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湖南省洞口一中2016届高三上学期第三次月考理科数学试题



洞口一中 2016 届高三第三次月考

数学(理)试题
命题:肖丹枫 审题:邓集柏 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 A ? {x | 2 x?2 ? 1}, B ? {x | 1 ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. {x | x ?

1} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} 2.已知 tan(? ? ? ) ? ?2 ,则 A.-3 B.
1 ? cos 2? ? cos2 ?

D. {x | 0 ? x ? 1}

2 5

C.3

D.

?

5 2

3.下列说法中正确的是 A.若命题 p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 . B.命题: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 ”的逆否命题是: “若 x ? 1 且 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 ”. C. “? ?

?
2

”是“ y ? sin ? 2x ? ? ? 为偶函数”的充要条件.

D.命题 p:若 a ? (2,1), b ? ( ?1, k 2 ? 2) ,则 k ? 2 是 a ? b 的充分不必要条件;命题 q: 若幂函数 f ( x) ? x? (? ? R) 的图像过点 (2, 4.已知函数 f ( x ) ?

?

?

?

?

2 1 ) ,则 f (4) ? .则 p ? (?q) 是假命题. 2 2

6 ? log 2 x ,在下列区间中 ,包含 f ( x) 的零点的区间是 x

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,4) D. (4,+∞) 5.执行如右图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则判断框中应填 A. n ? 7 B. n ? 7 C. n ? 6 D. n ? 6 6.

3 1 ? ? ? cos10 sin 170? A. ? 2 B. 2

C. 4

D. ? 4

7.将函数 f ? x ? ?

3 sin x ? cos x 的图象向左平移 m 个单位 (m ? 0) ,若所

得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是 A.

2? 3

B.

?
3

C.

?
8

D.

5? 6

8. 函 数 f ( x) ? A sin ? x ( A ? 0,? ? 0) 的 部 分 图 象 如 右 图 所 示 , 则

f (1) + f (2) + f (3) ? ? + f (2015) 的值为
A.0 B.3 2 C.6 2 D.- 2

)? 9 . 函 数 y ? f ( x) ( x ? R ) 为 奇 函 数 , 当 x ? (??, 0) 时 , x f?( x

? f(

x ) 若 ,

1 1 a ? 3 ? f ( 3), b ? (lg 3) ? f (lg 3), c ? (log 2 ) ? f (log 2 ) ,则 a,b,c 的大小顺序为 4 4
A. a<b<c B. c>a>b C. c<a<b D. c>b>a 10. 设函数 f ( x) ? x | x ? a | ,若对 ?x1 , x2 ?[3, ??) , x1 ? x2 ,不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. (??, ?3] B. [?3, 0) C. (??,3] D. (0,3]

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

11.若 G 是 ?ABC 的重心, 若 aG ? ? bG? ? a, b ,c 分别是角 A, B, C 的对边, 则角 A 等于 A. 90
?

????

??? ?

3 ???? ? cGC ? 0 , 3

B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

12. 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,如果存在非零常数 T ,对于任意 x ? D ,都有 ,非零常数 T 为函数 y ? f ( x) 的 f ( x ? T ) ? T ? f ( x) ,则称函数 y ? f ( x) 是“似周期函数” “似周期” .现有下面四个关于“似周期函数”的命题 :①如果“似周期函数” y ? f ( x) 的 “似周期”为-1,那么它是周期为 2 的周期函数;②函数 f ( x) ? x 是“似周期函数” ; ③函 数 f ( x) ? 2 是“似周期函数” ; ④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数” ,那么
-x

“ ? ? k? , k ? Z ” . 其中真命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.抛物线 y ? 2x 在点 (1, 2) 处的切线方程为
2

D. 4

.

2 x 14.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? 4 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且函数 y ? f (3 ) ? m 在

x ?[?1, 2] 上有零点,则实数 m 的取值范围为
则 AP ? OP 的最小值为

.

15. 如图, ?AOB 为等腰直角三角形, OA ? 1 , OC 为斜边 AB 的高,点 P 在射线 OC 上, .

16 .若不等式 x2 ? 2 y 2≤cx( y ? x) 对任意满足 x ? y ? 0 的实数 x, y 恒成立,则实数 c 的最大值 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知各项 都不相等的等差数列 {an } 的前 7 项和为 70,且 a3 为 a1 和 a7 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an ,(n ? N? ) 且 b1 ? 2 ,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn 。 bn

18.(本小题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.把符合条件的 1000 名 志愿者按年龄分组:第 1 组[20,25)、第 2 组[25,30)、第 3 组[30,35)、第 4 组[35,40)、第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示: (1)若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3、 4、5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下, 该市决定在这 12 名志愿者中随机 抽取 3 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名 志愿者被抽中的概率; (3)在(2)的条件下,若ξ 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数,求ξ 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中,已知 ?ABC ? 45?, O 在

2 AB , 又 PO ? 平面 3 1 ABC , DA // PO, DA ? AO ? PO . 2 (Ⅰ)求证: PD ⊥平面 COD ; (Ⅱ)求二面角 B ? DC ? O 的余弦值.

AB 上,且 OB ? OC ?

20. (本小题满分 12 分) 已知点 M 是圆心为 C1 的圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8 上的动点,点 C 2 (1,0) ,若线段 MC2 的中垂 线交 MC1 于点 N . (Ⅰ)求动点 N 的轨迹方程;
2 2 (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? t 是圆 x ? y ? 1 的切线且 l 与 N 点轨迹交于不同的两点 P 、 Q ,

O 为坐标原点,若 OP ? OQ ? ? ,且

2 4 ? ? ? ,求△ OPQ 面积的取值范围. 3 5

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1n( x ? 1) ? ax2 ? x ( a ? R). (Ⅰ)当 a ?

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

,b ] 时,函数 f ( x) 的最大值为 f (b) ,求 a 的取值范 (Ⅱ)若对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1
围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按 所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA 是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC . (Ⅰ) 求证: PA是⊙ O 的切线; ( Ⅱ ) 如 果 弦 CD 交 AB 于 点 E , AC ? 8 , CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求 sin ?BCE .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直 角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单 位相同.直线 l 的极坐标方程为: 2 ? sin(? ? 数) ,其中 ? ? [0,2? ) . (Ⅰ)试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值.

?

? x ? 2 cos? ) ? 10 ,曲线 C: ? ( ? 为参 4 ? y ? 2 sin ? ? 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ? x ?1 ? 2 . ( Ⅰ)解不等式: g ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.



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