平面 ABC,∴平面 CC1B1B⊥平面 ABC, ∵AG⊥BC,∴AG⊥平面 CC1B1B,∴B1M⊥AG. ?6 分 ∵CC1⊥平面 ABC,平面 A1B1C1∥平面 ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1, 在 Rt△MCA 中,AM= CM2+AC2= 6. 同理,B1M= 6. ?9 分 ∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面 ABC,∴BB1⊥AB, ∴AB1= B1B2+AB2= C1C2+AB2=2 3, 2 ∴AM2+B1M2=AB1,∴B1M⊥AM, ?10 分 又 AG∩AM=A,∴B1M⊥平面 AMG. ?12 分 (20)解: x(x-2) x2 (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)= x,f?(x)=- , e ex 1 1 f(1)= ,f?(1)= , e e 1 1 1 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= (x-1)+ ,即 y= x. ?4 分 e e e (2x-a)ex-(x2-ax+a)ex (x-2)(x-a) (Ⅱ)f?(x)= =- . ?5 分 e2x ex (1)若 a=2,则 f?(x)≤0,f(x)在(-∞,+∞)单调递减. ?7 分 (2)若 a<2,则 当 x∈(-∞,a)或 x∈(2,+∞)时,f?(x)<0,当 x∈(a,2)时,f?(x)>0, 此时 f(x)在(-∞,a)和(2,+∞)单调递减,在(a,2)单调递增. (3)若 a>2,则 当 x∈(-∞,2)或 x∈(a,+∞)时,f?(x)<0,当 x∈(2,a)时, f?(x)>0, 此时 f(x)在(-∞,2)和(a,+∞)单调递减,在(2,a)单调递增. ?12 分 (21)解: x2 y2 (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为 2 + 2=1(a>b>0) ,则 a b 4 4 + =1, ① ?1 分 a2 b2 记 c= a2-b2,不妨设 F1(-c,0),F2(c,0),则 → → → → CF =(-c-2,-2),CF =(c-2,-2),则CF ·CF =8-c2=2,c2=6,即
1 2 1 2

a2-b2=6. 由①、②得 a2=12,b2=6.



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x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 12 6 → → (也可通过 2a=|CF |+|CF |求出 a)
1 2

?4 分

(Ⅱ)依题意,直线 OC 斜率为 1,由此设直线 l 的方程为 y=-x+m, 代入椭圆 E 方程,得 3x2-4mx+2m2-12=0. 由 Δ=16m2-12(2m2-12)=8(18-m2),得 m2<18. 2m2-12 4m 记 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= . ?6 分 3 3 x1+x2 y1+y2 2 2 圆 P 的圆心为( , ),半径 r= |x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2 2 2 2 2 x1+x2 (x1+x2)2 当圆 P 与 y 轴相切时,r=| |,则 2x1x2= , 2 4 2(2m2-12) 4m2 即 = ,m2=9<18. ?9 分 3 9 当 m=3 时,直线 l 方程为 y=-x+3, 此时,x1+x2=4,圆心为(2,1),半径为 2,圆 P 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4; 同理,当 m=-3 时,直线 l 方程为 y=-x-3,圆 P 的方程为(x+2)2+(y+1)2=4. ?12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 BM、BN、BQ、BP. ∵B 为小圆的圆心,∴BM=BN, 又∵AB 为大圆的直径,∴BQ⊥MN, ∴QM=QN. ?4 分 (Ⅱ)∵AB 为大圆的直径,∴∠APB=90?, ∴AP 为圆 B 的切线,∴AP2=AM·AN, ?6 分 由已知 AB=4,PB=1,AP2=AB2-PB2=15, 10 10 10 7 又 AM= ,∴15= ×( +MN),∴MN= . ?10 分 3 3 3 6
P O M B Q N

A

(23)解: 2cosθ (Ⅰ)由 ρ= 2 ,得(ρsinθ)2=2ρcosθ, sin θ 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2x. (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y2=2x,得 t2sin2α-2tcosα-1=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 2cosα 1 t1+t2= 2 ,t1t2=- 2 , sin α sin α ____________ 4cos2α 4 2 ∴|AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2= 4 + 2 = 2 , ? sin α sin α sin α

?4 分

?7 分

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当 α= (24)解:

? 时,|AB|取最小值 2. 2

?10 分

?-x+3,x<-3, ? (Ⅰ)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, ? ?x-3,x>0.
如图,函数 y=f(x)的图象与直线 y=7 相交于横坐标为 x1=-4,x2=10 的两点, 由此得 S=[-4,10].
y 7 6 O
- -

4 3
-3

10

x

?6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)的最小值为-3, 则不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解必须且只需-3+|2t-3|≤0, 解得 0≤t≤3, 所以 t 的取值范围是[0,3]. ?10 分

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