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广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18
一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 请 在答题卡上填涂相应选项. 1.已知 A ? {x | log 2 x ? 1} ,函数 f ( x) ? A. ? B. (?? ,3)

1 的定义域为 B 则 A ? B ? ( 3? x
C. (2,3) D. (2, ??)

)C

2.设正项等比数列 ?an ? , ?lg an ? 成等差数列,公差 d ? lg 3 ,且 ?lg an ? 的前三项和为 6 lg 3 ,则 ?an ? 的通项为 B A. n lg 3 B. 3n C. 3n D. 3n ?1 )D

3.已知直线 a、b 和平面 M,则 a // b 的一个必要不充分条件是( A. a // M ,b // M B. a ? M ,b ? M C. a // M ,b ? M D. a、b 与平面 M 成等角 xa x 4.函数 y ? ).D (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是( x

5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 B1C1 的中点, AB ? a , AD ? b , DE ? c ,则 BD1 ? A A. ?2a ?

??? ?

?

????

?

????

?

???? ?

?

3? ? b?c 2

B. ? a ?

?

1? ? b?c 2

C. a ? b ? c

? ? ?

D. a ?

?

1? ? b?c 2

?x ? y ? 1 ? 0 ? 6.如果实数 x, y 满足: ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为 C ?x ? 1 ? 0 ?
A.2 B.3 C.

7 2

D.4

7. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ).B A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 8. 对于任意实数 x , 符号[ x ]表示 x 的整数部分, 即[ x ]是不超过 x 的最大整数, 例如[2]=2; [ 2.1 ]=2; [ ? 2.2 ]= ? 3 , 这 个 函 数 [ x ] 叫 做 “ 取 整 函 数 ”, 它 在 数 学 本 身 和 生 产 实 践 中 有 广 泛 的 应 用 。 那 么

[log 2 1] ? [log 2 2] ? [log 2 3] ? [log 2 4] ? ? ? [log 2 64] 的值为(

)C

A.21 B.76 C. 264 D.642 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答 的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.?ABC 中,AB ? 2 2 ,BC ?

5 ,A ? 450 ,?B 为 ?ABC 中最大角,D 为 AC 上一点,AD ?

1 则 BD ? DC , 2

5.
10.调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表:

晚上 雄性 雌性

白天

20

10
21

9

从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99% 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P K 2 ? k0

?

?

k0

11.

?

3

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0

9? x

2

0.05 3.841 开始

0.025 5.024

0.010 6.635
的 值 等 于

____________.

9? 4

f ( x) ? sin x
k ?0 k ? 2011?

12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是____________. . ? cos x




f ( x) ? f ?( x)
k ? k +1

输出f ( x) 结束

13. 用红、 黄、 蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, 2, ? , 9 的 9 个小正方形 (如 使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“、5 、 的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 种.

1 4 7

2 5 8

3 6 9

右图) ,

9”

108

14. (几何证明选讲选做题)如图所示,AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P, 若 PA=4,PC=5,则 ?CBD ? ______

?
6
D C B O A P

15.(坐标系与参数方程选做题)圆心的极坐标为 C (3 , ) ,半径为 3 的圆的极坐标方程是

?

? ? 6 cos(? ? )
6

?

6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示: (1)求 ? , ? 的值; (2)设 g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ?

x 2

x ? ? ) ? 1 ,当 x ? [0, ] 时,求函数 g ( x) 的值域. 2 8 2

解:(1)由图象知: T ? 4(

?

? 2? ? ) ? ? ,则: ? ? ? 2 ,?????2 分 2 4 T

由 f (0) ? ?1 得: sin ? ? ?1 ,即: ? ? k? ? ∵ | ? |? ? ∴

?

? ??

?
2

2

(k ? z ) ,???????4 分



???????????????6 分

(2)由(1)知: f ( x) ? sin(2 x ? ∴ g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ?

?
2

) ? ? cos 2 x ,???????????7 分

x 2

x ? ? ) ? 1 ? 2 2( ? cos x)[ ? cos( x ? )] ? 1 2 8 4

? 2 2 cos x[

2 (cos x ? sin x)] ? 1 ? 2 cos 2 x ? 2sin x cos x ? 1 2

? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,???????????????10 分 4
当 x ? [0,

?

?
2

] 时, 2 x ?

?

? 2 ? 5? ,1] , ? [ , ] ,则 sin(2 x ? ) ? [? 4 2 4 4 4

∴ g ( x) 的值域为 [?1, 2] 。??????????????????12 分

17.(本小题满分 12 分) 有5个大小重量相同的球,其中有3个红球2个蓝球,现在有放回地每次抽取一球,抽到一个红球记1分,抽到一 个蓝球记 ?1 分. (1) ? 表示某人抽取3次的得分数,写出 ? 的分布列,并计算 ? 的期望和方差; (2)若甲乙两人各抽取3次,求甲得分数恰好领先乙2分的概率. 解: (1) ? ? 3 ,, 1 ? 1, ? 3 ,其分布列为

?
P (4 分)

3

1

?1

?3
8 125

27 125

54 125

36 125

27 54 36 8 3 ? 1? ? (?1) ? ? (?3) ? ? (5 分) 125 125 125 125 5 3 2 27 3 2 54 3 36 3 8 ? 的方差是 D? ? (3 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (?1 ? ) 2 ? ? (?3 ? ) 2 ? 5 125 5 125 5 125 5 125 72 (6 分) ? 25 3 72 答: ? 的期望是 , ? 的方差是 (7 分) 5 25 (2)若“甲得分数恰好领先乙2分”为事件 A ,包含以下三个基本事件,即甲得 3 分乙得 1 分、甲得 1 分乙得 ?1 分或甲得 ?1 分乙得 ?3 分, (9 分) 27 54 54 36 36 8 738 则 P ( A) ? (11 分) ? ? ? ? ? ? 125 125 125 125 125 125 3125 738 答:甲得分数恰好领先乙2分的概率是 (12 分) 3125

? 的期望是 E? ? 3 ?

18.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,点 A(1, 0) 、 B(?1, 0) ,已知 | CA |? 2 2 , BC 的垂直平分线交 AC 于 D ,当点 C 动点时,

D 点的轨迹图形设为 E
(1)求 E 的标准方程;

x2 ? y2 ? 1 2
2 2

(2)点 P 为 E 上一动点,点 O 为坐标原点,设 PA ? 1 ? ? PO ,求 ? 的最大值. 解: (Ⅰ) .设 D ( x ,y )

? 是 BC 的垂直平分线,

? | DB |?| DC |

? | DB | ? | DA |?| AC |? 2 2 ? 2 ?| AB |
? D 点的轨迹图形 E 是 A、B 为焦点的椭圆
其中 2a ? 2 2 , c ? 1 , (3 分)

? a ? 2 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1 ? D 点的轨迹图形 E :

(5 分)

x2 ? y2 ? 1 2

(7 分)

(Ⅱ)设 P ( x, y ), x ? ? 2 , 2 , 则 PO
2

?

?

? x 2 ? y 2 , (8 分)
(9 分)

PF

2

? ( x ? 1) 2 ? y 2
2

??

PA ? 1 PO
2

?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 x 2 ? 2 x ? y 2 2x ? ? 1? 2 2 2 2 2 x ?y x ?y x ? y2

(10 分)

点 P ( x, y ) 满足

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,? y 2 ? 1 ? , (11 分) 2 2

? ? 1?

2x x ?1 2
2

? 1?

4x x ?2
2

(12 分)

当 x ? 0 时, ? ? 1 当 x ? 0 时,设 t ? ? x ,则 t ? (0, 2 , ? ? 1 ?

?

4t ? 1? t ?2
2

4 2 t? t

(13 分)

因为 t ?

2 ? 2 2 ,所以 ? ? 1 ? 2 , t

当且仅当 t ?

2 时,即 x ? ? 2 时, ? 取得最大值 1 ? 2 . (14 分)

19.(本小题满分 14 分) 如图(1) ,C 是直径 AB ? 2 的 ? O 上一点, AD 为 ? O 的切线, A 为切点,?ACD 为等边三角形,连接 DO 交

AC 于 E ,以 AC 为折痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置. (1)求证异面直线 AC 和 PO 互相垂直;
(2)若三棱锥 P ? ABC 的体积为

6 ,求二面角 A ? PC ? B 的正弦值. 6

(1)证明:等边三角形 ?ACD 中 AD ? DC , AD 为 ? O 的切线, A 为切点,

? DO ? AC 且 E 为 AC 中点

以 AC 为折痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置时,仍有 OE ? AC (2 分) ? AC ? 平面 PEO (4 分) ? AC ? PO (5 分) (2) 解: 在图 (2) 中, 过 P 作 PK ? EO 于 K , 连接 KA、KB 、KC ,

PE ? AC



? AC ? 平面 PEO ? AC ? PK ? PK ? 平面 ? O (7 分) ? PA ? PC ? KA ? KC ? 图(1)中 ?DAC ? 600 , AB ? 2 为 ? O 的直径, AD 为 ? O 的切线, A 为切点,

? Rt ?ACB 中, AC ? AD ? DC ? AP ? PC ? 3 , BC ? 1 ? VP ? ABC ? ? AC ? BC ? PK ?
1 1 3 2 3 6 (8 分) PK ? 6 6

? PK ? 2 ? KA ? KC ? 1
? K 、O 重合 ? PO ? 平面 ? O (10 分)

? PA ? PB ? PC ? 3 , OA ? OB ? OC ? BC ? 1
过 B 作 BF ? 平面 PAC 于 F ,过 B 作 BG ? PC 于 G ,连接 FG 则 PC ? 平面 BFG ,

? FG ? PC ? ?BGF 就是二面角 A ? PC ? B 的平面角(11 分)
由三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

6 1 1 3 ? BF ? S ?PAC ? ? ( 3) 2 BF 6 3 3 4

得 BF ?

2 2 (12 分) 3

等腰三角形 PBC 中, BG ?

33 6

2 2 BF 4 66 ? 3 ? ? sin ?BGF ? BG 33 33 6

?二面角 A ? PC ? B 的正弦值的正弦值为

4 66 . (14 分) 33

20. (本小题满分 14 分) 设数列{an}为前 n 项和为 Sn, 数列{bn}满足: bn =nan, 且数列{bn}的前 n 项和为(n-1)Sn+2n ∈N ). (1)求 a1,a2 的值; (2)求证:数列{ Sn +2}是等比数列;
*

(n

(3)抽去数列{an}中的第 1 项,第 4 项,第 7 项,??,第 3n-2 项,余下的项顺序不变,组成一个新数列{cn},若{cn} 的前 n 项和为 Tn,求证: 12 Tn+1 11 < ≤ 。 5 Tn 3 解:(1)由题意得:a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1) Sn +2n; 当 n=1 时,则有:a1=(1-1)S1 +2,解得:a1=2;

当 n=2 时,则有:a1+2a2=(2-1)S2 +4,即 2+2a2=(2+a2)+4,解得:a2=4。 (3 分) (2)由 a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn +2n,??① 得

a1+2a2+3a3+?+nan+(n+1)an+1= n Sn+1+2(n+1) , ②
②-①得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2, (4 分) 即 (n+1)(Sn+1- Sn)= nSn+1-(n-1)Sn+2,得 Sn+1=2Sn+2; ∴ Sn+1+2=2(Sn+2), (5 分) 由 S1+2= a1+2=4≠0 知 数列{ Sn +2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。 (6 分) (3)由(2)知 Sn +2=4×2 -2=2 -2, 当 n≥2 时,an= Sn- Sn-1 =(2 -2)-( 2 -2)= 2 对 n=1 也成立,即 an= 2 , ∴数列{cn}为 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,??,它的奇数项组成以 4 为首项,公比为 8 的等比数列;偶数项组成 以 8 为首项、公比为 8 的等比数列; (8 分) ∴当 n=2k-1(k∈N )时,
* 2 3 5 6 8 9

n-1

n+1

n+1

n

n

n

Tn=(c1+ c3+?+c2k-1)+ (c2+ c4+?+ c2k-2) =(22+25+?+23k-1)+( 23+26+?+23k-3) =
4(1-8 ) 8(1 ? 8 ) 5 k 12 + = ×8 - , 1-8 7 7 1? 8
k

k ?1

Tn+1= Tn+cn+1= ×8k- +23k= ×8k- , (9 分)
k Tn+1 12×8 -12 12 84 = = + , (10 分) k k Tn 5×8 -12 5 5(5×8 -12)

5 7

12 7

12 7

12 7

∵ 5×8 -12≥28,∴
*

k

12 Tn+1 < ≤3。 (11 分) 5 Tn

∴当 n=2k (k∈N )时,

Tn=(c1+ c3+?+c2k-1)+ (c2+ c4+?+ c2k) =(22+25+?+23k-1)+( 23+26+?+23k)
4(1-8 ) 8(1-8 ) 12 k 12 = + = ×8 - , (12 分) 1-8 1-8 7 7
k k

Tn+1= Tn+cn+1= ×8k- +23k+2= ×8k- , (13 分) Tn+1 ∴ = Tn
∴ 40×8 -12 k 12×8 -12
k

12 7

12 7

40 7

12 7

=

10 7 10 Tn+1 11 k + ,∵8 -1≥7 ,∴ < < , k 3 3(8 -1) 3 Tn 3

12 Tn+1 11 < ≤ 。 (14 分) 5 Tn 3

21. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ?

1 2 1 1 x ? (1 ? 2 ) x ? ln x , a ? R . 2a a a

(1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (3) g ( x) ? b 2 x 2 ? 3 x ? 解:

1 ln 2 ,当 a ? 2 , 1 ? x ? 3 时, g ( x) ? f ( x) 恒有解,求 b 的取值范围. 2

1 1 1 x ?1 ? 2 ? a a ax 1 1 1 1 ? [ x 2 ? (a ? ) x ? 1] ? ( x ? a )( x ? ) ax a ax a 由题设知 x ? 0 1 (a ? 1)(a ? 1) a? ? a a f ' ( x) ?

(3 分)

' (1) a ? ?1 时, f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 的单减区间是 (0 , ? ?)

(4 分)

(2) ① 0 ? a ? 1 时, a ? ② a ? 1 时, a ?

1 1 1 1 a) 和 ( , ? 0 ,即 0 ? a ? ,则 f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单增,在 (a , ) 上单减 a a a a

(5 分)

1 ? ?) 上单增 (6 分) ? 1 , f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0 , a 1 1 1 1 ③ a ? 1 时, a ? ? 0 即 0 ? ? a ,则 f ( x) 在 (0 , ) 和 (a , ? ?) 上单增,在 ( , a ) 上单减 a a a a (3)由(2)知, a ? 2 , 1 ? x ? 3 时, 3 1 当 x ? 2 时 f ( x) 得到最小值为 f (2) ? ? ? ln 2 (9 分) 2 2 1 3 1 ? 1 ? x ? 3 时, g ( x) ? f ( x) 恒有解,需 b 2 x 2 ? 3x ? ln 2 ? ? ? ln 2 在1 ? x ? 3 时有解 2 2 2 1 1 1 即 b 2 ? 3[? ( ) 2 ? ] 有解, (10 分) 2 x x 1 1 1 1 令 t ? ?[ , 1) , k (t ) ? ? t 2 ? t t ? [ , 1) , x 3 2 3 1 k ' (t ) ? 1 ? t ? 0 ? k (t ) 在 t ? [ , 1) 上单增 3 5 1 3 ? ? k ( ) ? k (t ) ? k (1) ? (12 分) 6 3 2

(7 分)

?需 b 2 ?

30 30 5 ,即 b ? ? 或b ? 6 6 6 30 30 )?( , ? ?) 6 6
(14 分)

? b 的范围是 (?? , ?



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