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2010高中数学竞赛标准讲义:第六章:三角函数



2010 高中数学竞赛标准讲义:第六章:三角函数 高中数学竞赛标准讲义:第六章:
一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则 角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对 L 的圆心角叫做一

弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α|= , r 其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合, 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为 r,则正 x y x y 弦函数 sinα= ,余弦函数 cosα= ,正切函数 tanα= ,余切函数 cotα= ,正割函数 sec r r x y r r α= ,余割函数 cscα= . x y 1 1 1 ,sinα= 定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα= ,cosα= ; cot α csc α sec α sin α cos α ;乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα; 商数关系:tanα= , cot α = cos α sin α 平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα; (Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, ?π ? cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin ? ? α ? =cosα, ?2 ? ?π ? ?π ? cos ? ? α ? =sinα, tan ? ? α ? =cotα(奇变偶不变,符号看象限)。 ?2 ? ?2 ? 定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间 π π? 3 ? π ? ? ?2kπ ? 2 ,2kπ + 2 ? 上为增函数,在区间 ?2kπ + 2 ,2kπ + 2 π ? 上为减函数,最小正周期为 2 π . ? ? ? ? π π 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+ 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k π - 时, y 取最小值-1。 2 2 π 对称性:直线 x=k π + 均为其对称轴,点(k π , 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里 k 2 ∈Z. 定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性: π ? ? 直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? kπ + ,0 ? 均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 取 2 ? ? 最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z. π π π 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ≠ kπ+ )在开区间(kπ- , kπ+ )上为增函 2 2 2 π 数, 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+ ,0)均为其对称中心。 2

两角和与差的基本关系式:cos(α ± β)=cosαcosβ m sinαsinβ,sin(α ± β)=sinαcos (tan α ± tan β ) β ± cosαsinβ; tan(α ± β)= . (1 m tan α tan β ) 定理 7 和差化积与积化和差公式: ?α + β ? ?α ? β ? ?α + β ? ?α ? β ? sinα+sinβ=2sin ? ? cos ? ? ,sinα-sinβ=2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?α + β ? ?α ? β ? ?α + β ? ?α ? β ? cosα+cosβ=2cos ? ? cos ? ? , cosα-cosβ=-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 1 1 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)], 2 2 1 1 cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]. 2 2 2 定理 8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, 定理 6 tan2α= 定理 9
2 tan α . (1 ? tan 2 α )

(1 ? cos α ) (1 + cos α ) ?α ? ?α ? 半角公式:sin ? ? = ± ,cos ? ? = ± , 2 2 ?2? ?2? sin α (1 ? cos α ) (1 ? cos α ) ?α ? = tan ? ? = ± = . sin α (1 + cos α ) (1 + cos α ) ?2?
?α ? ?α ? 2 tan? ? 1 ? tan 2 ? ? ? 2 ? , cos α = ?2?, 定理 10 万能公式: sin α = ?α ? ?α ? 1 + tan 2 ? ? 1 + tan 2 ? ? ?2? ?2? ?α ? 2 tan? ? ?2? . tan α = ?α ? 1 ? tan 2 ? ? ?2? 定理 11 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2 ≠ 0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点(a, b a b)的一个角为β,则 sinβ= ,cosβ= ,对任意的角α. 2 2 2 a +b a + b2
asinα+bcosα= (a 2 + b 2 ) sin(α+β). 定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有
a b c = = = 2 R ,其中 a, b, c 分别是角 A, sin A sin B sin C

ω 的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变 换);y=Asin( ω x+ ? )( ω >0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得

B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对 边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 1 y=sin(x+ ? )的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,得到 y=sin ωx ( ω > 0 )

到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( ω x+ ? )( ω , ? >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移

单位得到 y=Asin ω x 的图象。 ? ? π π ?? 定义 4 函数 y=sinx ? x ∈ ?? , ? ? 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函数 ? ? ? 2 2 ?? ? y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 ? ? π π ?? y=tanx ? x ∈ ?? , ? ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π]) ? ? ? 2 2 ?? ? 的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ± arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是 π π {x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa= ;arctana+arccota= . 2 2 π? ? 定理 16 若 x ∈ ? 0, ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2? 二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有 6 个交 点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 ?π ? ? π ? 【解】 若 x ∈ ? , π ? ,则 cosx≤1 且 cosx>-1,所以 cos x ∈ ? ? ,0? , ?2 ? ? 2 ? 所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx). π? ? 若 x ∈ ? 0,? ? ,则因为 2? ? ? 2 ? π π π π 2 sinx+cosx= 2 ? sin x + cos x ? = 2 (sinxcos +sin cosx)= 2 sin(x+ )≤ 2 < , ? 2 ? 4 4 4 2 2 ? ? π π 所以 0<sinx< -cosx< , 2 2 π 所以 cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx). 2 综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

? 个 ω

? cos α ? ? cos β ? 例 3 已知α,β为锐角,且 x·(α+β- )>0,求证: ? ? sin β ? + ? sin α ? < 2. ? 2 ? ? ? ? π π π 【证明】 若α+β> ,则 x>0,由α> -β>0 得 cosα<cos( -β)=sinβ, 2 2 2 cos α π cos β 所以 0< <1,又 sinα>sin( -β)=cosβ, 所以 0< <1, sin β 2 sin α

π

x

x

? cos α ? ? cos β ? ? cos α ? ? cos β ? 所以 ? ? sin β ? + ? sin α ? < ? sin β ? + ? sin α ? = 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π π π π 若α+β< ,则 x<0,由 0<α< -β< 得 cosα>cos( -β)=sinβ>0, 2 2 2 2 cos α π cos β 所以 >1。又 0<sinα<sin( -β)=cosβ,所以 >1, sin β 2 sin α
x 0

x

0

? cos α ? ? cos β ? ? cos α ? ? cos β ? 所以 ? ? sin β ? + ? sin α ? < ? sin β ? + ? sin α ? = 2 ,得证。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx);其次, π 当且仅当 x=kπ+ 时,y=0(因为|2cosx|≤2<π), 2 所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ, m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2 ≠ sin(2cosπ),所以 T0=2π。 4.三角最值问题。
x 0

x

0

已知函数 y=sinx+ 1+ cos 2 x ,求函数的最大值与最小值。 3 ? ?π 【解法一】 令 sinx= 2 cos θ , 1 + cos 2 x = 2 sin θ ? ≤ 0 ≤ π ? , 4 ? ?4 π 则有 y= 2 cos θ + 2 sin θ = 2 sin(θ + ). 4 π 3 π π 因为 ≤ 0 ≤ π ,所以 ≤ θ + ≤ π , 4 4 2 4 π 所以 0 ≤ sin(θ + ) ≤1, 4 3 π 所以当 θ = π ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=0, 4 2 例5 当θ =

π
4

,即 x=2kπ+

π
2

(k∈Z)时,ymax=2.

【解法二】

因为 y=sinx+ 1 + cos 2 x ≤ 2(sin 2 x + 1 + cos 2 x) ,

=2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)),

且|sinx|≤1≤ 1+ cos 2 x ,所以 0≤sinx+ 1+ cos 2 x ≤2, π 所以当 1+ cos 2 x =sinx,即 x=2kπ+ (k∈Z)时, ymax=2, 2 π 当 1+ cos 2 x =-sinx,即 x=2kπ- (k∈Z)时, ymin=0。 2 θ 例 6 设 0< θ <π,求 sin (1 + cos θ ) 的最大值。 2 θ π θ θ 【解】因为 0< θ <π,所以 0 < < ,所以 sin >0, cos >0. 2 2 2 2

所以 sin

θ
2

(1+cos θ )=2sin

θ
2

·cos2
3

θ
2

= 2 ? 2 sin 2

θ
2

? cos 2

θ
2

? cos 2

θ
2



θ θ? ? 2 θ ? cos 2 ? cos 2 ? ? 2 sin 2 2 2 ? = 16 = 4 3 . 2×? 3 27 9 ? ? ? ? ? ?
2 2 θ 4 3 , θ =2arctan 时,sin (1+cos θ )取得最大值 。 2 2 2 2 2 2 9 例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 A+ B A?B A+ B 【解】 因为 sinA+sinB=2sin cos , ① ≤ 2 sin 2 2 2

当且仅当 2sin2

θ

=cos2

θ

, 即 tan

θ

=

sinC+sin

π
3

= 2 sin

C+ 2

π

3 cos C+ 2

C? 2

π

3 ≤ 2 sin

C+ 2

π

3 ,


A+ B?C ? 4

又因为 sin

A+ B + sin 2

π

3 = 2 sin

A+ B+C + 4

π
3 cos

π

由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin 当 A=B=C=

π π ≤4sin , 3 3

3 ≤ 2 sin π ,③ 3

π 3 3 = , 3 2

π 3 3 时,(sinA+sinB+sinC)max= . 3 2 注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西 不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。 sin x cos x 例8 求y= 的值域。 1 + sin x + cos x ? 2 ? 2 π 【解】 设 t=sinx+cosx= 2 ? sin x + cos x ? = 2 sin( x + ). ? ?
? 2 2 ? 4

因为 ? 1 ≤ sin( x +

) ≤ 1, 4 所以 ? 2 ≤ t ≤ 2 . 又因为 t2=1+2sinxcosx,

π

x2 ?1 t ?1 t 2 ?1 所以 sinxcosx= ,所以 y = 2 = , 2 1+ t 2 ? 2 ?1 2 ?1 所以 ≤ y≤ . 2 2 t ?1 因为 t ≠ -1,所以 ≠ ?1 ,所以 y ≠ -1. 2

? 2 +1 ? ? 2 ? 1? 所以函数值域为 y ∈ ?? ,?1? U ? ? 1, ?. ? ? 2 2 ? ? ? ?

例9

已知 a0=1, an=

1 + a n ?1 2 ? 1 a n ?1

(n∈N+),求证:an>

π
2 n+2

.

? π? 【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈ ? 0, ? ,则 ? 2?

an = 因为

1 + tan 2 a n ?1 ? 1 tan a n ?1

=

sec a n ?1 ? 1 1 ? cos a n ?1 a = = tan n ?1 = tan a n . 2 tan a n ?1 sin a n?1
n

a n ?1 1 ? π? ?1? ,an∈ ? 0, ? ,所以 an= a n ?1 ,所以 an= ? ? a 0 . 2 2 ? 2? ?2?

π ?1? ,所以 a n = ? ? · 。 4 4 ?2? π π π 又因为当 0<x< 时,tanx>x,所以 a n = tan n + 2 > n + 2 . 2 2 2 注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 ? π? 另外当 x∈ ? 0, ? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明 ? 2? 是很容易的。 6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( ω x+ ? )(A, ω , ? >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 ? 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然后再 1 保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,得到 y=Asin( ω x+ ? )的图象;也可以由 y=sinx 的图 ω 1 象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 , ω ? 最后向左平移 个单位,得到 y=Asin( ω x+ ? )的图象。 ω 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( ω x+ ? )( ω >0, 0≤ ? ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 ? 3π ? ? π? M? ,0 ? 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ω 的值。 ? 4 ? ? 2? 【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( ω + ? )=sin(- ω x+ ? ),所以 cos ? sinx=0,对 任意 x∈R 成立。 π 又 0≤ ? ≤π,解得 ? = , 2 3 3 ? 3π ? 因为 f(x)图象关于 M ? ,0 ? 对称,所以 f ( π ? x) + f ( π + x) =0。 4 4 ? 4 ? 3 π? ? 3π 取 x=0,得 f ( π ) =0,所以 sin ? ω + ? = 0. 4 2? ? 4 3π π 2 所以 ω = kπ + (k∈Z),即 ω = (2k+1) (k∈Z). 4 2 3
n

又因为 a0=tana1=1,所以 a0=

π

又 ω >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+ 取 k=1 时, ω =2,此时 f(x)=sin(2x+ 取 k=2 时, ω ≥ 综上, ω =

π
2

)在[0,

π
2

]上是减函数;

π
2

)在[0,

π
2

]上是减函数;

10 π π ,此时 f(x)=sin( ω x+ )在[0, ]上不是单调函数, 3 2 2

2 或 2。 3 7.三角公式的应用。

例 11 的值。

已知 sin(α-β)=

5 5 ?π ? ? 3π ? ,sin(α+β)=,且 α-β∈ ? , π ? ,α+β∈ ? ,2π ? ,求 sin2α,cos2β 13 13 ?2 ? ? 2 ?

12 ?π ? 因为 α-β∈ ? , π ? ,所以 cos(α-β)=- 1 ? sin 2 (α ? β ) = ? . 13 ?2 ? 12 ? 3π ? 又因为 α+β∈ ? ,2π ? ,所以 cos(α+β)= 1 ? sin 2 (α + β ) = . 13 ? 2 ? 120 , 所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= 169 cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 1 1 2 A?C 例 12 已知△ABC 的三个内角 A, C 成等差数列, B, 且 , 试求 cos + =? cos A cos C cos B 2 的值。 A?C 【解】 因为 A=1200-C,所以 cos =cos(600-C), 2 1 1 1 1 cos(120 0 ? C ) + cos C 又由于 + = + = cos A cos C cos(120 0 ? C ) cos C cos C cos(120 0 ? C )

【解】

=

= = ?2 2 , 1 1 [cos120 0 + cos(120 0 ? 2C )] cos(120 0 ? 2C ) ? 2 2 A?C A?C 所以 4 2 cos 2 + 2 cos ? 3 2 =0。 2 2 A?C 2 A?C 3 2 解得 cos 或 cos 。 = =? 2 2 2 8 A?C A?C 2 又 cos >0,所以 cos 。 = 2 2 2 例 13 求证:tan20 ° +4cos70 ° . sin 20 ° 【解】 tan20 ° +4cos70 ° = +4sin20 ° ° cos 20 ° ° ° sin 20 + 4 sin 20 cos 20 sin 20 ° + 2 sin 40 ° = = cos 20 ° cos 20 ° ° ° ° sin 20 + sin 40 + sin 40 2 sin 30 ° cos 10 ° + sin 40 ° = = cos 20 ° cos 20 °

2 cos 60 0 cos(60 0 ? C )

2 cos(60 0 ? C )

=

sin 80 ° +