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竞赛讲座 07面积问题和面积方法



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竞赛讲座 07 --面积问题和面积方法
基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形, 故在面积公式中最基本的是三角形的 面积公式.它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用. 设△ ABC , a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边, h a 为 a 的高, R 、 r 分别为△ ABC 外接 圆、内切圆的半径, p ? (1) S ? ABC ? (2) S ? ABC ? (3) S ? ABC ? (4) S ? ABC ? (5) S ? ABC ?
1 2 abc 4R
2

1 2

( a ? b ? c ) .则△ ABC 的面积有如下公式:

1 2 1 2

ah a ; bc sin A

p ( p ? a )( p ? b )( p ? c )
r ( a ? b ? c ) ? pr

(6) S ? ABC ? 2 R sin A sin B sin C (7) S ? ABC ? (8) S ? ABC ? (9) S ? ABC ?
a sin B sin C 2 sin( B ? C )
1 2 1 2 ra ( b ? c ? a ) R (sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C )
2

2

2.面积定理 (1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和; (2)两个全等形的面积相等; (3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等; (4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)

的比; (5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方; (6)共边比例定理:若△ PAB 和△ QAB 的公共边 AB 所在直线与直线 PQ 交于 M ,则
S ? PAB : S ? QAB ? PM : QM ;

(7)共角比例定理:在△ ABC 和△ A ? B ?C ? 中,若 ? A ? ? A ? 或 ? A ? ? A ? ? 180 ? ,则
S ? ABC S ? A ? B ?C ? ? AB ? AC A ?B ? ? A ?C ?



3.张角定理:如图,由 P 点出发的三条射线 PA , PB , PC ,设 ? APC ? ? , ? CPB ? ? ,
? APB ? ? ? ? ? 180 ? ,则 A , B , C 三点共线的充要条件是:

sin ? PB

?

sin ? PA

?

sin( ? ? ? ) PC

. 例题分析

例 1.梯形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于 O ,且 S ? AOB ? m , S ? COD ? n ,求 S ABCD 例 2.在凸五边形 ABCDE 形的面积. 例 3. G 是△ ABC 内一点,连结 AG , BG , CG 并延长与 BC , CA , AB 分别交于 D , E , F , △ AGF 、△ BGF 、△ BGD 的面积分别为 40,30,35,求△ ABC 的面积. 例 4. P , Q , R 分别是△ ABC 的边 AB , BC 和 CA 上的点,且 BP ? PQ ? QR ? RC ? 1 , 求△ ABC 的面积的最大值. 例 5 . 过 △ ABC 内 一 点 引 三 边 的 平 行 线 DE ∥ BC , FG ∥ CA , HI ∥ AB , 点
D , E , F , G , H , I 都在△ ABC 的边上, S 1 表示六边形 DGHEFI

中,设 S ? ABC ? S ? BCD ? S ? CDE ? S ? DEA ? S ? EAB ? 1 ,求此五边

的面积, S 2 表示

△ ABC 的面积.求证: S 1 ?

2 3

S2 .

例 6.在直角△ ABC 中, AD 是斜边 BC 上的高,过△ ABD 的内心与△ ACD 的内心的直 线分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L ,△ ABC 和△ AKL 的面积分别记为 S 和 T .求证: S ? 2T . 例 7.锐角三角形 ABC 中,角 A 等分线与三角形的外接圆交于一点 A 1 ,点 B 1 、 C 1 与此类 似,直线 AA 1 与 B 、 C 两角的外角平分线将于一点 A 0 ,点 B 0 、 C 0 与此类似.求证: (1)三角形 A 0 B 0 C 0 的面积是六边形 AC 1 BA 1 CB 1 的面积的二倍; (2)三角形 A 0 B 0 C 0 的面积至少是三角形 ABC 的四倍.

例 8.在△ ABC 中, P , Q , R 将其周长三等分,且 P , Q 在边 AB 上,求证:

S ? PQR S ? ABC

?

2 9



例 9.在锐角△ ABC 的边 BC 边上有两点 E 、 F ,满足 ? BAE ? ? CAF ,作 FM ? AB , , 证明四边形 AMDN FM ? AC ( M , N 是垂足) 延长 AE 交△ ABC 的外接圆于点 D , 与

△ ABC 的面积相等. 三.面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一, 它的特点是利用间面积相等而进行相互转换 证(解)题. 例 10 . 凸 六 边 形 ABCDEF 内 接 于 ⊙ O , 且 AB ? BC ? DC ?
3 ?1 ,

DE ? EF ? FA ? 1 ,求此六边形的面积.

例 11.已知 ? ABC 的三边 a ? b ? c ,现在 AC 上取 A B ? ? AB ,在 BA 延长线上截取
B C ? ? BC ,在 CB 上截取 C A ? ? CA ,求证: S ? ABC ? S ? A ? B ?C ? .

S ? 例 12. A ? B ?C ? 在 ? ABC 内, ? ABC ∽ ? A ? B ?C ? , 且 求征: ? A ? BC ? S ? B ?CA ? S ? C ?AB ? S ? ABC

例 13.在 ? ABC 的三边 BC , CA , AB 上分别取点 D , E , F ,使 BD ? 3 DC , CE ? 3 EA ,
AF ? 3 FB ,连 AD , BE , CF 相交得三角形 PQR ,已知三角形 ABC 的面积为 13,求三角

形 PQR 的面积. 例 14. E 为圆内接四边形 ABCD 的 AB 边的中点, EF ? AD 于 F , EH ? BC 于 H , EG ? CD 于 G ,求证: EF 平分 FH . 例 15.已知边长为 a , b , c , 的 ? ABC ,过其内心 I 任作一直线分别交 AB , AC 于 M , N 点, 求证:
MI IN ? a ?c b



例 16.正△ PQR ? 正△ P ?Q ?R ? , AB ? a 1 , BC ? b1 , CD ? a 2 , DE ? b 2 ,
EF ? a 3 , FA ? b 3 .求证: a 1 ? a 2 ? a 3
2 2 2

? b1 ? b 2 ? b 3 .

2

2

2

例 17. 在正 ? ABC 内任取一点 O , O 点关于三边 BC , CA , AB 的对称点分别为 A ?, B ?, C ? , 设 则 A A ?, B B ?, C C ? 相交于一点 P . 例 18.已知 AC , CE 是正六边形 ABCDEF 使
AM AC ? CN CE

的两条对角线,点 M , N 分别内分 ACCE ,且

? k ,如果 B , M , N 三点共线,试求 k 的值.

例 19. 设在凸四边形 ABCD 中, 直线 CD 以 AB 为直径的圆相切, 求证: 当且仅当 BC ∥ AD 时,直线 AB 与以 CD 为直径的圆相切.

训练题 1 . 设 ? ABC 的 面 积 为 10 cm
2

, D , E , F 分 别 是 AB , BC , CA 边 上 的 点 , 且

AD ? 2 cm , DB ? 3 cm , 若 S ? ABE ? S DBEF ,求 ? ABE 的面积.

2.过 ? ABC 内一点作三条平行于三边的直线,这三条直线将 ? ABC 分成六部份,其中,三 部份为三角形,其面积为 S 1 , S 2 , S 3 ,求三角形 ? ABC 的面积. 3.在 ? ABC 的三边 AB , BC , CA 上分别取不与端点重合的三点 M , K , L ,求证: ? AML ,
? BKM , ? CLK 中至少有一个的面积不大于 ? ABC 的面积的

1 4



4.锐角 ? ABC 的顶角 A 的平分线交 BC 边于 L ,又交三角形的外接圆于 N ,过 L 作 AB 和
AC 边的垂线 LK 和 LM ,垂足是 K , M , 求证: 四边形 AKNM

的面积等于 ? ABC 的 面积.
1 3 BC ,作 BE ? AD 交 AC 于

5.在等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上取一点 D ,使 DC ?
E ,求证: AE ? EC .

6.三条直线 l , m , n 互相平行, l , n 在 m 的两侧,且 l , m 间的距离为 2 , m , n 间的距离为 1, 若正 ? ABC 的三个顶点分别在 l , m , n 上,求正 ? ABC 的边长. 7.已知 ? P1 P2 P3 及其内任一点 P ,直线 Pi P 分别交对边于 Q i ( i ? 1, 2 , 3 ) ,证明:在
P1 P PQ
1

,

P2 P PQ
2

,

P3 P PQ
3

这三个值中,至少有一个不大于 2,并且至少有一个不小于 2.

8. D 和 E 分别在 ? ABC 的边 AB 和 BC 上, K 和 M 将线段 DE 分为三等分, 点 点 直线 BK 和 BM 分别与边 AC 相交于点 T 和 P ,证明: TP ?
1 3 AC .

9.已知 P 是 ? ABC 内一点,延长 AP , BP , CP 分别交对边于 A ?, B ?, C ? ,其中 AP ? x ,
BP ? y , CP ? z , P A ? ? P B ? ? P C ? ? w ,且 x ? y ? z ? 23 , w ? 3 ,求 xyz 之值.

10.过点 P 作四条射线与直线 l , l ? 分别交于 A , B , C , D 和 A ?, B ?, C ?, D ? ,求证:
AB ? CD AD ? BC ? A ? B ? ? C ?D ? A ? D ? ? B ?C ?



11.四边形 ABCD 的两对对边的延长线分别交 K , L ,过 K , L 作直线与对角线 AC , BD 的 延长线分别 G , F ,求证:
LF KF ? LG KG



12. G 为 ? ABC 的重心,过 G 作直线交 AB , AC 于 E , F ,求证: EG ? 2 GF .



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