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a01集合与简易逻辑



第一单元 集合与简易逻辑 第一讲 集 合 第一部分 基础知识精要 基础知识点拨 一、集合的基本概念及表示方法 1.集合的概念 集合是现代数学的基本概念.一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简 称集. 通常用大写字母 A、 B、 C、 ??表示集合. 集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 通 常用小写字母 a、b、c、??表示. 2.集合中元素的三个性质 (1)确定性

设 A 是一个给定的集合,a 是某一具体的对象,则 a 或者是 A 的元素,或者不是 A 的 元素,两种情况必有一种且只有一种成立.关键是理解“确定”的含义. (2)互异性 集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是 不同的.即集合中的元素不重复,两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元素,在用列 举法表示时也只能写一个. 例如方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解组成的集合 A, 必须写成 A={-1}.
2

(3)无序性 即集合中的元素不考虑顺序, 对元素相同而元素顺序不同的集合认为是相同的集合. 例 如集合{1,2,3,4}与{4,3,2,1}是相同的集合. 3.集合的分类

?数 集 ( 元 素 是 数 ) ? ?按 元 素 的 属 性— 分 ?? ? ? ?点 集 ( 元 素 是 点 ) ? ? 集合 —? ? ? 是个 有) ?有 限 集 ( 元 素 个 数 限 ? ? ?按 元 素 的 多 少— 分 是个 无) ? ?无 限 集 ( 元 素 个 数 限 ? 元素 ?空 集 ( 不 含 有 任 何 )
4.集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法. 如:由方程 x ? 1 ? 0 的所有解组成的集合可以表示为{-1,1}.
2

(2)描述法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合, 并把这个条件写在大括号内表示集合的 方法.格式:{x∈A|P(x)}. 如:所有的直角三角形的集合可以表示为{x|x 是直角三角形}. 二、集合间的关系 1.包含关系 如果 x∈A ? x∈B,则集合 A 是集合 B 的子集,记为 A ? B 或 B ? A .

显然,任何集合是它自身的子集,即 A ? A ;空集是任何集合的子集,即 ? ? A. 2.相等关系 对于两个集合 A、B,如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么称集合 A 和集合 B 相等,记为 A =B. 显然,两个相等的集合的元素完全相同. 3.真包含关系 对于两个集合 A 与 B, 如果 A ? B , 并且 A≠B, 称集合 A 是集合 B 的真子集, 记为 A ? ?B 或B ? ? A. 显然,空集是任何非空集合的真子集;若 A ? ? B ,则 B 中至少存在一个元素不属于 A. 三、集合与集合间的运算 1.全集与补集 含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集,一般可记作 U,全集是相对的.若 A 是全集 U 的子集,则由全集中不属于 A 的元素组成的集合称为 A 的补集,记作 A.

2.交集 对于两个给定的集合 A、B,由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合,叫做 A 和 B 的 交集,记作 A∩B. 3.并集 一般地,对于给定的集合 A、B,把它们所有元素并在一起构成的集合,叫做 A 与 B 的 并集,记作 A∪B. 4.集合中常用的运算性质 (1) A ? B , B ? A ,则 A=B; A ? B , B ? C ,则 A ? C ; (2)? ? A,若 A≠?,则 ? ? ? A; (3)A∩A=A,A∩?=?; (4)A∪A=A,A∪B=B∪A,A∪?=A; (5)A∩ A=?,A∪ A=U;

(6)A∩B ? A ? A∪B; (7) (A∩B)= A∪ B, (A∪B)= A∩ B;

(8)若 A ? B ,则 A∩B ? A∪B,A∩B=A,A∪B=B. 第二部分 学习方法指导 数学思想方法 例 1 已知 A={x|x>a}, B ? {x | x ? 2ax ? 3a <0} ,求 A∩B,A∪B.
2 2

解:方程 x ? 2ax ? 3a ? 0 的两个根为 x1 ? ?a 和 x2 ? 3a .
2 2

(1)当 a=0 时, x1 ? x2 ? 0 ,此时 B=?,∴A∩B=?,A∪B=A={x|x>0}. (2)当 a>0 时, x2>x1 ,此时 B={x|-a<x<3a},

∴A∩B={x|a<x<3a},A∪B={x|x>-a}. (3)当 a<0 时, x1>x2 ,此时 B={x|3a<x<-a}, ∴A∩B={x|a<x<-a},A∪B={x|x>3a}. 说明:(1)在求 A∩B 和 A∪B 时,可结合数轴进行求解.(2)在运用分类讨论的思想解决 问题时,要明确以下几点:其一是为什么要进行分类讨论;其二是讨论的目标是什么;其三 是分类的标准是什么. 例 2 若 A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A}, C ? {z | z ? x 2,x ? A} ,且

C ? B ,试求实数 a 的取值范围.
思路分析:此题关键在于求出集合 B 与 C,然后分情况讨论解决. 解:根据题意,有-2≤x≤a, ∴-1≤y=2x+3≤2a+3,0≤z= x ≤max{ (?2) 2 , a }.
2 2

(1)当 a≥2 时, a ≥4,∴0≤z≤ a .
2 ∵ C ? B ,∴ a ≤2a+3,即-1≤a≤3,从而得 2≤a≤3.

2

2

(2)当-2≤a<2 时, a ≤4,∴0≤z≤4.

2

1 1 ,从而得到 ≤a<2. 2 2 1 综合(1)(2)可知,适合题意的实数 a 的取值范围为 ≤a≤3. 2
∵ C ? B ,∴4≤2a+3,即 a≥ 说明:解集合问题时,对集合元素的准确识别十分重要,不允许有半点错误,否则必将 导致解题的失误.不妨判断一下下面两组集合的元素有何差异. (1) {x | y ? 3x ? x ? 5} ; { y | y ? 3x ? x ? 5}; {( x,y) | y ? 3x ? x ? 5} .
2 2 2

(2){二次方程 3x ? x ? a ? 0 };{x|二次方程 3x ? x ? a ? 0 ,且 a≥3};{a|二次方程
2 2

3x 2 ? x ? a ? 0 有两相等的实根};{a|二次方程 3x 2 ? x ? a ? 0 有实根}.
例 3 某班学生举行数、理、化三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有 27 人,参加物理竞赛的有 25 人,参加化学竞赛的有 27 人,其中参加数学、物理两科的有 10 人,参加物理、化学两科的有 7 人,参加数学、化学两科的有 11 人,而参加数、理、化 三科的有 4 人,求全班人数.

图 1-1-1

思路分析:由于参加数、理、化三科竞赛的人数相互交叉,不易理清参加三科竞赛的各 科人数,利用 Venn 图法可以比较容易地分清它们的关系. 解:设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为 A、B、C,由图 1-1-1 可知全 班人数为 10+12+13+7+3+6+4=55(人). 说明:在学习集合知识的过程中,经常利用的数形结合方法有 Venn 图法、数轴法等, 运用数形结合能直观、准确地理解全集、补集的含义及进行求补集的运算. 例 4 设 M、P 是两个非空集合,定义 M 与 P 的差集为 M-P={x|x∈M,且 x ? P}, 则 M-(M-P)等于( )

图 1-1-2 A.P B.M∩P C.M∪P D.M 解析:当 M∩P≠? 时,由图 1-1-2 知,M-P 为图中的阴影部分,则 M-(M-P)显然 是 M∩P. 当 M∩P=? 时,M-P=M,此时有 M-(M-P)=M-M={x|x∈M,且 x ? M}=?=M∩P. 答案:B 说明:由于叙述太长,单纯从文字语言不好理清思路,画出 Venn 图,可利用图形的直 观性进行运算.集合中的图形语言具有直观、形象的特点,利用集合 Venn 图的直观性,可 以深刻理解集合的有关概念、运算公式,有助于显示集合间的关系,所以,Venn 图是进行 集合运算的有力工具.在深刻理解集合的交、并、补概念的基础上,用较简单的 Venn 图解 有关集合的问题,可以化难为易. 例 5 设 A ? {( x,y) | y ? x ? 1 ? 0} , B ? {( x,y) | 4 x ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0} ,
2 2

C ? {( x,y) | y ? kx ? b} ,是否存在 k、b∈N,使得(A∪B)∩C=??
思路分析: 本题主要考查学生对集合及其符号的分析转化能力, 即能从集合符号上分辨 出所考查的知识点,进而解决问题.解决此题的关键是将条件(A∪B)∩C=? 转化为 A∩C =?,且 B∩C=?,这样难度就降低了. 解:∵(A∪B)∩C=?,∴A∩C=?,且 B∩C=?.

? y2 ? x ?1 , 2 2 2 ∵? ∴ k x ? (2bk ? 1) x ? b ? 1 ? 0 . ? y ? kx ? b,
2 2 2 <0 . ∵A∩C=?,∴ ?1 ? (2bk ?1) ? 4k (b ?1)<0 ,即 4k ? 4bk ? 1
2

此不等式有解,其充要条件是 16b ? 16>0 ,即 b >1 .
2 2



∵?

?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0, ?y ? kx ? b ,

∴ 4 x2 ? (2 ? 2k ) x ? (5 ? 2b) ? 0 . ∵B∩C=?,∴ ?2 ? (1 ? k ) 2 ? 4(5 ? 2b)<0 ,即 k ? 2k ? 8b ? 19<0 .
2

此不等式有解,其充要条件是 4-4(8b-19)>0,即 b<2.5. 由①②及 b∈N,得 b=2,将其代入由 ?1<0 和 ?2<0 组成的不等式组,得



? ?4k 2 ? 8k ? 1< 0 , 3 3 ?1 ? 3 <k<1+ 3, 解得, ? ? 2 2 2 ∴ 1 ? 2 <k<1 ? 2 ,又 k∈N, ? k ? 2k ? 3<0, ? ? ? 1<k<3 ,
k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?. 说明:此题难点在于学生对符号不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内涵,因 而可能感觉无从下手.由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况 进行限制,可得到 b、k 的范围,又因 b、k∈N,进而可求其值. 例 6 若关于 x 的方程① x ? 2mx ? m ? m ? 0 ;② x2 ? (4m ? 1) x ? 4m2 ? m ? 0 ;
2 2

③ 4 x2 ? (12m ? 4) x ? 9m2 ? 8m ? 12 ? 0 中至少有一个有实根,求 m 的取值范围. 思路分析:结论中“至少有一个方程有实根”的含义为可能有一个方程有实根;可能有 两个方程有实根;可能三个方程都有实根.若直接求,分三大类情况,其过程不仅繁杂,而 且极易出错,故不宜采用.不妨考虑结论的反面:三个方程都无实根时的情况. 解:设原问题的反面:三个方程都无实根时 m 的取值范围为 A,则原问题所求 m 的取 值范围即为 A.三个方程都无实根等价于

? ?1 ? 4m 2 ? 4(m 2 ? m) ? 4m<0, ? 2 2 ? ?2 ? (4m ? 1) ? 4(4m ? m) ? 4m ? 1<0, ?? ? (12m ? 4) 2 ? 4 ? 4(9m 2 ? 8m ? 12) ? ?16(2m ? 11)<0, ? 3
∴?

11 1 < m< - . 2 4

即 A ? ?m ?

? ?

11 1? <m< ? ? ,∴ 2 4?

? 11 1? A ? ?m m ≤ ? ,或m ≥ ? ? . 2 4? ? ? ? 1 4 11? ?. 2?

∴使原结论成立的 m 的取值范围应为 ?m m ≥ ? 或m ≤ ?

说明:如果一个问题从正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑从其反面入手. 例 7 已知集合 A={x|x=2n+1,n∈Z),B={x|x=4k±1,k∈Z).A 与 B 之间的关系 是( ) A. A ? ?B

B. A ? ?B C.A=B D.A≠B 思路分析:可以考虑列举集合 A、B 的元素. 解:∵n,k∈Z, ∴A={?,-5,-3,-1,1,3,5,?},B={?,-5,-3,-1,1,3,5,?}. ∴A=B. 答案:C 说明:(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合的关系. (2)证明两集合相等,主要是根据集合相等的定义. (3)认识两集合的关系,要认清本质,而不能仅停留在观察表面上.需掌握{x|x=2n+1, n∈Z}={x|x=2n-1,n∈Z}={x|x=4n±1,n∈Z}={奇数},{x|x=2n,n∈Z}={x|x=2(n -1),n∈Z}等. 例 8 已知全集 U={不大于 20 的质数},M、N 是 U 的两个子集,且满足 M∩( {3,5},( M)∩N={7,19},( M)∩( N)={2,17},求 M,N. N)=

思路分析:根据交集、补集定义,结合 Venn 图逐步确定 M、N 中所含的元素.

图 1-1-3 解:如图 1-1-3 所示,U={2,3,5,7,11,13,17,19},由( N)={2,17},可知 M、N 中没有元素 2、17. 由( M)∩N={7,19}可知,N 中有元素 7、19,M 中没有元素 7、19. N)={3,5}可知,M 中有元素 3、5,N 中没有元素 3、5. M)∩N、M∩( N)、( M)∩( N)三部分中,只有 11∈M∩ M)∩( N)= (M∪

由 M∩(

剩下的元素 11、13 不在(

N,13∈M∩N.所以 M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}. 说明:有的集合问题比较抽象,解题时若借助 Venn 图进行数形分析或利用数轴、图象 采取数形结合的思想方法,往往可将问题直观化、形象化,使问题灵活、直观、简捷、准确 地获解.如本题在确定 11、13 的归属问题时,结合 Venn 图容易把全集 U 划分为四个部分, 如图 1-1-4,11、13 不在前三部分内,必然在 M∩N 内.

图 1-1-4

, 2, 3, 4, 5} ,②若 a∈M,则(6-a)∈M 的非空集合 M 有( 例 9 同时满足① M ? {1

)

A.32 个 B.15 个 C.7 个 D.6 个 思路分析: 正确理解题目中两个已知条件给出的符号语言, 找出这两个条件的内在联系, 即 M 的元素是 1,2,3,4,5 中的一部分或全部,并且 a∈M,那么 6-a 也应在集合 M 中. 解:由已知条件,集合 M 中的元素必须具备两个条件,不妨设 1∈M,那么 6-1=5 也 同时为 M 中的元素,由此可知 M={1,5},同理可得{2,4},{3},{1,5,2,4},{1,5, 3},{2,4,3},{1,2,3,4,5}都满足题设. 答案:C 说明:本题要全面分析条件,若只考虑①而忽视了②,则会选 A;若对“ ? ”的概念 模糊,又可能选 D. 解题规律技巧 例 1 如果 {x | 2ax2 ? (2 ? ab) x ? b>0} ? {x | x< ? 2或x>3} ,其中 b>0,求 a、b 的取值范围. 思路分析:记 A ? {x | 2ax2 ? (2 ? ab) x ? b>0} , B ? {x | x< ? 2或x>3},显然集合 A 是一个含参数 a、b 的不等式的解集,并且在 a=0、a<0 或 a>0 三种不同情况下解集不 同,因此要使 A ? B ,需对 a=0,a<0,a>0 三种情况分别讨论. 解:记 A ? {x | 2ax ? (2 ? ab) x ? b>0} ,则 A ? {x | (ax ? 1)(2 x ? b)>0}.
2

记 B ? {x | x< ? 2或x>3}. (1)当 a=0 时, A ? {x | 2 x ? b>0} ? ? x x> ? ,显然,不可能有 A ? B ;

? ?

b? 2?

(2)当 a<0 时, A ? ? x 2a? x ?

? ?

? ?

1 ?? b? ? ?? x ? ?>0? a ?? 2? ?

? ? 1 ?? b? ? ? ? x ? x ? ?? x ? ?<0? . a ?? 2? ? ? ?
此时,若 - <

1 a

b 1 b 1 b ? 1 b? , A ? ? x ? <x< ? , 若 ? ? , A = ? ; 若 ? > , 2 a 2 a 2 2? ? a

? b 1? A ? ? x <x< ? ? ,此三种情况都不可能有 A ? B . a? ? 2
(3)当 a>0 时, A ? ? x ? x ?

? ? ? ?

1 ?? b? ? ? 1 b? ?? x ? ?>0? ? ? x x<- 或x> ? . a ?? 2? ? ? a 2?

? 1 ?? ≥ ?2, 1 ∵ A ? B ,∴ ? a ? a≥ , 0<b ≤ 6 . b 2 ? ≤3 ? 2 1 0<b ≤ 6 . 综上所述,所求 a、b 的取值范围是 a ≥ , 2
说明:本题中,由于 a 不同的取值符号(a<0,a=0,a>0),决定了集合 A 的不同表现 形式,因此在化简集合时,要注意分类讨论. 例 2 其校有学生 m 人,其中会骑自行车的有 a 人,会游泳的有 b 人,既会骑自行车又 会游泳的有 c 人,则既不会骑自行车也不会游泳的学生人数为( ) A.m―a-b+c B.m-a-b-c C.m+a+b-c D.m-a+b-c 思路分析:此题涉及的问题,可转化为集合元素个数问题,利用元素个数公式求解. 解:设 U={某校的学生},A={该校会骑自行车的学生},B={该校会游泳的学生}, 则 A∩B={该校既会骑自行车又会游泳的学生), (A∪B)={该校不会骑自行车也不会游泳 的学生}. ∵card(U)=m,card(A)=a,card(B)=b,card(A∩B)=c, ∴card( (A∪B))=card(U)-card(A∪B)

=card(U)-[card(A)+card(B)-card(A∩B)] =m-(a+b-c)=m-a-b+c 故选 A. 答案:A

图 1-1-5 说明:此题也可以 Venn 图直观求解,如图 1-1-5 所示,在 A 中且不在 B 中的元素个数 为 a-c;在 B 中且不在 A 中的元素个数为 b-c;不在 A 中也个在 B 中的元素个数为 m-(a -c)-c-(b-c)=m-a-b+c. 例 3 已知集合 A ? {x | x ? x ? 6<0} , B ? {x | 0<x ? m<9} .
2

(1)若 A∪B=B,求实数 m 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 思路分析:把 A、B 化为最简形式,用数轴上的点表示,用数形结合的方法求解. 解: A ? {x | x ? x ? 6<0} ? {x | ?2<x<3}, B ? {x | m<x<m ? 9}
2

(1)若 A∪B=B,则 A ? B ,如图 1-1-6,得 ?

?m ≤ ?2 , 即全 - 6 ≤ m ≤ ?2 . ?m ? 9 ≥ 3,

(2)若 A∩B=?,如图 1-1-7,图 1-1-8, 得 m≥3 或 m+9≤-2,即 m≤-11 或 m≥3.

图 1-1-6

图 1-1-7

图 1-1-8 说明:用数轴上的点表示数集,可以直观、准确、迅速地进行数集的运算,但要密切注 意区间端点的虚实(“等”与“不等”的取舍). 例 4 若集合 A={1,3,x}, A.0 B. ? 3 C.0,1, ? 3 D.0, ? 3 思路分析:由 A∪B={1,3,x},可知 x ? 3 或 x ? x ,可分别求出 x 的值,再做检验.
2 2

B ? {x 2, 1} ,且 A∪B={1,3,x},则 x 的值为(

)

解:∵A∪B={1,3,x},∴ x ? 3 或 x ? x .解之得 x ? ? 3 或 x=0,或 x=1.
2 2

显然,当 x=1 时,集合 A、B、A∪B 中都重复出现元素 1,不符合要求,因此 x≠1, 其余均适合题意.故选 D. 答案:D 说明:集合中的元素必须满足“确定性、互异性、无序性”三个特性,因此,解题过程 中需注意对所求结果进行检验. 例 5 设 A ? {x | x ? 4x ? 0} , B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,若 A∩B=B,
2 2 2

求 a 的值.
2 思路分析:由 A ? B ? B ? B ? A ,而 A ? {x | x ? 4 x ? 0} ? {0, ? 4} ,所以需要用 A

的子集进行分类讨论. 解:(1)若 B=? 时,则 x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 无实数根,此时Δ <0,得 a<-1.
2 2

(2)若 B≠? 时,则 B 含有 A 的元素. ①若 0∈B,则 a ? 1 ? 0 ,得 a=±1.当 a=-1 时,B={0},符合题意;当 a=1 时,
2

B={0,-4},也符合题意. ②若-4∈B,则 a=1 或 a=7.当 a=7 时,B={-4,-12),不符合题意. 综上可知,a 的取值范围是 a≤-1 或 a=1. 例 6 已知集合 A ? {( x, y) | y ? ? x 2 ? mx ? 1 若 A∩B=?, B ? {( x, y) | x ? y ? 3} , }, 求实数 m 的取值范围. 思路分析:由于 A ∩ B = ? ,即方程组 ?

? y ? ? x 2 ? m x ? 1, ?x? y ?3

无解,代入消元得方程

x2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 ,则问题转化为关于 x 的一元二次方程无实根的问题,利用Δ <0 可
求解.

? y ? ? x 2 ? m x ? 1, 解:∵A∩B=?,∴方程组 ? 无解. ?x? y ?3
即方程 x2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 无实根. ∴ ? ? (m ? 1)2 ? 16 <0 .解之得-5<m<3.故所求 m 的取值范围是-5<m<3. 说明: 点集的交集问题, 往往转化为曲线公共点的问题, 进而可化归为方程组解的问题. 例 7 已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0} ,且 A 中元素至多只有一个,求实数 a 的取
2

值范围. 思路分析:本题直接讨论至多只有一个元素的情况,需对方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 分无实
2

根和只有一个实根两类情况,而只有一个实根的情况又要分方程是一次还是二次方程(即 a =0 和 a≠0)两种情形,过程比较繁琐;而其反面,只需考虑方程有两个不等实根,因此可 用补集思想求解. 解: 方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 有两个不等实根的条件是 ?
2

, ?a ? 0 9 得 a<0 或 0<a< . 因 8 ?9 ? 8a>0.
9 . 8

而方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 至多只有一实根的条件为 a=0 或 a ≥
2

于是 A 中至多只有一个元素的条件为 a=0 或 a ≥ 即实数 a 的取值范围是 ?a a ? 0或a ≥ ? .

9 . 8

? ?

9? 8?

说明:将集合知识与其他知识进行合理转化,利用“正难则反”的补集思想解题,是数 学解题中常用的思维方法. 易混易错辨析

例 1 设 A={x|2≤x≤6}, B={x|2a≤x≤a+3), 若B ? A, 则实数 a 的取值范围是( A.[1,3] B.(3, ? ? ) C.[1, ? ? ) D.(1,3) 错解:因为 B ? A ,所以应有 ?

)

?2a ≥ 2, 解之得 1≤a≤3,故错选 A. ?a ? 3 ≤ 6,

错因分析: 空集是任何集合的子集, 若忽视这一规定, 则会导致漏解, 产生错误的结论.

?2a ≤ a ? 3, ? 正解:①当 B≠? 时,则有 ? 2a ≥ 2, 解之得 1≤a≤3; ? a ? 3 ≤ 6, ?
②当 B=? 时,2a>a+3,解之得 a>3,综合①②得 a≥1.故选 C. 例 2 已知集合 A ? {( x,y) | x2 ? y 2 ? y ? 4} , B ? {( x,y) | x2 ? xy ? 2 y 2 ? 0} ,C ={x|x-2y=0},D={(x,y)|x+y=0}. (1)判断 B、C、D 间的关系; (2)求 A∩B. 错解:(1) B ? {( x,y) | x2 ? xy ? 2 y 2 ? 0}

? {( x,y) | ( x ? 2 y)(x ? y) ? 0} ? {( x,y) | x ? 2 y ? 0或x ? y ? 0}
? {( x,y) | x ? 2 y ? 0} ? {( x,y) | x ? y ? 0} ? C ? D

? ? ? x2 ? y 2 ? y ? 4, ? ? (2) A ? B ? ?( x,y ) ? 2 ? 2 ? ? x ? xy ? 2 y ? 0? ? ? ? ? ? ?x 2 ? y 2 ? y ? 4 , ?x 2 ? y 2 ? y ? 4 , ? ? ? ? ? ? ?( x,y) ? ? ( x , y ) ? ? ? ? ? ? ? ? x ? 2y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? ? ?

?8 4 ? ? ? ,, ? 2, ?1 , 4, ? 4? . ?4 3 ?
错因分析:(1)集合 C 的代表元素是 x,所以表示函数 y ?

1 x 的定义域,即实数集 R, 2

而集合 B 与集合 D 的代表元素是(x,y),表示平面上点的集合,所以集合 B、D 与 C 无任何 联系. (2)集合 A∩B 的代表元素为(x,y),是点集,故其元素应为点的坐标,而不是实数值. 正解:(1) B ? {x | ( x,y) | x ? xy ? 2 y ? 0}
2 2

={(x,y)|(x-2y)(x+y)=0}={(x,y)|x-2y=0 或 x+y=0},∴ D ? ?B 集合 B、D 与集合 C 无任何关系.

(2) A ? B ? {( x,y) | x2 ? y 2 ? y ? 4且x2 ? xy ? 2 y 2 ? 0}

? ? ? ?x 2 ? y 2 ? y ? 4 , ?x 2 ? y 2 ? y ? 4 , ? ? ? ? ? ? ?( x,y) ? ? ? ?( x,y) ? ? x ? 2 y ? 0 x ? y ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? 8 4 ? ? ? ?? , ?, (?2, ? 1), (4, ? 4)? . ?? 3 3 ? ?
高考试题研究 例 1 (2007·广东)已知集合 M={x|1+x>0}, N ? ? x

?

? 1 >0? ,则 M∩N=( ? 1? x ?

)

A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>1} C.{x|-1<x<1} D.{x|x≥-1} 解析:由题意知 M={x|x>-1},N={x|x<1},故 M∩N={x|-1<x<1}. 答案:C 点评:本题主要考查对集合的运算求解能力. 例 2:设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误的是(

)

A.( A)∪B=I B.( A)∪( B)=I C.A∩( B)=? D.( A)∩( B)= B 解析:对 B,由( A)∪( B)= (A∩B)= A,可知( A)∪( B)=I 不正确,故选 B. 答案:B 点评:本题主要考查集合的关系及运算、推理能力. 例 3 (2006·山东)定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={0, 1},B={2,3},则集合 A⊙B 的所有元素之和为( ) A.0 B.6 C.12 D.18 解析:此题是定义型信息题,只需在理解新信息本质的基础上,紧扣新信息便可获解. (1)当 x=0 时,无论 y 为何值,都有 z=0; (2)当 x=1,y=2 时,z=6; (3)当 x=1,y=3 时,z=12. 故集合 A⊙B={0,6,12}.显然集合 A⊙B 的所有元素之和为 18,故选 D. 答案:D 点评: 这是一道信息迁移题, 读懂题中所约定的运算法则并熟练地求解是解决问题的关 键,重在考查学生阅读迁移的能力和继续学习的潜能. 第三部分 热点专题在线 例 1 设集合 M ? {( x,y) | x ? y ? 1 ,x ? R,y ? R} ,
2 2

N ? {( x,y) | x 2 ? y ? 0,x ? R,y ? R} ,则集合 M∩N 中元素的个数为(

)

图 1-1-9 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:方法 1:如图 1-1-9,在同一坐标系中,作出圆 x 2 ? y 2 ? 1和抛物线 y ? x 2 的图 象,由图可以看出两个图象有两个交点,所以集合 M∩N 中有两个元素. 方法 2:由 ?

?x2 ? y2 ? 1 , 消 x 得 y2 ? y ? 1 ? 0 , 2 ? x ? y ? 0,

Δ =1-(-4)=5>0. ∴方程有两个不等实根,即 M∩N 中有两个元素. 答案:B 例 2 设集合 U ? {( x,y) | x ? R,y ? R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x +y-n≤0}.那么点 P(2,3)∈A∩( 解析:由 P(2,3)∈A∩( 答案:m>-1,n<5 例 3 设全集 U=R, 集合 M={x|x>1},P ? {x | x > 则下列关系中正确的是( 1} ,
2

B)的充要条件是________.

B),得 4-3+m>0 且 2+3-n>0,∴m>-1,n<5.

)

A.M=P B. P ? ?M C. M ? ?P D. M∩P=?

解析:P={x|x>1 或 x<-1},∴ M ? ? P. 答案:C 例 4 设 f(n)=2n+1(n∈N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7}.记

P* ? {n ? N | f (n) ? P} , Q* ? {n ? N | f (n) ? Q},则( P* ∩

Q* )∪( Q* ∩

P* )=

(

) A.{0,3} B.{1,2} C.{3,4,5} D.{1,2,6,7} 解析: P* ? {0, 1 , 2} , Q* ? {1 , 2, 3} , P ∩
*

Q* ={0}, Q* ∩

P* ={3},

故( P ∩

*

Q* )∪( Q* ∩

P* )={0,3}.

答案:A 例 5 如图 1-1-10,U 是全集,M、P、S 是 U 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合 是( )

图 1-1-10 A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪ S S S),

解析: 在阴影部分中任取一个元素 x, 由 Venn 图可知 x∈M 且 x∈P 且 x ? S (即 x∈ 则 x∈(M∩P)∩ 答案:C 例 6 已知 A ? ? x x ? N*,且 S.

? ?

? 2 ? Z? ,B={x|ax=1},若 A∪B=A,求实数 a. 2? x ?
1 1 ;当 B={4}时,a ? .综 3 4

解:A={1,3,4},∵ A ? B ? A ? B ? A ,∴B=?,或{1},或{3},或{4}. 当 B=? 时,a=0;当 B={1}时,a=1;当 B={3}时,a ? 上可知,实数 a 的值为 0,

1 1 , ,1. 3 4

例 7 设 I={1,2,3,4},A 与 B 是 I 的子集,若 A∩B={1,2},则称(A,B)为一个 “理想配集”(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”),那么符合此条件的“理想 配集”的个数是( ) A.4 B.8

C.9 D.16 解析:利用集合的运算及题目中的约定条件正确求解. 由 A 与 B 是 I 的子集,且 A∩B={1,2},得 A,B 应为{1,2},{1,2,3},{1,2, 4},{1,2,3,4}中的一个.由定义知,若 A={1,2},则 B 应为上述 4 个集合中的一个, 共 4 个;若 A={1,2,3},则 B 应为{1,2}或{1,2,4},共 2 个;若 A={1,2,4},则 B 应为{1,2}或{1,2,3},共 2 个;若 A={1,2,3,4}=I,则 B 应为{1,2},共 1 个. 综上可知“理想配集”共有 4+2+2+1=9(个),故选 C. 答案:C 说明:本题主要考查了集合的运算,分类讨论的思想有阅读迁移的能力,对学生的能力 要求较高,有力地考查了考生的个性品质,体现最新《考试大纲》的“要构造有一定的深度 和广度的数学问题”的高考命题要求. 例 8 设集合 A ? {( x,y) | y ? 2x ?1 ,x ? N*} ,

B ? {( x,y) | y ? ax2 ? ax ? a,x ? N*} ,问是否存在非零整数 a,使 A∩B≠??若存在,
请求出 a 的值及 A∩B;若不存在,说明理由. 解:由 A∩B≠? 知,是否存在 a 值取决于方程组 ? 消去 y 得 ax2 ? (a ? 2) x ? a ? 1 ? 0 , 由Δ ≥0,即 (a ? 2) 2 ? 4a(a ? 1) ≥ 0 , 解得 ?

, ?y ? 2 x ? 1 是否有正整数解 x, 2 ? y ? ax ? ax ? a


2 3 2 3 ≤a≤ . 3 3

因 a 为非零整数,所以 a 的可能值为-1,1. 当 a=-1 时,代入①解得 x=0 或 x=-1,这与 x ? N 不符,故 a≠-1.
*

当 a=1 时,代入①解得 x=1 或 x=2,符合题意. ∴存在 a=1,使得 A∩B≠?,此时 A∩B={(1,1),(2,3)}.



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